Mathematrix: Werkzeuge/ Abstellraum/ PSA/ Grundrechenarten G1A

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Definitionen der Grundrechenarten[Bearbeiten]

Die vier Grundrechenarten[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Addition plus +                         
(addieren, erhöhen) Summand Summand Summe
Subtraktion minus                       
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen) Minuend Subtrahend Differenz
Multiplikation mal   (×)                       
(multiplizieren, vervielfachen, -fach) Faktor  ⋅  Faktor Produkt
Division durch :  (÷, /)                       
(dividieren, teilen) Dividend Divisor Quotient

Das Symbol = ist ein Gleichheitszeichen. Es steht für die Gleichheit zweier Ausdrücke. Es wird in einem eigenen Abschnitt genauer erklärt.

Das Symbol × für die Multiplikation wird kaum benutzt, weil es leicht mit dem Symbol oder dem Buchstaben x für die Variable x verwechselt werden kann. Wozu in Rechnungen Buchstaben verwendet werden, werden wir später lernen. Für die Multiplikation wird in diesem Buch das Symbol · benutzt.
Das ist ein Punkt ungefähr auf halber Höhe einer Ziffer notiert.

Für die Division benutzt man auch Punkte : Die anderen Symbole für die Division / und ÷ werden seltener benutzt.
Typisch wird allerdings / bei den Einheiten verwendet, beispielsweise in der Geschwindigkeit (km/h). In diesem Beispiel sagt man "Kilometer pro Stunde". Mit dem Wort "pro" ist Division gemeint.

Weil für Multiplikation und Division Punkte als Symbole verwendet werden, nennt man die beiden Rechenarten zusammen Punktrechnungen.

Die Symbole für die Addition + und die Subtraktion – verwenden dagegen beide Striche. Daher nennt man diese beiden Rechenarten zusammen Strichrechnungen.

Bei Addition und Multiplikation spielt jeweils die Reihenfolge keine Rolle:

Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Addition.
Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Multiplikation.

Bei Subtraktion und Division ist die Reihenfolge wichtig. Das Ergebnis ist nicht das Gleiche, wenn die Reihenfolge anders ist:

aber
aber

Weitere Ausdrücke für die vier Grundrechenarten[Bearbeiten]

Im Alltag gibt es allerdings einige Worte, die irgendeine Rechenart bedeuten können:

Schneiden, Kürzen (zum Beispiel Gehalt) und so weiter könnte minus bedeuten
Wachsen, zwei Sachen zusammen, insgesamt könnte plus bedeuten
in einige gleiche Teilen schneiden könnte doch geteilt durch bedeuten

... und so weiter ...

Das Gleichheitszeichen[Bearbeiten]

Ein Symbol, das bisher nicht erklärt wurde, ist das Gleichheitszeichen "=". Es wird benutzt, um zu zeigen, dass der Ausdruck links des Zeichens das Gleiche ist, wie der Ausdruck rechts des Zeichens. Dies betrifft sowohl den Wert als auch die Einheit.

✔(richtig)

✔(richtig)

✘(falsch: falscher Wert)

✘(falsch: falsche Einheit)

✘(falsch: rechts fehlt die Einheit m)

Wie man mit Einheiten arbeitet, werden wir genauer im entsprechenden Kapitel lernen. Da werden wir auch erfahren, dass

doch richtig ist.

Es gibt allerdings Gleichungen zwischen mehr als zwei Ausdrucken ("Gleichungsketten"), wie wir vorher gesehen haben:

Bei Gleichungsketten sind alle Ausdrücke gleich, daher kann man in diesem Beispiel auch schreiben:

oder

Es gilt daher allgemein:

  • wenn dann auch
  • wenn dann auch

Gleichungsketten kann man allerdings in der Regel nicht bei sogenannten Äquivalenzumformungen benutzen, wie wir später lernen werden.

Die Gleichung zwischen zwei Ausdrucke spielt allerdings eine wichtige Rolle beim Einsetzen, ein Verfahren, das wir im entsprechenden Kapitel lernen werden.

