Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Dynamik geladener Polymere

Unter einem Polymer versteht man ein sehr großes Molekül (auch Makromolekül genannt), was aus einzelnen kleinen Untereinheiten (Monomeren), die sich ggf. wiederholen, besteht. Kunststoffe wie Polyethylen (hier ist Ethylen ein Monomer, was dann, wenn es über das Makromolekül hinweg wiederholt wird, ein Polymer wird; man sagt, es entsteht durch Polymerisation) bestehen beispielsweise aus Polymeren. In der Biophysik gibt es zahllose Polymere. Proteine sind Polymere, deren Monomere die Aminosäuren sind. Einige Monomere tragen auch elektrische Ladung. Die Wechselwirkung dieser elektrischen Ladungen führt dazu, dass die Proteine sich in viele verschiedene dreidimensionale Gebilde wie Enzyme falten können.

Im folgenden wird ein vereinfachtes Modell für geladene Polymere behandelt.

Vereinfachend kann ein Polymer als eindimensionale Kette (eingebettet im dreidimensionalen Raum) angesehen werden. Das Polymer besteht aus $N$ Monomeren, die mit einem Index $i=1,\dots ,N$ durchnummeriert sind und wo das i-te Monomer die Masse $m_{i}$ und die elektrische Ladung $q_{i}$ besitzt. Zwischen zwei benachbarten Monomeren ist eine lineare Hookesche Feder der Steifigkeit $k_{i}$, die die (kovalente) Bindung zwischen den Monomeren darstellt. Sei ${\vec {r}}_{i}$ die Position des i-ten Monomers im dreidimensionalen Raum. Dann wirken zwei verschiedene Kräfte auf das Monomer:

1) Bindungskraft:

a) Im Falle von Monomeren, die rechts und links ein Nachbar haben, d.h. $i>1,i<N$:

${\vec {F}}_{b,i}=-{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{i}}}{\frac {1}{2}}(k_{i+1}|{\vec {r}}_{i+1}-{\vec {r}}_{i}|^{2}+k_{i}|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{i-1}|^{2})$

b) Für $i=1$, also dem Randmonomer am linken Ende:

${\vec {F}}_{b,i}=-{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{i}}}{\frac {1}{2}}(k_{i+1}|{\vec {r}}_{i+1}-{\vec {r}}_{i}|^{2})$

c) Für $i=N$, also dem Randmonomer am rechten Ende:

${\vec {F}}_{b,i}=-{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}_{i}}}{\frac {1}{2}}(k_{i}|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{i-1}|^{2})$

2) Elektromagnetische Kraft:

Aus der klassischen Elektrodynamik ist bekannt, dass auf das i-te Teilchen die folgende Kraft wirkt:

${\vec {F}}_{em,i}=q_{i}{\vec {E}}({\vec {r}}_{i})+q_{i}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}\times {\vec {B}}({\vec {r}}_{i})$