Mathematrix: Vortrag/ Definition von Sinus Kosinus und Tangens

Zwei geometrische Figuren sind ähnlich, wenn sie die gleiche Seitenanzahl haben und alle entsprechenden Winkel gleich zueinander sind. Wenn dazu zumindest eine Seite (und daher auch alle andere) der beiden Figuren gleich ist, dann sagt man, dass die Figuren kongruent sind.

Die entsprechenden Winkel der abgebildeten Dreiecke sind zueinander gleich. Folgende Seiten sind gegeben: d=4 cm, c=48 mm, d'=0,3 dm. Wie viel cm ist Seite c'?

$d=4\ cm,\$ $c=48\ mm=4{,}8\ cm,\$ $d'=0{,}3\ dm=3\ cm$ ${\begin{matrix}\ \ {\text{Dreieck rechts}}\\d'=3\ cm\\{}\\c'\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\qquad \\\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\ \ {\text{Dreieck links}}\\d=4\ cm\\:\uparrow \\c=4{,}8\ cm\end{matrix}}$ $c'=3{,}6\ cm$ ${\tfrac {3}{4}}={\tfrac {3{,}6}{4{,}8}}=0{,}75$ $d'=0{,}75\cdot d\qquad {\tfrac {d'}{d}}={\tfrac {c'}{c}}=0{,}75$ ${\tfrac {c}{d}}={\tfrac {c'}{d'}}=1{,}2$ Zwischen ähnlichen Dreiecken ist das Verhältnis zwei entsprechenden Seiten in einem Dreieck eine konstante Zahl.

Wenn zwischen zwei rechtwinkelige Dreiecke eine der beiden nicht rechten Winkel gleich sind, dann sind diese Dreiecke ähnlich. Hypotenuse und Katheten: Ankathete, Gegenkathete. $\sin \alpha ={\frac {Gegenkathete}{Hypotenuse}}={\frac {a}{c}}\qquad$$\cos \alpha ={\frac {Ankathete}{Hypotenuse}}={\frac {b}{c}}$ Satz von Pythagoras: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Sinus und Kosinus des kleinsten Winkels $\sin \alpha ={\frac {Gegenkathete}{Hypotenuse}}={\frac {a}{c}}\qquad$$\cos \alpha ={\frac {Ankathete}{Hypotenuse}}={\frac {b}{c}}$ $\sin \alpha ={\frac {Gegenkathete}{Hypotenuse}}={\frac {c}{f}}\qquad$$\cos \alpha ={\frac {Ankathete}{Hypotenuse}}={\frac {g}{f}}$ Sinus und Kosinus des größten nicht rechten Winkels $\sin \alpha ={\frac {Gegenkathete}{Hypotenuse}}={\frac {c}{b}}\qquad$$\cos \alpha ={\frac {Ankathete}{Hypotenuse}}={\frac {a}{b}}$

Sinus und Kosinus des kleinsten Winkels, auch berechnen, wenn k=5dm, w=25cm $\sin \omega ={\frac {Gegenkathete}{Hypotenuse}}={\frac {w}{k}}={\text{?}}\qquad$$\cos \omega ={\frac {Ankathete}{Hypotenuse}}={\frac {d}{k}}={\text{?}}$ $\sin \omega =0{,}5\qquad$ Pythagoras$\ c^{2}=a^{2}+b^{2}\qquad k^{2}=w^{2}+d^{2}\qquad$ $50^{2}=25^{2}+d^{2}\Rightarrow d\approx 43{,}3\ (GeoGebra)\qquad$$\cos \omega ={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0{,}866$ Sinus und Kosinus des größten nicht rechten Winkels, auch berechnen $\sin \delta ={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0{,}866\qquad$$\cos \delta =0{,}5$

$\tan \alpha ={\frac {Gegenkathete}{Ankathete}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$