Negative Zahlen[Bearbeiten]

Das Minuszeichen benutzt man nicht nur bei der Subtraktion, sondern auch um sogenannte negative Zahlen zu bezeichnen. Was die negativen Zahlen sind, kann man ziemlich einfach verstehen, wenn man sich vorstellt, in einem Aufzug zu sein. Betrachten wir die folgende Bilderfolge:

AufzugA1.jpg
AufzugA2.jpg
AufzugA3.jpg
AufzugA4.jpg
AufzugA5.jpg
AufzugA6.jpg

Im ersten Bild fängt man vom Erdgeschoss an, dieses kann man mit der Zahl 0 bezeichnen. Dann fährt man mit dem Aufzug 2 Stockwerke nach oben. Die Richtung nach oben kann man mit Plus (+) bezeichnen. Das ist im Bild zu sehen. 0+2=2. Im dritten Bild fährt man aus dem 2. Stock 3 Stockwerke weiter nach oben (+ Richtung). 2+3=5. Im vierten Bild fährt man 8 Stockwerke nach unten. Nach unten kann man mit Minus (−) bezeichnen, da die Stockwerke weniger werden. Wenn man aber 5−8 rechnet, kann das Ergebnis nicht 3 sein. 3 ist oberhalb des Erdgeschosses, wir sind aber jetzt in dritten Untergeschoss. Um die Stockwerke unter dem Erdgeschoss zu bezeichnen, braucht man etwas Neues: das Minuszeichen vor dem Stockwerk! Wir sind also im Stock −3, also 3 Stockwerke unterhalb des Erdgeschosses.

Im fünften Bild fährt man ein Stockwerk weiter nach unten. Wir waren im Stock −3 und nach unten bedeutet minus. Am Ende sind wir 4 Stockwerke unter der Erde, also im Stock −4: −3−1=−4. Wenn also beide Zahlen negativ sind, addiert man ihren sogenannten Betrag (3 und 1) und schreibt vor dem Ergebnis wieder ein Minus. Im sechsten Bild fährt man aus dem 4 Stock unter der Erde (−4) 5 Stockwerke nach oben (nach oben bedeutet Plus machen) und befindet sich am Ende einen Stock oberhalb des Erdgeschosses (bei +1): −4+5=1. Wenn man zwei Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen hat, subtrahiert man die Beträge (größerer Betrag minus kleineren Betrag, hier: 5−4=1) und schreibt man vor dem Ergebnis das Vorzeichen des größeren Betrags (also hier von 5, da sie mehr als 4 ist). Im vierten Bild haben wir 5−8 gerechnet. Da haben wir wieder die Beträge subtrahiert (größerer minus kleineren: 8−5=3) und im Ergebnis haben wir wieder das Vorzeichen des größeren Betrags geschrieben (also das Minus, das vor 8 steht): 5−8 = −3.

Zusammengefasst: Wenn man zwei Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen hat (z.B. 4+7 oder −3−5), dann addiert man die Beträge (4+7=11 und 3+5=8) und schreibt vor dem Ergebnis das Vorzeichen: (4+7=11 und −3−5 = −8). Wenn die eine Zahl positiv (+) ist und die andere negativ(−), subtrahiert man die Beträge und schreibt vor dem Ergebnis das Vorzeichen des größten Betrags: 4−7=−3 15−9=6

Negative Zahlen werden immer mit einem Minus davor geschrieben, z.B. −6 oder −7,453 oder . Positive Zahlen werden mit einem Plus davor geschrieben, z.B. +6 oder +7,453 oder . Bei positiven Zahlen kann man das Vorzeichen auslassen. Zum Beispiel ist 6 die positive Zahl +6, mit 7,453 wird die positive Zahl +7,453 gemeint und mit einfach .

Wenn allerdings das Plus oder das Minus nach der Zahl geschrieben wird, bedeutet es nicht, dass es eine positive oder negative Zahl ist. In diesem Fall erwartet man, dass noch eine Zahl folgen soll. 3− ist einfach unvollständig und auf gar keinen Fall die Zahl Minus drei ...

Weiteres über Rechnungen mit negativen Zahlen werden wir im Teilkapitel über die Plusminusregel lernen.

