Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Elektrostatik

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Aus der Elektrodynamik folgt die Elektrostatik über die Forderung


,


wodurch sich die (makroskopischen) Maxwellgleichungen wie folgt vereinfachen:

  • (keine magnet. Monopole),
  • (woraus u.a.

auch das Coulomb-Gesetz folgt),

(Ampère'sches Durchflutungsgesetz) und

  • (rotationsfreies elektrisches

Feld).

Aus diesen Grundgleichungen werden wir in den nächsten Kapiteln die Gesetze der Elektrostatik herleiten.


Kontinuitätsgleichung[Bearbeiten]

Die Kontinuitätsgleichung nimmt wegen des Ampère'schen Durchflutungsgesetzes die folgende Form an



wegen .


Elektromagnetische Potentiale[Bearbeiten]

(1) Ein skalares Potential können wir folgendermaßen einführen:


.


Die Konsequenzen hieraus sind die Wegunabhängigkeit für Kurvenintegrale über das elektrische Feld, der Begriff der Spannung bzw. der Potentialdifferenz sowie die Möglichkeit, das Skalarpotential angeben zu können. Dies alles zeigen wir unter den folgenden beiden Punkten (a) und (b)

(a) Die Wegunabhängigkeit:

Wegunabhaengigkeit maxwell.jpg
Fig: : Weg von nach ; : Weg von nach

Aus folgt mit dem Satz von Stokes:


,


obwohl .

Es gibt daher eine Spannung zwischen und  :


,


eine sog. Potenzialdifferenz, die mit der potentielle Energie für eine Punktladung q wie folgt zusammenhängt:


.


(b) Bestimmen von :

, isotrope Dielektrika: .


,
.


Für das Beispiel einer Punktladung, d.h.


,


erhalten wir


,


also das berühmte Coulomb-Feld.

(2) Ein Vektorpotential resultiert aus der Gleichung


.


Mit Hilfe des Ampère'schen Durchflutungsgesetztes


,


und unter der Annahme isotroper Magnetika, d.h. ,

erhalten wir über die Greensfunktion der Elektrostatik, für die



gilt, folgende Bestimmungsgleichung für das Vektorpotential:


.


In Coulomb-Eichung, d.h. , wird hieraus


,


woraus für das Vektorpotential



folgt.


Poisson-Gleichung[Bearbeiten]

Die Lösung der Poisson-Gleichung,


,


wird erst durch die an sie gestellten Randbedingungen eindeutig.

Zunächst aber ein kleiner mathematischer Exkurs über die Sätze von Green.

Aus dem Satz von Gauß ergibt sich der Satz I von Green:



und hieraus resultiert wiederum der Satz II von Green:


.


Setze jetzt in Green II , ein und verwende :


.


Als Green'sche Funktion erhalten wir hieraus:


,


für die



gilt, d.h.


.


Es können folgende Arten der Randbedingungen unterschieden werden:

(a) Dirichlet'sche Randbedingungen: für sowie

(b) Neumann'sche Randbedingungen: für ein gilt mit dem Gauß'schen Satz



für ein .

Über die Green'sche Funktion können u.a. die folgenden beiden Aussagen getroffen werden.

  • Die Green'sche Funktion ist in ihren Argumenten symmetrisch, d.h.

:



wegen der Dirichlet'schen Randbedingung für .

  • Die Lösung der Poisson-Gleichung wir mit z.B. der Dirichlet'schen

Randbedingung bis auf eine Konstante eindeutig.

Um dies zu zeigen, nehmen wir zunächst das Gegenteil an, d.h. es existieren zwei Lösungen der Poisson-Gleichung zur selben Ladungsverteilung :


,
,


Mit Green I folgt hieraus:


,


wenn z.B. Dirichlet'sche Randbedingungen, d.h. , angewandt werden. Wegen gilt somit auch , d.h.


Biot-Savart'scher Satz[Bearbeiten]

Da wir bereits das Vektorpotential in der Elektrostatik bestimmt haben,


,


erhalten wir aus und unmittelbar:


.


Mit resultiert hieraus der berühmte Biot-Savart'sche Satz,


,


mit dem in der Elektrostatik z.B. das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters bestimmt werden kann.


Dipolentwicklung des elektrischen Feldes[Bearbeiten]

Der Beobachter sei weit von der Quelle des elektrischen Feldes, einer Ladungsverteilung um , entfernt, d.h. .

Daher kann eine Taylor-Entwicklung bis zur ersten Ordnung in um Null durchgeführt werden:


,


die man auch wie folgt einsehen kann:



mit dem Winkel zwischen und , d.h. . Somit erhalten wir


.


Bei Abwesenheit von Dielektrika (d.h. ) gilt:


,


mit der Ladung



und dem Dipolmoment


.


ist also eine Summe aus einem Monopolterm (Term mit q) und einem Dipolterm (Term mit ).

Aus dem Skalarpotential können wir das elektrische Feld ,

mittels


,


und



errechnen:


.


Dipolentwicklung des magnetischen Feldes[Bearbeiten]

Der Beobachter sie weit von der Quelle des magnetischen Feldes, einer Stromverteilung um , entfernt, d.h. :


.


