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Umsatzsteuer (USt.) und Rabatt

Umsatzsteuer (USt.)

Denken wir an eine Flasche Wasser. Der Produzent verkauft sie dem Supermarkt für einen Preis von, sagen wir mal, 2€ und der Supermarkt will dazu 1,2€ gewinnen. Um wie viel Geld wird dann das Produkt verkauft? Man könnte denken: 2+1,2=3,2€. Das ist aber doch nicht alles. Der Staat verlangt für jedes verkauftes Gut und für jede verkaufte Leistung Steuer. Diese Steuer nennt man Umsatzsteuer (USt.). Die USt. ist in Deutschland für Grundgüter 7% und für den Rest 19%, in Österreich 10% für Grundgüter und 20% für den Rest. In anderen Staaten gibt es andere Steuersätze (5%, 13% usw.). Diese Steuer wird vom Einkäufer bezahlt und ist daher Teil des Preises. Die Flasche Wasser wird daher nicht für 3,2€ verkauft, sondern um 10% mehr (ein Getränk ist ein grundlegendes Gut, also ist die USt. 10%).

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\110\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,2€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=3{,}52{\text{€}}\qquad \qquad$.

Nettoverkaufspreis (NVP) (100%) USt. Bruttoverkaufspreis (BVP)

Die Ware wird also um 3,52€ verkauft. Diesen Preis nennt man Bruttoverkaufspreis (BVP). Die 3,2€ (den Preis ohne Steuer) nennt man Nettoverkaufspreis (NVP). Die USt. in dieser Aufgabe ist 10% des Nettoverkaufspreises:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\10\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,2€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=0{,}32{\text{€}}\qquad \qquad$.

Es gilt offenbar, sowohl was dem Preis als auch was dem Prozentsatz betrifft:

BVP=NVP + USt.

(in diesem Beispiel: 3,52=3,2+0,32 und 110%=100%+10%)

Rabatt

PSA Mathematik: Vorlage:Navigationsleiste1 Aus verschiedenen Gründen (z.B. wenn eine Ware nicht so leicht verkauft wird oder am Ende einer Saison) kann ein Verkäufer eine Ware billiger als für den gewöhnlichen Preis verkaufen. Das nennt man Rabatt (oder Skonto). Im vorherigen Beispiel kann der Supermarkt die Flasche Getränk um 6% billiger verkaufen. Der Preis vor dem Rabatt ist in diesem Fall 3,52€ (Wert am Anfang, 100%). Nach dem Rabatt bleibt noch 100-6=94%:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\94\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,52€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\textstyle x\approx 3{,}31{\text{€}}\qquad \qquad$.

Preis vor Rabatt (PVR) (100%) Preis nach Rabatt (PNR) Rabatt (R)

Der Rabatt in diesem Fall ist 6% des Preises vor dem Rabatt:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\6\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,52€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\textstyle x\approx 0{,}21{\text{€}}\qquad \qquad$.

Es gilt offenbar, sowohl was dem Preis als auch was dem Prozentsatz betrifft:

PNR=PVR-R

(in diesem Beispiel: 3,31=3,52-0,21 und 94%=100%−6%)

Kombination

Gegebener Anfangswert

• Der Nettoverkaufspreis einer Ware ist 65€. Berechnen Sie den Verkaufspreis nach einem 12% Rabatt, wenn die USt. 12% ist.

Die Aufgabe kann man in zwei Schritten lösen. Erst den Bruttoverkaufspreis berechnen (Der Bruttoverkaufspreis, also der Preis nach USt. ist 12% mehr also 100+12=112%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\112\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{65€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\quad x=72{,}8{\text{€}}\qquad \qquad$  Das ist der Bruttoverkaufspreis.

Dann kann man den Preis nach dem Rabatt berechnen. Der Preis nach dem Rabatt wird 12% weniger sein, also 100%-12%=88%.

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\88\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{72,8€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x\approx 64{,}06{\text{€}}\qquad \quad$  Das ist der Preis nach dem Rabatt (PNR).

VORSICHT:

Wenn man Brutto- (BVP) und Nettoverkaufspreis (NVP) vergleicht (und USt. berechnet) ist nicht der Brutto- sondern der Nettoverkaufspreis der Grundwert (100%)

Wenn man aber Bruttoverkaufspreis (BVP) und Preis nach Rabatt (PNR) vergleicht, ist der Bruttoverkaufspreis doch der Grundwert (100%):

${\begin{matrix}NVP\quad ......\quad 100\%\qquad \qquad \qquad \ \ \ \\BVP\quad ......\quad 100\%+USt.\neq 100\%\end{matrix}}\qquad \qquad \qquad \qquad {\begin{matrix}BVP\quad ......\quad 100\%\qquad \qquad \qquad \qquad \\PNR\quad ......\quad 100\%-{\text{Rabatt}}\neq 100\%\end{matrix}}$

Bemerkung: Erhöhen und Reduzieren um den gleichen Prozentsatz

Wie man in der letzten Aufgabe feststellen kann, wenn man den Preis um 12% erhöht und dann wieder um 12% vermindert, ist der Preis am Ende nicht gleich dem Preis am Anfang! Warum passiert das? Weil wir zwei unterschiedlichen Anfangswerte haben! Erst haben wir den Nettoverkaufspreis als Anfangswert (100%) und den Bruttoverkaufspreis als Endwert (112%). Dann ist aber der Bruttoverkaufspreis der Anfangswert (100% und nicht mehr 112%) und der Endwert der Preis nach dem Rabatt (88%).

