Mathematrix: Vortrag/ Raumgeometrie

Aufgabe Die Länge eines Kleiderschranks ist 8 dm, seine Breite 35 cm, seine Höhe 2 m. Berechnen Sie die Gesamtlänge seiner Kanten, seine Oberfläche und sein Volumen!

Geometrie des Raums Name Figur (Form) Oberfläche Volumen Netz (falls möglich) Würfel $A_{O}=6a^{2}$ $V=a^{3}$ Quader $A_{O}=2ab+2ac+2bc$ $V=abc$ Quadratische Pyramide ${\begin{aligned}A_{O}&=A_{G}&&+A_{M}\\&=a^{2}&&+2a\ h_{1}\end{aligned}}$   $\left[A_{O}=a(a+h_{1})\right]$   wobei $h_{1}={\sqrt {\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$ $h_{1}\$ mit $a_{1}\$ im Bild $V={\frac {a^{2}\ h}{3}}$ Tetraeder $A_{O}={\sqrt {3}}a^{2}$ $V={\frac {{\sqrt {2}}a^{3}}{12}}$ Zylinder ${\begin{aligned}A_{O}&=2\ \ A_{G}&&+A_{M}\\&=2\ \ \pi r^{2}&&+2\pi r\ h\end{aligned}}$   $\left[A_{O}=2\pi r(r+h)\right]$ $V=\pi r^{2}\ h$ Kegel ${\begin{aligned}A_{O}&=A_{G}&&+A_{M}\\&=\pi r^{2}&&+\pi r\ s\end{aligned}}$   $\left[A_{O}=\pi r(r+s)\right]$   wobei $s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ $V={\frac {\pi r^{2}\ h}{3}}$ Prisma ${\begin{aligned}A_{O}&=2\ \ A_{G}&&+A_{M}\\&=\ \ {3{\sqrt {3}}}{}a^{2}&&+6a\ h\end{aligned}}$    $V=\overbrace {{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}} ^{A_{G}}\ \ \cdot h$    Kugel $A_{O}=4\pi r^{2}$ $\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ Torus $A_{O}=4\pi ^{2}rR\$ $V=2\pi ^{2}r^{2}R$

$l=8\ dm,\$ $h=2\ m=20\ dm\$ $b=35\ cm=3{,}5\ dm$$L=4l+4h+4b=126\ dm$ $A_{O}=2\cdot l\cdot h+2\cdot l\cdot b+2\cdot h\cdot b=1076\ dm^{2}=10{,}76\ m^{2}$ $V=l\cdot h\cdot b=560\ dm^{3}=0{,}56\ m^{3}$ GeoGebra

Aufgabe Die Oberfläche O eines Abflussrohrs ist 8,4 dm², der Radius R seiner Grundfläche ist 7 cm. Wie viel ist sein Volumen?

$V=\pi r^{2}\ h$ $R=7\ cm=0{,}7\ dm$ $O=2\pi R^{2}+2\pi R\,h\$ (h für die Höhe) $\Rightarrow \ 8{,}4=2\pi \cdot 0{,}7^{2}+2\pi \cdot 0{,}7\cdot h$ $\Rightarrow \ {\cancelto {\approx 4}{8{,}4-2\pi \cdot 0{,}7^{2}}}=2\pi \cdot 0{,}7\cdot h$ $\Rightarrow \ {\frac {4}{2\pi \cdot 0{,}7}}\approx h$ $\Rightarrow \ h\approx 1{,}21\ dm$ $V=\pi r^{2}\ h=\pi \cdot 0{,}7^{2}\cdot 1{,}21\approx 1{,}862\ dm^{3}$ GeoGebra

Aufgabe Wie lautet die Formel für die Höhe h der Seitenfläche einer quadratischen Pyramide, wenn ihre Oberfläche $A_{O}$ und die Seite a der quadratischen Basis gegeben sind? Wie (mit welcher Formel) kann man dann die Höhe H der Pyramide berechnen?

$A_{O}=a^{2}+2a\ h$ $\Rightarrow \ A_{O}-a^{2}=2a\ h$ $\Rightarrow \ h={\frac {A_{O}-a^{2}}{2a}}$ $H={\sqrt {h^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}\ }}$ GeoGebra

Aufgabe Drücken Sie die Oberfläche einer Kugel in Bezug auf sein Volumen aus!

$A_{O}=4\pi r^{2}$ $V={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\Rightarrow \ 3V=4\pi r^{3}$ $\Rightarrow \ {\tfrac {3V}{4\pi }}=R^{3}\Rightarrow \ r={\sqrt[{3}]{\tfrac {3V}{4\pi }}}$ $\Rightarrow \ A_{O}=4\pi r^{2}$ $\Rightarrow \ A_{O}=4\pi \left({\sqrt[{3}]{\tfrac {3V}{4\pi }}}\right)^{2}$ GeoGebra