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# Mathematrix: Vortrag/ Raumgeometrie

 Aufgabe Die Länge eines Kleiderschranks ist 8 dm, seine Breite 35 cm, seine Höhe 2 m. Berechnen Sie die Gesamtlänge seiner Kanten, seine Oberfläche und sein Volumen!
Geometrie des Raums
Name Figur (Form) Oberfläche Volumen Netz (falls möglich)
Würfel ${\displaystyle A_{O}=6a^{2}}$ ${\displaystyle V=a^{3}}$
Quader ${\displaystyle A_{O}=2ab+2ac+2bc}$ ${\displaystyle V=abc}$
Pyramide
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{O}&=A_{G}&&+A_{M}\\&=a^{2}&&+2a\ h_{1}\end{aligned}}}

${\displaystyle \left[A_{O}=a(a+h_{1})\right]}$

wobei ${\displaystyle h_{1}={\sqrt {\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}}$
${\displaystyle h_{1}\ }$ mit ${\displaystyle a_{1}\ }$ im Bild
${\displaystyle V={\frac {a^{2}\ h}{3}}}$
Tetraeder ${\displaystyle A_{O}={\sqrt {3}}a^{2}}$ ${\displaystyle V={\frac {{\sqrt {2}}a^{3}}{12}}}$
Zylinder {\displaystyle {\begin{aligned}A_{O}&=2\ \ A_{G}&&+A_{M}\\&=2\ \ \pi r^{2}&&+2\pi r\ h\end{aligned}}}

${\displaystyle \left[A_{O}=2\pi r(r+h)\right]}$
${\displaystyle V=\pi r^{2}\ h}$
Kegel {\displaystyle {\begin{aligned}A_{O}&=A_{G}&&+A_{M}\\&=\pi r^{2}&&+\pi r\ s\end{aligned}}}

${\displaystyle \left[A_{O}=\pi r(r+s)\right]}$

wobei ${\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$
${\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}\ h}{3}}}$
Prisma[1] {\displaystyle {\begin{aligned}A_{O}&=2\ \ A_{G}&&+A_{M}\\&=\ \ {3{\sqrt {3}}}{}a^{2}&&+6a\ h\end{aligned}}}    ${\displaystyle V=\overbrace {{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}} ^{A_{G}}\ \ \cdot h}$
Kugel ${\displaystyle A_{O}=4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
Torus ${\displaystyle A_{O}=4\pi ^{2}rR\ }$ ${\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{2}R}$
1. mit regelmäßigem Sechseck als Basis
 ${\displaystyle l=8\ dm,\ }$${\displaystyle h=2\ m=20\ dm\ }$${\displaystyle b=35\ cm=3{,}5\ dm}$${\displaystyle L=4l+4h+4b=126\ dm}$${\displaystyle A_{O}=2\cdot l\cdot h+2\cdot l\cdot b+2\cdot h\cdot b=1076\ dm^{2}=10{,}76\ m^{2}}$${\displaystyle V=l\cdot h\cdot b=560\ dm^{3}=0{,}56\ m^{3}}$ GeoGebra
 Aufgabe Die Oberfläche O eines Abflussrohrs ist 8,4 dm², der Radius R seiner Grundfläche ist 7 cm. Wie viel ist sein Volumen?

${\displaystyle V=\pi r^{2}\ h}$

 ${\displaystyle R=7\ cm=0{,}7\ dm}$${\displaystyle O=2\pi R^{2}+2\pi R\,h\ }$ (h für die Höhe)${\displaystyle \Rightarrow \ 8{,}4=2\pi \cdot 0{,}7^{2}+2\pi \cdot 0{,}7\cdot h}$${\displaystyle \Rightarrow \ {\cancelto {\approx 4}{8{,}4-2\pi \cdot 0{,}7^{2}}}=2\pi \cdot 0{,}7\cdot h}$${\displaystyle \Rightarrow \ {\frac {4}{2\pi \cdot 0{,}7}}\approx h}$${\displaystyle \Rightarrow \ h\approx 1{,}21\ dm}$

${\displaystyle V=\pi r^{2}\ h=\pi \cdot 0{,}7^{2}\cdot 1{,}21\approx 1{,}862\ dm^{3}}$

GeoGebra

 Aufgabe Wie lautet die Formel für die Höhe h der Seitenfläche einer quadratischen Pyramide, wenn ihre Oberfläche ${\displaystyle A_{O}}$ und die Seite a der quadratischen Basis gegeben sind? Wie (mit welcher Formel) kann man dann die Höhe H der Pyramide berechnen?
 ${\displaystyle A_{O}=a^{2}+2a\ h}$${\displaystyle \Rightarrow \ A_{O}-a^{2}=2a\ h}$ ${\displaystyle \Rightarrow \ h={\frac {A_{O}-a^{2}}{2a}}}$ ${\displaystyle H={\sqrt {h^{2}-\left({\tfrac {a}{2}}\right)^{2}\ }}}$

GeoGebra

 Aufgabe Drücken Sie die Oberfläche einer Kugel in Bezug auf sein Volumen aus!
 ${\displaystyle A_{O}=4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\Rightarrow \ 3V=4\pi r^{3}}$${\displaystyle \Rightarrow \ {\tfrac {3V}{4\pi }}=R^{3}\Rightarrow \ r={\sqrt[{3}]{\tfrac {3V}{4\pi }}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow \ A_{O}=4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle \Rightarrow \ A_{O}=4\pi \left({\sqrt[{3}]{\tfrac {3V}{4\pi }}}\right)^{2}}$ GeoGebra