Mathematrix: Vortrag/ Zinseszins

Aufgabe Im Jahr 1999 gab es in einem Konto 295025€, der Zinssatz war 4%. Wie viel waren die Zinsen nach einem Jahr?

Zinsen Z ist das Geld, das die Bank jedes Jahr dem Kunden dazu gibt. Zinssatz Zs ist ein Prozentsatz. Er wird benutzt, um die Zinsen, die die Bank gibt, zu berechnen. Das Guthaben ist in diesem Fall der Bezugswert, also 100%.

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\4\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{295025 €}}\\{}\\Z\end{matrix}}$ $Z=11801{\text{€ }}$Zinsen

Wie viel wird das Kapital (Guthaben) im Konto nach einem Jahr sein?

Dieses Geld gibt die Bank nach einem Jahr dazu. Allerdings wird dieses Geld versteuert: Kapitalertragssteuer, KESt.: sie wird im Bezug auf die Zinsen berechnet, also sind in diesem Fall die Zinsen 100%. In diesem Buch wird KESt. immer 25% der Zinsen sein

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\25\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{11801 €}}\\{}\\KESt.\end{matrix}}$ $KESt.={\text{ 2950,25 € }}$

Effektive Zinsen eZ: ist das Geld, das dem Kunden von den Zinsen übrig bleibt, nachdem die Zinsen versteuert werden. $eZ=Z-KESt.=11801-2950{,}25={\text{8850,75 € }}$DAZU bleiben im Konto

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{11801 €}}\\{}\\eZ\end{matrix}}$ $eZ=8850{,}75{\text{ € }}$

Kapital (Guthaben) nach einem Jahr: $K_{1}=K_{0}+eZ=295025+8850{,}75={\text{303875,75 € }}$

Aufgabe Im Jahr 1999 gab es in einem Konto 295025€, der Zinssatz war 4%. Wie viel waren das Kapital, die Zinsen, die KESt. und die effektiven Zinsen nach einem Jahr? Wie viel war das Kapital im Jahr 1998 Wie viel wäre das Kapital im Jahr 2066?

Effektiver Zinssatz eZs: ist ein Prozentsatz. Er ist 75% des Zinssatzes Zs, da 25% der Zinsen als KESt. vom Staat genommen werden.

${\begin{matrix}4\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\\\eZs\ (\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}})\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\\:\uparrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$$eZs=\left(4\cdot {\frac {75}{100}}\right)\qquad eZ=4\%\cdot 0{,}75=3\%\qquad$ Das ist der effektive Zinssatz, also wie viel Geld im Konto jedes Jahr DAZU bleibt.

$100\%+3\%=103\%=\left({\tfrac {103}{100}}\right)=1{,}03$

$K_{1}=295025\cdot 1{,}03={\text{303875,75 € }}$

${\begin{matrix}295025\\\\K_{1}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\100{,}3\%\end{matrix}}\qquad$$K_{1}={\text{303875,75 € }}$

$eZ=K_{1}-K_{0}=303875{,}75-295025=8850{,}75\ {\text{ € }}$

${\begin{matrix}8850{,}75\\\\Z\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}75\%\\:\uparrow \\100\%\end{matrix}}\qquad$$Z={\text{11801 € }}$ $Z=8850{,}75:0{,}75=11801\ {\text{ € }}$

$KESt.=Z-eZ=11801-8850{,}75=2950{,}25\ {\text{ € }}$

$K_{-1}=295025:1{,}03\approx {\text{286432,04 € }}$

$2066-1999=67$ $K_{67}=295025\cdot 1{,}03^{67}\approx {\text{2137730,11 € }}$

Aufgabe Im Jahr 2004 gab es in einem Konto 5000€, der effektive Zinssatz war 2,4%. Wie viel waren das Kapital, die Zinsen, die KESt. und die effektiven Zinsen nach einem Jahr? Wie viel war das Kapital im Jahr 2003? Wie viel wäre das Kapital im Jahr 2056?

$100\%+2{,}4\%=102{,}4\%=\left({\tfrac {102{,}4}{100}}\right)=1{,}024$ $K_{1}=5000\cdot 1{,}024={\text{5120 € }}$ $eZ=K_{1}-K_{0}=5120-5000=120\ {\text{ € }}$ ${\begin{matrix}120\\\\Z\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}75\%\\:\uparrow \\100\%\end{matrix}}\qquad$$Z={\text{160 € }}$ $KESt.=Z-eZ=160-120=40\ {\text{ € }}$ $K_{-1}=5000:1{,}024\approx {\text{4882,81 € }}$ $2056-2004=52$ $K_{52}=5000\cdot 1{,}024^{52}\approx {\text{17161,99 € }}$