Das Komma bei Dezimalzahlen[Bearbeiten]

Noch ein wichtiger Punkt bei der Schreibweise muss man noch kurz ansprechen. Und es geht hier genau um den Punkt.

Wenn man mit dem Taschenrechner die Division 2 durch 7 macht, kommt etwas wie folgendes vor:

Das ist eine Zahl, die kleiner als eins ist. Auf Deutsch allerdings schreibt man:

Falls der Unterschied nicht klar ist:

im ersten Fall steht zwischen 0 und dem Rest der Zahl ein Punkt:

im zweiten Fall ein Komma:

Man sagt auf Deutsch "Null Komma zwei acht fünf sieben...". Dieser Unterschied muss einem bewusst sein!

Auf Englisch und bei den meisten Taschenrechnern schreibt man

oder sogar

.

Auf Deutsch und in ein paar anderen Sprachen werden die beiden Teile umgekehrt durch ein Komma getrennt:

oder sogar

.

Auf diese Tatsache sollte man aufpassen!

Insbesondere wenn Menschen mit unterschiedlichen Kulturen, Sprachen oder Notationen Daten miteinander austauschen, kann dieser Unterschied für Verwirrung sorgen. Beim internationalen Datenaustausch und bei Programmiersprachen wird daher praktisch durchgehend der Punkt und nicht das Komma als Trennzeichen verwendet, in diesem Buch (wie allgemein auf Deutsch) allerdings das Komma.

Addition[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Addition plus +     2        +      7      =   9
(addieren, erhöhen) Summand + Summand = Summe

Beispiele: a) 35,7 + 59367 + 95382,89 + 567332,76=?       b) 56333,76 + 0,089 + 33727,727 + 9=?

Lösungen
Aufgabe a
2 2 1 2 1 2   1 0
0 0 0 0 3 5 , 1
0 5 9 3 6 7 , 0 0
0 9 5 3 8 2 , 8 9
5 6 7 3 3 2 , 7 6
 7 2 2 1 1 8 , 3 5
     
Aufgabe b
1 1 0 2 1   1 1
5 6 3 3 3 , 7 6 0
0 0 0 0 0 , 0 8 9
3 3 7 2 7 , 7 2 7
0 0 0 0 9 , 0 0 0
 9 0 0 7 0 , 5 7 6

Man schreibt die Zahlen, die man addieren will, untereinander. Die Kommas müssen untereinander sein! Wenn eine Zahl kein Komma hat, dann schreibt man ein Komma am Ende der Zahl.

Um die Aufgabe übersichtlicher zu machen, schreibt man links und rechts der Zahlen Nullen(0), wenn Ziffer (im Vergleich zu den anderen Zahlen) „fehlen“.

Man addiert die Zahlen von jeder Spalte und fängt mit der rechten Spalte an (und dann immer eine Spalte nach links). Die Summe der Ziffer der Spalte schreibt man unterhalb dieser Spalte.

Wenn die Summe der Ziffer in der Spalte mehr als 9 ist, dann schreibt man unterhalb der Spalte nur die letzte Ziffer und die restlichen oberhalb der nächsten Spalte links. Z.B. bei der Aufgabe a ist die Summe der Ziffer der Spalte rechts (mit der man anfängt) 0+0+9+6=15. Man schreibt darunter 5 (die letzte Ziffer) und 1 (15 ohne 5) oberhalb der nächsten Spalte links usw. Hier ist Aufgabe a Schritt zum Schritt gezeigt:

Aufgabe a Schritt zum Schritt gelöst
35,7 + 59367 + 95382,89 + 567332,76=?
Summe01.jpg Summe02.jpg Summe03.jpg
Summe04.jpg Summe05.jpg Summe06.jpg
Summe07.jpg Summe08.jpg Summe09.jpg
Summe10.jpg Summe11.jpg Summe12.jpg
Summe13.jpg Summe14.jpg Summe15.jpg
Summe16.jpg Summe17.jpg Summe18.jpg
Den ganzen Vorgang kann man
auch hier als Animation sehen:
Summe.gif


Subtraktion[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Subtraktion minus     65      −      22      =   43
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen) Minuend − Subtrahend = Differenz

Beispiele: a) 9,2-6,7       b) 9,5-6,4       c) 4752,8–203,007

Man schreibt die Zahlen untereinander. Die Kommas müssen untereinander sein! Wenn eine Zahl kein Komma hat, dann schreibt man ein Komma am Ende der Zahl.

