Eine Bootverleihfirma hat insgesamt 43 Boote,
manche Tretboote (maximal 5 Personen, Preis 8€/h),
manche Ruderboote (maximal 3 Personen, Preis 7€/h)
und Kanus (maximal 2 Personen, Preis 4€/h). Insgesamt
kann die Firma höchstens 159 Personen bedienen, in so
einem Fall sind die Einnahmen 271€/h. Wie viele Boote
jeder Art hat die Firma?
t: Tretboote, r: Ruderboote, k: Kanus
t
+
r
+
k
=
43
Boote insgesamt
5
t
+
3
r
+
2
k
=
159
Personen höchstens
8
t
+
7
r
+
4
k
=
271
€
höchstens pro Stunde
{\displaystyle {\begin{array}{rcrcrcl}t&+&r&+&k&=&43\ {\text{Boote insgesamt}}\\5\ t&+&3\ r&+&2\ k&=&159\ {\text{Personen höchstens}}\\8\ t&+&7\ r&+&4\ k&=&271\ \mathrm {\euro} \ {\text{höchstens pro Stunde}}\end{array}}}
Erst Lösbarkeit mit Determinante überprüfen:
A
=
|
1
1
1
5
3
2
8
7
4
|
=
|
1
1
1
−
24
5
3
2
8
7
4
+
12
|
|
1
−
14
1
−
20
5
3
8
+
16
7
+
35
|
=
…
{\displaystyle A={\begin{vmatrix}1&1&1\\5&3&2\\8&7&4\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\bcancel {1}}&{\bcancel {1}}&{\overset {-24}{\xcancel {1}}}\\5&{\xcancel {3}}&{\xcancel {2}}\\{\cancel {8}}&{\cancel {7}}&{\underset {+12}{\xcancel {4}}}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\overset {-14}{\cancel {1}}}&{\overset {-20}{\cancel {1}}}\\{\xcancel {5}}&3\\{\underset {+16}{\bcancel {8}}}&{\underset {+35}{\bcancel {7}}}\\\end{vmatrix}}=\dots }
⋯
=
12
+
16
+
35
−
24
−
14
−
20
=
−
3
≠
0
{\displaystyle \dots =12+16+35-24-14-20=-3\neq 0}
Das System hat eine Lösung:
(
1
1
1
43
5
3
2
159
8
7
4
271
)
⋅
(
−
2
)
i
n
2.
⋅
(
−
2
)
i
n
3.
(
1
1
1
43
3
1
0
73
−
2
1
0
−
47
)
⋅
(
−
1
)
i
n
3.
{\displaystyle \left({\begin{array}{c c c | c}1&1&1&43\\5&3&2&159\\8&7&4&271\\\end{array}}\right){\begin{array}{c }\cdot (-2)in\ 2.\\\cdot (-2)in\ 3.\\\\\end{array}}\quad \left({\begin{array}{c c c | c}1&1&1&43\\3&1&0&73\\-2&1&0&-47\\\end{array}}\right){\begin{array}{c }\\\cdot (-1)in\ 3.\\\\\end{array}}\quad }
(
1
1
1
43
3
1
0
73
−
5
0
0
−
120
)
:
(
−
5
)
d
a
n
n
⋅
(
−
3
)
i
n
2.
{\displaystyle \left({\begin{array}{c c c | c}1&1&1&43\\3&1&0&73\\-5&0&0&-120\\\end{array}}\right){\begin{array}{c }\\\\:(-5)dann\cdot (-3)in\ 2.\\\end{array}}}
(
1
1
1
43
0
1
0
1
1
0
0
24
)
⋅
(
−
1
)
i
n
1.
⋅
(
−
1
)
i
n
1.
(
0
0
1
18
0
1
0
1
1
0
0
24
)
{\displaystyle \left({\begin{array}{c c c | c}1&1&1&43\\0&1&0&1\\1&0&0&24\\\end{array}}\right){\begin{array}{c }\\\cdot (-1)in\ 1.\\\cdot (-1)in\ 1.\\\end{array}}\quad \left({\begin{array}{c c c | c}0&0&1&18\\0&1&0&1\\1&0&0&24\\\end{array}}\right)}
Also 24 Tretboote, 1 Ruderboot und 18 Kanus.