Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Schnittpunkte von Funktionen in einem Text

Gegeben sind die Funktionen $g(x)=2x-3$$\quad f(x)=-{\frac {7}{3}}x\quad$$q(x)=-0{,}04x^{2}+0{,}64$ $p(x)=-x^{2}-1\quad \ h(x)=0{,}25x^{2}-x+1$ A) Berechnen Sie die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion! B) Lesen Sie den y-Achsenabschnitt jeder Funktion ab! C) Finden Sie, ob der Punkt P:(2|−5) zu mancher der Funktionen gehört! D) Lesen Sie die Steigung der beiden Geraden ab! E) Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme i) g und f, ii) p und q, iii) p und g

A)

g:$\ 0=2x-3\ \Rightarrow \ 2x=3\ \Rightarrow \ x={\frac {3}{2}}$

f:$\ 0=-{\frac {7}{3}}x\ \Rightarrow \ x=0$

q: $\ D=0-4\cdot (-0{,}04)\cdot 0{,}64=0{,}1024>0\$also zwei Lösungen

$x_{1,2}={\frac {-0\pm {\sqrt {0{,}1024}}}{2\cdot 0{,}04}}\ \$$x_{1}=4\ \$und $\ x_{2}=-4$

p: $\ D=0-4\cdot (-1)\cdot (-1)=-4<0\$also keine Lösung

h: $\ D=(-1)^{2}-4\cdot 0{,}25\cdot 1=0\$also eine Lösung

$x_{1,2}={\frac {-(-1)}{2\cdot 0{,}25}}=2\ \$

B) g: -3, f: 0, q: 0,64, p: -1, h: 1

C) $g(2)=2\cdot 2-3=1\ NEIN$, $\quad f(2)=-{\frac {7}{3}}\cdot 2=-{\frac {14}{3}}\ NEIN\quad$

$q(2)=-0,04\cdot 2^{2}+0,64\neq -5\ NEIN\quad$, $p(2)=-2^{2}-1=-5\ Ja\quad$

$h(2)=0{,}25\cdot 2^{2}-x+1=0\neq -5\ NEIN\quad$

D) g: 2, f: $-{\frac {7}{3}}$

E)

i) $g(x)=f(x)\ \Rightarrow \ 2x-3=-{\frac {7}{3}}x\ \Rightarrow \ x={\frac {9}{13}}$

und daher $g({\frac {9}{13}})=f({\frac {9}{13}})\ \Rightarrow \ 2\cdot {\frac {9}{13}}-3=-{\frac {7}{3}}\cdot {\frac {9}{13}}={\frac {21}{13}}$

ii) $q(x)=p(x)\ \Rightarrow \ -0{,}04x^{2}+0{,}64=-x^{2}-1\ \Rightarrow \ 0{,}96x^{2}+1{,}64$

$D=0-4\cdot 0{,}96\cdot 1{,}64<0\$ also keine Lösung

iii) $p(x)=g(x)\ \Rightarrow \ 2x-3=-x^{2}-1\ \Rightarrow \ x^{2}+2x-2=0$

$D=2^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)=12\$ also zwei Lösungen

$x_{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {12}}}{2\cdot 1}}\ \$$x_{1}=-1+{\sqrt {3}}\ \$und $\ x_{2}=-1-{\sqrt {3}}$