Das ganze kann man auch wieder in einem Schritt berechnen:

65€·1,12·0,88≈64,06€ !

Man muss also immer aufpassen, welcher der Anfangswert ist!

Gegebener Endwert

• Der Verkaufspreis einer Ware nach 15% Rabatt ist 56,1€. Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis , wenn die USt. 10% ist.

Der Preis nach dem Rabatt (56,1€) ist 100%-15%=85%. Vor dem Rabatt (100%) ist er daher:

${\begin{matrix}{\text{56,1€}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}85\%\\:\uparrow \\100\%\end{matrix}}$ $\qquad x=66{\text{€}}\qquad \qquad$Das ist der Bruttoverkaufspreis.

Der Bruttoverkaufspreis nach 10% USt. ist 66€. Das ist also 110%. Der Nettoverkaufspreis (Anfangswert) ist 100% und gesucht!

${\begin{matrix}{\text{66€}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}110\%\\:\uparrow \\100\%\end{matrix}}$$\qquad x=60{\text{€}}\qquad \qquad$Das ist der Nettoverkaufspreis.

Das ganze kann man selbstverständlich auch in einem Schritt berechnen:

56,1€:0,85:1,1=60€

Warum gibt es Steuer?

Der Staat verlangt für jede verkaufte Ware und für jede erbrachte Leistung Steuer. Mit diesem Steuergeld werden (im Idealfall) die verschiedenen Leistungen, die der Staat anbietet, finanziert (z.B. Schule, Polizei, Armee, Krankenhäuser).

Zinsen und Kapitalertragssteuer (KESt.)

Definitionen

Die Symbole: Guthaben G₀ (Geld im Konto am Anfang), Zinsen Z, effektive Zinsen eZ, Zinssatz Zs, effektiver Zinssatz eZs, Guthaben G₁ (Geld am Ende des ersten Jahres).

Der Begriff Zinsen hat mit den Bankinstitutionen zu tun, der Begriff KESt. mit dem Staat. Eine Bank ist eine Institution, die Geschäfte mit Geld macht. Als Privatkunde kann jede Person ihr Geld in einer Bank anlegen. Das Geld befindet sich dann auf einem sogenannten Konto. Die Bank gibt dem Kunden Zinsen, die nach einem jährlichen Prozentsatz, den sogenannten Zinssatz berechnet wird. Der Grundwert für den Zinssatz ist das Guthaben am Anfang G₀. Die Zinsen werden durch die Staat versteuert. Diese Steuer, Kapitalertragssteuer (KESt.) genannt, ist im deutschsprachigem Raum ca. 25% der Zinsen und dieser Prozentsatz wird im Folgenden immer benutzt.

Es gibt verschiedene Gründe, warum die Bank jedes Jahr den Kunden Zinsen gibt. Einerseits verliert das Geld durch die Inflation (Erhöhung der Preise) an seinen Wert, andererseits erzielen die Banken durch Investitionen und Kredite einen Gewinn, der ein Vielfaches der Zinsen ist.

Wie schon erwähnt, die Zinsen werden versteuert, daher bleiben im Ḱonto nicht die ganzen Zinsen, die die Bank gibt, sonder ein Teil davon, die sogenannten effektiven Zinsen. Da die Steuer 25% ist, sind die effektiven Zinsen der Rest 75% der Zinsen, die die Bank gibt (75% ist das 0,75-fache oder $\textstyle {\frac {3}{4}}$ der Zinsen.

Guthaben am Anfang G₀ ist das Geld, das ein Privatkunde in ein Bankkonto anlegt.

Zinsen Z ist das Geld, das die Bank jedes Jahr dem Kunden gibt, sozusagen als Belohnung für sein Vertrauen an der Bank (und als Teil des Gewinns, den die Bank mit diesem Geld macht).

Zinssatz Zs ist ein Prozentsatz. Er wird benutzt, um die Zinsen, die die Bank gibt, zu berechnen. In diesem Fall ist das Guthaben am Anfang (für das erste Jahr G₀) der Grundwert (also 100%).

Kapitalertragssteuer KESt. ist eine Steuer auf die Zinsen. Sie wird vom Staat genommen, um Funktionen des Staates zu finanzieren. in diesem Buch wird sie immer 25% sein. Der Grundwert allerdings ist in diesem Fall nicht das Guthaben am Anfang, sondern die Zinsen Z, die die Bank dem Kunden gibt.

