In einem rechtwinkeligen Dreieck mit c als Hypotenuse und
a und b als Katheten gilt:
Für den Winkel α (der Seite a gegenüber) gilt laut Definition:
und
Daher:
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\ \rightarrow \ c^{2}\ \sin ^{2}\alpha +c^{2}\cos ^{2}\alpha =c^{2}\ \rightarrow \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44d27da14305b1688bf9c04fdb77244c90364ae)
c² ist sicherlich nicht null (sonst hätten wir kein Dreieck),
daher können wir es wegfallen lassen.
Da der Winkel α irgendeine Zahl sein kann,
und wir daher ein anders Symbol dafür benutzen
dürfen, können wir stattdessen x schreiben:
Laut Definition des Tangens ist er so viel wie das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Daher gilt auch:
Die Kombination der beiden Ergebnissen können wir benutzten, um zu zeigen, dass
: