Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Trigonometrische Umkehrfunktionen

Der Sinus eines Winkels ist $\textstyle {\frac {5}{13}}$. Wie viel ist der Kosinus? Wie groß ist der Winkel? Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, wenn die Gegenkathete des Winkels mit Sinus $\textstyle {\frac {5}{13}}\$ 9 cm ist?

Berechnen wir zunächst einmal den Winkel mit Hilfe der Umkehrfunktion von Sinus:

$\sin x={\frac {5}{13}}\ \rightarrow \ x=\arcsin {\frac {5}{13}}\approx 22{,}62^{\circ }$

Um den Kosinus zu berechnen, gibt es dann zwei Wege:

• Mit Hilfe des Winkels. In diesem Fall wird das am Taschenrechner gezeigte Ergebnis oft als Kommazahl angegeben, auch wenn wir gar nicht runden:
  $\cos 22{,}6198...\approx 0{,}{9231}\$(eine genauere Angabe im Taschenrechner wäre: $\textstyle \cos \left(\arcsin {\frac {5}{13}}\right)=0{,}{\overline {923076}}$).
  Um ein genaues Ergebnis zu berechnen, können wir allerdings wie im Folgenden den Satz von Pythagoras benutzen:

• $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\ \rightarrow \ \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}={\sqrt {1-\left({\frac {5}{13}}\right)^{2}}}={\frac {12}{13}}$

Um die gefragte Hypotenuse zu berechnen, gehen wir wie im Folgenden vor. Sei a die Gegenkathete und c die Hypotenuse:

$\sin \alpha ={\frac {5}{13}}={\frac {a}{c}}={\frac {9}{c}}\ \rightarrow \ {\frac {5}{13}}={\frac {9}{c}}\ \rightarrow \ {c}={\frac {9\cdot 13}{5}}=23{,}4\ cm$