Effektive Zinsen eZ ist das Geld, das dem Kunden von den Zinsen übrig bleibt, nachdem die Zinsen versteuert werden. Wenn nichts Anderes auf dem Konto passiert, ist das Guthaben nach einem Jahr G₁ die Summe des Guthabens am Anfang G₀ und der effektiven Zinsen.

Effektiver Zinssatz eZs ist ein Prozentsatz. Er ist 75% (also das 0,75-fache oder $\textstyle {\frac {3}{4}}$) des Zinssatzes Zs, da 25% der Zinsen als KESt. vom Staat genommen werden. Wenn nichts Anderes auf dem Konto passiert, wird das Guthaben nach einem Jahr G₁ um so viel mehr Prozent als das Guthaben am Anfang G₀, wie der effektive Zinssatz.

G1 = G0 + eZ	Z = G0 · Zs : 100	KESt.= Z ⋅ $\textstyle {\frac {25}{100}}$	eZs= Zs ⋅ $\textstyle {\frac {75}{100}}$= Zs ⋅ $\textstyle {\frac {3}{4}}$
eZ = Z – KESt.	eZ = G0 · eZS : 100	G1 = G0 · $\textstyle {\frac {100+eZS}{100}}$	eZ= Z ⋅ $\textstyle {\frac {75}{100}}$= Z ⋅ $\textstyle {\frac {3}{4}}$

Zinsen

Wenn man Geld auf einem Konto hat, bekommt man jedes Jahr Zinsen. Die Bank benutzt das Geld vom Konto, um es zu investieren. Teil des Gewinns aus den Investitionen bekommt der Kontoinhaber als Zinsen (zu diesem Thema lernen wir mehr im Kapitel über Wachstum).

PSA Mathematik: Vorlage:Navigationsleiste1 Die Zinsen werden nach einem Jahreszinssatz berechnet. Wenn man z.B. 4000€ im Konto (Anfangswert: 100%) hat und der Zinssatz 0,5%, dann bekommt man am Ende des Jahres:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\0{,}5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{4000€}}\\{}\\x\end{matrix}}$        $x=20{\text{€ }}$Zinsen.

KESt., effektive Zinsen, Guthaben nach einem Jahr

Wenn man ein Bankkonto hat, bekommt man von der Bank jedes Jahr Zinsen. Diese werden vom Staat versteuert. Diese Steuer nennt man Kapitalertragssteuer (KESt.). Der Zinssatz für die Berechnung der Steuer ist ungefähr auch 25%. Das bedeutet im vorherigen Beispiel, dass ein Teil (25%) von den 20€ dem Staat (und nicht dem Kontoinhaber) gegeben wird. Wie viel Geld gelangt dann auf das Konto? In dieser Frage sind die Zinsen (und nicht das Geld am Anfang) der Grundwert (also 100%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\25\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{20€}}\\{}\\KESt.\end{matrix}}$      $KESt.=5{\text{€}}$  KESt.

Daher bleiben auf dem Konto nicht 20€ mehr am Ende des Jahres sondern: PSA Mathematik: Vorlage:Navigationsleiste1

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{20€}}\\{}\\eZ.\end{matrix}}$      $\qquad eZ.=15{\text{€}}$  effektive Zinsen.

(nicht vergessen: $\textstyle 25\%=0,25={\frac {25}{100}}={\frac {1}{4}},\qquad 75\%=0,75={\frac {75}{100}}={\frac {3}{4}}$,  also 3/4 der Zinsen bleibt im Konto und 1/4 geht zum Staat als Steuer KESt.)

Diese Zinsen, die auf dem Konto bleiben, nennt man effektive Zinsen, den entsprechenden Zinssatz, effektiven Zinssatz. Man kann die effektiven Zinsen offenbar auch einfacher berechnen: eZ = Z – KESt.=20€−5€=15€

Das bedeutet dann, dass das Geld am Ende des Jahres (Guthaben G₁):

G₁=4000€+15€=4015€ ist.

Man kann dann als Formel schreiben:

Die Symbole: Guthaben G₀ (Geld im Konto am Anfang), Zinsen Z, effektive Zinsen eZ, Zinssatz Zs, effektiver Zinssatz eZs, Guthaben G₁ (Geld am Ende des ersten Jahres).

G1 = G0 + eZ	Z = G0 · Zs : 100	KESt.= Z ⋅ $\textstyle {\frac {25}{100}}$	eZs= Zs ⋅ $\textstyle {\frac {75}{100}}$= Zs ⋅ $\textstyle {\frac {3}{4}}$
eZ = Z – KESt.	eZ = G0 · eZS : 100	G1 = G0 · $\textstyle {\frac {100+eZS}{100}}$	eZ= Z ⋅ $\textstyle {\frac {75}{100}}$= Z ⋅ $\textstyle {\frac {3}{4}}$