Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Umformen in der Raumgeometrie abstrakt

Natascha gibt für die Berechnung des Radius R einer Kugel mit Volumen V folgende Formel an: $\qquad R={\sqrt {\frac {3\ V}{4\ \pi }}}$ Überprüfen Sie, ob die Formel richtig ist und, falls nicht, geben Sie die richtige Formel an!

In der Formelsammlung findet man die Formel fürs Volumen einer Kugel:

$V={\frac {4\ \pi \ R^{3}}{3}}$

wobei r der Radius ist. In der Aufgabe ist der Umfang gegeben,
man braucht den Radius, der allerdings in der Aufgabe mit R
(statt r) angegeben wird. Um zu überprüfen, ob die Formel von
Natascha stimmt, sollen wir einfach die Formel für den Umfang
auf den Radius umformen. Somit werden wir auch die richtige
Formel finden (falls die Formel von Natascha falsch ist).

${\begin{array}{rll}V&={\frac {4\ \pi \ R^{3}}{3}}\quad &|\cdot 3\\{3\ V}&=4\ \pi \ R^{3}\quad &|:{4\ \pi }\\{\frac {3\ V}{4\ \pi }}&=R^{3}\quad &|{\sqrt[{3}]{\ \ }}\ {\text{und Seiten tauschen}}\\R&={\sqrt[{3}]{\frac {3\ V}{4\ \pi }}}&\end{array}}$

Somit haben wir festgestellt, dass die Formel von Natascha
falsch war. In der richtigen Formel wird die dritte und nicht
die quadratische Wurzel benutzt.