Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Satz von Bayes abstraktes Beispiel

Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca. 0,15%. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist? Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test in der Bevölkerung positiv ist, 0,34955 % ist.

Stellen wir die Daten in einer Tabelle dar:

$\ _{Krankheit}\diagdown ^{Test}\$	Positiv	Negativ	Teilsummen
Krank	${\overset {0{,}0015\cdot 0{,}999}{0{,}0014985}}$	${\overset {0{,}0015\cdot 0{,}001}{0{,}0000015}}$	$0{,}0015$
Gesund	${\overset {0{,}9985\cdot 0{,}002}{0{,}001997}}$	$\ {\overset {0{,}9985\cdot 0{,}998}{0{,}996503}}\$	$0{,}9985$
Teilsummen	$\ 0{,}0034955\$	$\ 0{,}9965045\$	$\ 1$ $\$

$0{,}0014985:0{,}0034955\approx 0{,}4287=42{,}87\%\$

Wenn wir direkt die Formel von Bayes benutzten:

$P(K\mid T)\;=\;{\frac {P(T\mid K)\cdot P(K)}{P(T)}}={\frac {0{,}999\cdot 0{,}0015}{0{,}0034955}}\approx 0{,}4287$

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Krank ist

wenn der Test positiv ist, ist daher $\ 42{,}87\%\$