Bei Abwesenheit von Magnetika (d.h. ) gilt daher:



Wegen der Quellfreiheit des Stromes in der Elektrostatik, d.h.


,


vereinfacht sich folgendes Integral


,


in dem nach dem Satz von Gauß der Divergenzterm


,


auf dem Rande des Integrationsvolumens verschwindet, weil im Unendlichen kein Strom fließe. Hieraus resultiert der im Folgenden noch oft verwendete Hilfssatz:

Für gilt .

Hierin setzten wir nacheinander

(a) :


.


D.h. der Monopol-Anteil verschwindet!

(b) :


,


(c) .

Aus (a) bis (c) erhalten wir somit für das Vektorpotential


,


d.h.



mit dem magnetischen Moment


.


Aus dem jetzt bekannten Vektorpotential lässt sich selbstverständlich wieder ein magnetisches Feld berechnen:


,
, ,


woraus ein magnetisches Dipolfeld resultiert:


.


Außerdem ist es noch möglich, mittels (a) bis (c) die magnetische Dipolenergie und das Drehmoment auf eine lokalisierte Stromverteilung zu bestimmen.

  • Die magnetische Dipolenergie können wir durch das Betrachten einer

Kraft



auf eine wenig ausgedehnte Stromverteilung im äußeren Magnetfeld gewinnen, d.h.


:
,


weil ja

Die magnetische Dipolenergie beträgt somit:


.


  • Drehmoment auf eine lokalisierte Stromverteilung:

Aus



folgt unmittelbar


.


Für gilt ja: .

Hierin setzen wir ein:


,


woraus sich für das Drehmoment



ergibt.


Skalarpotential bei Anwesenheit von Dielektrika[Bearbeiten]

Bei Anwesenheit von Dielektrika, die nicht unbedingt isotrop sein müssen, gilt:


.


Für das Skalarpotential ergibt sich somit


,


wobei wir hier den Gauß'schen Integralsatz verbunden mit der Tatsache verwendet haben, dass im Unendlichen keine polarisierbare Materie vorhanden ist. Außerdem haben wir



genutzt.

Deutung des Ergebnisses: Das Skalarpotential



entsteht aus der Dipolentwicklung von ,


,


durch eine Volumenintegration über:



mit


.


Vektorpotential bei Anwesenheit von Magnetika[Bearbeiten]

Bei Anwesenheit von Magnetika, die nicht unbedingt isotrop sein müssen, gilt:


.


Zeitableitungen werden aber in der Elektrostatik vernachlässigt - daher:


.


Diese Stromdichte erfüllt dann auch wieder die Divergenzfreiheit (Kontinuitätsgleichung): , weil .

D.h. wir erhalten


.


Im zweiten Integral können wir den Integranden mittels



umformen:


.


Es gibt zudem eine spezielle Variante des Gauß'schen bzw. Stokes'schen Satzes, die wir hier anwenden können:


,


wobei . Der folgende Oberflächenterm verschwinde:


.


Somit erhalten wir


,


woraus schließlich



resultiert.

Hierauf kommen wir auch über (s. das Kap. über das skalare Potential bei Anwesenheit von Dielektrika) :

entsteht durch Volumenintegration über


.


Daraus können wir die magnetische Flussdichte bestimmen:


.


Der letzte Summand lässt sich noch weiter umformen:


,


worin wiederum der letzte Term berechnet werden kann:


.


Aus der Rotation dieser Gleichung für und der Maxwell-Gleichung



erhalten wir


,


woraus wir schließlich



ablesen können.


Elektrostatische Energie in Dielektrika[Bearbeiten]

Die potentielle Energie einer Probeladung q im elektrischen Feld beträgt


,


woraus sich



ergibt, wenn man z.B. die Platten eines Kondensators auflädt. Hieraus erhalten wir durch partielle Integration mittels Green I, d.h.



mit und ,


.


Das Oberflächenintegral


,


da entsprechend dem Coulomb-Feld , und , (Kugelkoordinaten), sodass


.


Wegen



erhalten wir schließlich


.


Bei einem linearen Zusammenhang zwischen und , d.h. , folgt:


.


Elektrisches Quadrupolmoment[Bearbeiten]

Eine sog. Multipolentwicklung der Energie einer Ladungsverteilung im äußeren Feld (d.h. ) können wir folgendermaßen vornehmen: In



entwickeln wir das Skalarpotential nach Taylor um den Ursprung:


,


woraus



mit



und



resultiert. Diese Entwicklung besteht also aus einem Monopol-Term mit der Ladung q, einem Dipolterm mit dem Dipolmoment sowie einem sog. Quadrupolterm mit dem Quadrupolmoment :


.


Energie des Magnetfeldes[Bearbeiten]

Über die durch Joule'sche Wärme abgegebene Leistung, d.h.


,


und die Induktionsspannung



können wir auf eine Änderung der potentiellen Energie schließen:


,


wobei wir hierin von



Gebrauch machen, um



zu erhalten. Mit dem Satz von Gauß gilt:


,


sodass sich



ergibt.

Bei einem linearen Zusammenhang zwischen und , d.h. , gilt:


.