Die Zahl oben muss genau so viele Ziffer vor und nach dem Komma haben, wie die Zahl unten. Daher schreibt man rechts der Zahl oben Nullen(0), wenn Ziffer in den Nachkommastellen (im Vergleich zur Zahl unten) „fehlen“.

Man subtrahiert die Zahlen von jeder Spalte (oben minus unten) und fängt mit der rechten Spalte an (und dann immer eine Spalte nach links).

Wenn die Ziffer oben kleiner als die Ziffer unten ist, dann addiert man zu dieser Ziffer 10 und subtrahiert von der nächsten Ziffer oben links eins. In der nächsten Spalte links benutzt man dann oben die reduzierte Ziffer. Beispielsweise:

Aufgaben a und b: 9,2−6,7=?     9,5-6,4=?
SubtrA1.jpg SubtrA2.jpg SubtrA3.jpg
SubtrA4.jpg SubtrA5.jpg SubtrA6.jpg
Das ganze kann man hier auch als Animation sehen:
SubtrA.gif

Bei größeren Zahlen macht man den ganzen Vorgang bei jedem Schritt.

Aufgabe c: 4752,8–203,007=?
SubtrB1.jpg SubtrB2.jpg SubtrB3.jpg
SubtrB4.jpg SubtrB5.jpg SubtrB6.jpg


Das Ganze kann man hier auch als Animation sehen:
SubtrB.gif
Noch ein paar gelöste Beispiele:
Bsp. A
453,803−452,944=0,857
   Bsp. B
504,6−3,6003=500,997
   
Bsp. C
200−199,9998=0,0002
SubtrC1.jpg SubtrC2.jpg SubtrC3.jpg

Multiplikation[Bearbeiten]

Definition der Multiplikation[Bearbeiten]

Rechenart Ausgedrückt als Symbol Namen der Teile Name des Ergebnisses
Multiplikation mal   (×)      9      ⋅      13      =   117
(multiplizieren, vervielfachen, -fach) Faktor  ⋅  Faktor = Produkt

Zunächst einmal erklären wir die Bedeutung der Multiplikation.

bedeutet, dass man mal die zueinander addiert (plus macht). Also . Allerdings spielt bei der Multiplikation die Reihenfolge keine Rolle. . Letzteres () bedeutet drei mal die 5 zueinander addieren: .

Mit Hilfe der Addition kann man ein Multiplikationstabelle erstellen, sie wird das kleine Einmaleins genannt.

das kleine Einmaleins

Multiplikation mit Hilfe der Einmaleins-Tabelle[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Einmaleinstabelle [1] kann man Multiplikationen zwischen Zahlen mit einer Ziffer ganz schnell berechnen:

2 mal 7 mit Hilfe der Einmaleinstabelle finden
Zeile "2" wählen
Spalte "7" wählen
Box wo sie sich
treffen wählen
Ergebnis: 14
  1. (die man allerdings schon auswendig lernen könnte)

Das Ganze auch als Animation:

MultiO.gif

Und noch ein paar Beispiele:

Die Reihenfolge Spielt...
keine Rolle! 5x3=3x5
Ebenfalls: 7x8...
... = 8x7!
noch ein Beispiel

Multiplikation von Zahlen mit mehreren Ziffern und Nachkommastellen[Bearbeiten]

   a)       b)       c)       d)       e)       f)       g)       h)

Beispiel a haben wir im Abschnitt über Definition schon beantwortet:

Bevor wir mit den restlichen Beispielen weitermachen, müssen wir zwei Sachen noch erklären.

