Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Satz von Bayes konkretes Beispiel

Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca. 0,15%, in Südafrika hingegen ca. 20%. Wie viel ist Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist, in diesen Regionen? Bevölkerung DE Raum ca. 100 Mil., Südaf. ca 55 Mil.

Im deutschsprachigen Raum zuerst. Von 100 Millionen Menschen sind
$100000000\cdot 0{,}15\%=100000000\cdot 0{,}0015=150000\$Personen krank.
Von denen werden $150000\cdot 99{,}9\%=150000\cdot 0{,}999=149850\$als positiv
positiv diagnostiziert, die restlichen 150 als negativ.

Gesund sind die restlichen $100000000\cdot 99{,}85\%=100000000\cdot 0{,}9985=99850000\$
Personen. Von denen werden $99850000\cdot 99{,}8\%=99850000\cdot 0{,}998=99650300\$als
negativ diagnostiziert, die restlichen 199700 als positiv.

Die Schritten können wir in der folgenden Abbildung zusammengefasst sehen:

Stellen wir die Ergebnisse in einer Tabelle dar:

$\ _{Krankheit}\diagdown ^{Test}\$	Positiv	Negativ	Teilsummen
Krank	149850	150	150000
Gesund	199700	99650300	99850000
Teilsummen	$\$ 349550 $\$	$\$ 99650450 $\$	$\$ 100000000 $\$

Wenn wir die Spalte mit den positiven Ergebnissen beobachten, stellen
wir fest, dass von den 349550 positiven Tests 149850 tatsächlich krank
sind, also $149850:349550\approx 0{,}4287=42{,}87\%\$

In Südafrika hingegen sieht die Tabelle so aus:

$\ _{Krankheit}\diagdown ^{Test}\$	Positiv	Negativ	Teilsummen
Krank	10989000	11000	11000000
Gesund	88000	43912000	44000000
Teilsummen	$\$ 11077000 $\$	$\$ 43923000 $\$	$\$ 55000000 $\$

Wenn wir die Spalte mit den positiven Ergebnissen beobachten, stellen
wir fest, dass von den 11077000 positiven Tests 10989000 tatsächlich krank
sind, also $10989000:11077000\approx 0{,}9921=99{,}21\%\$

Wir können daher den Schluss ziehen, dass die Aussagekraft eines Krankheitstests
stark von der Häufigkeit der Krankheit in einer Gruppe abhängig sein kann.