  1. Bemerkung: Multiplizieren mit Klammern
    Wenn etwas in Mathematik in Klammern steht, ist es so gemeint, dass die Rechnung in den Klammern erst gemacht werden muss. Wenn wir berechnen wollen, rechnen wir erst berechnen, also was in den Klammern steht. . Dann führen wir die Multiplikation aus: . Hätten wir erst gerechnet und dann , wäre das Ergebnis falsch: .
    Das bedeutet dann, dass man die Zahl außerhalb der Klammern erst mit jedem Summand in den Klammern multiplizieren muss und dann diese Produkte addieren. ist nicht . Man muss erst die Zahl außerhalb der Klammern (3) erst mit jedem Summand in den Klammern (2 und 5) multiplizieren und dann diese Produkte (6 und 15) addieren: (also das richtige Ergebnis). Man schreibt:

    oder
  2. Bemerkung: Multiplizieren mit 10
    Wenn man eine Zahl mit 10 multipliziert, ist das Ergebnis diese Zahl mit einer Null auf ihren rechten Seite geschrieben. Das haben wir in der einmaleins-Tabelle gesehen: usw. Leicht denkt man dann, dass das Gleiche mit passiert. Tatsächlich ist gleich einer mit einer dahinter, also .


Im Beispiel b ist es möglich, als Produkt von und zu schreiben. Es steht tatsächlich in der einmaleins-Tabelle, dass ist, also

Daher

(wir haben gerade eben im Beispiel a gesehen, dass ist).

Wir wir in der zweiten Bemerkung (Multiplizieren mit 10) gerade eben gelernt haben, gilt für

Man kann also zusammenfassen:

, also .


Um Beispiel c zu lösen, können wir die erste Bemerkung (Multiplikation mit Klammern) benutzen:

ist

wie wir eben im Beispiel b gesehen haben.

wie man aus der Einmaleins-Tabelle ablesen kann. Somit ist

,

also

.


In der gleichen Weise und mit den gleichen Schritten kann man Beispiel d berechnen:

,

also

.


Aber auch Beispiel e ist dann nicht so schwer, man soll einfach eine Null zum Ergebnis von d dazu schreiben, wie wir in der Bemerkung über Multiplikation mit 10 gelernt haben:


Wenn jetzt mit multipliziert wird, wie im Beispiel f, dann werden die folgenden Schritte gemacht:

(Wir haben hier die Ergebnisse aus den Beispielen e und c benutzt)

ist

wie wir schon bei der Addition gelernt haben. Also:

Es gibt verschiedene Schreibweisen, die diesen Prozess beschreiben.


    oder     (ohne Null)

    und    

    oder    


Wenn man Kommas hat, lässt man die Kommas und die Nullen am Anfang aus und macht die Multiplikation. Im Beispiel g () haben wir insgesamt 8 Nachkommastellen (zwei bei und sechs bei , also 2+6=8 Stellen nach dem Komma insgesamt). Beim Ergebnis der Multiplikation ohne Kommas () fängt man dann mit der Ziffer rechts (hier ) an und zählt nach links so viele Stellen, wie die gesamten Nachkommastellen (hier 8 Stellen). Dort muss beim neuen Ergebnis das Komma stehen. hat aber nur vier Ziffer. Wenn die Zahl weniger Ziffer als die Nachkommastellen hat wie hier, schreibt man erst mehrere Nullen links der Zahl:

Komma 7 Stellen nach links stellen →

Daher:

Wenn man Nullen am Ende der Zahlen hat, dann lässt man diese Nullen aus. Man macht die Multiplikation und schreibt dann wieder die ausgelassenen Nullen dazu. Im Beispiel h () haben wir 4 Nullen (eine bei und drei bei ). Also zum Ergebnis schreibt man noch 4 Nullen dazu: . Also .


Das Folgende Beispiel zeigt die Vorgangsweise genauer und Schritt zum Schritt:

MultiA1.jpg MultiA2.jpg MultiA4.jpg
MultiA5.jpg MultiA6.jpg MultiA7.jpg
Das ganze kann man hier
auch als Animation sehen:
MultiA.gif


Und noch ein Beispiel, diesmal mit zwei Zahlen mit jeweils drei Ziffern:

MultiB1.jpg MultiB2.jpg MultiB3.jpg