Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Greensfunktion in der Elektrodynamik

In der Elektrodynamik werden wir noch eine Greensfunktion benötigen, die folgende Gleichung erfüllt:

$\square G\left(x\right)\equiv \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)G\left(x_{0},{\vec {x}}\right)=4\pi \delta ^{4}\left(x\right)$,

wobei $x=\left(x_{0},{\vec {x}}\right)=\left(ct,{\vec {x}}\right)$ die Zusammenfassung (ein sog. »Vierervektor«) von Zeit (mal die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c) und dem Ortsvektor sei und

$\delta ^{4}\left(x\right)=\delta \left(x_{0}\right)\delta ^{3}\left({\vec {x}}\right)$

ein Dirac'sches Deltafunktional von diesem Orts-Vierervektor ist. Stellen wir $G\left(x\right)$ als Fouriertransformation

$G\left(x\right)=\int {\frac {d^{4}k}{\left(2\pi \right)^{4}}}\,e^{ik\cdot x}{\tilde {G}}\left(k\right)=\int {\frac {dk_{0}}{2\pi }}\,e^{ik_{0}\cdot x_{0}}{\tilde {G}}\left(k_{0},{\vec {x}}\right)$

dar (wobei hierin $k=\left(k_{0},{\vec {k}}\right)$ ein sog. »Vierer-Wellenvektor« sei und $k\cdot x=k_{0}x_{0}-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}$ als »Vierer-Produkt« aufzufassen ist), dann erhalten wir daraus

$4\pi \underbrace {\int {\frac {dk_{0}}{2\pi }}\,e^{ik_{0}\cdot x_{0}}} _{\delta \left(x_{0}\right)}\,\delta ^{3}\left({\vec {x}}\right)=4\pi \delta ^{4}\left(x\right)=\square G\left(x\right)\equiv \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)G\left(t,{\vec {x}}\right)=-\int {\frac {dk_{0}}{2\pi }}\,e^{ik_{0}\cdot x_{0}}\left(k_{0}^{2}+{\vec {\nabla }}^{2}\right){\tilde {G}}\left(k_{0},{\vec {x}}\right)$,

d.h. eine Gleichung für die zeitliche Fouriertransformierte ${\tilde {G}}\left(k_{0},{\vec {x}}\right)$ von $G\left(x\right)$:

$\left(k_{0}^{2}+{\vec {\nabla }}^{2}\right){\tilde {G}}\left(k_{0},{\vec {x}}\right)=-4\pi \delta ^{3}\left({\vec {x}}\right)$.

Diese Gleichung ist invariant unter Drehungen, die ja folgende Eigenschaften besitzen:

${\vec {x}}\rightarrow {\underline {R}}{\vec {x,}}\,{\underline {R}}^{T}{\underline {R}}={\underline {R}}{\underline {R}}^{T}={\underline {1}}$,

d.h.

${\underline {R}}^{-1}={\underline {R}}^{T}$, $\det \left({\underline {R}}\right)=\det \left({\underline {R}}^{T}\right)=\det \left({\underline {R}}^{-1}\right)={\frac {1}{\det \left({\underline {R}}\right)}}\,\Rightarrow \det \left({\underline {R}}\right)=\det \left({\underline {R}}^{-1}\right)=\pm 1$.

Mit Hilfe dieser Eigenschaften von Drehungen können wir diese Behauptung beweisen:

$-4\pi \delta ^{3}\left({\underline {R}}{\vec {x}}\right)=\left(k_{0}^{2}+{\vec {\nabla }}^{2}\right){\tilde {G}}\left(k_{0},{\underline {R}}{\vec {x}}\right)=\left(k_{0}^{2}+\left({\underline {R}}{\vec {\nabla }}^{\prime }\right)^{2}\right){\tilde {G}}\left(k_{0},{\vec {x}}^{\prime }\right)=$ $\left(k_{0}^{2}+{\vec {\nabla }}^{\prime T}{\underline {R}}^{T}{\underline {R}}{\vec {\nabla }}^{\prime }\right){\tilde {G}}\left(k_{0},{\vec {x}}^{\prime }\right)=\left(k_{0}^{2}+{\vec {\nabla }}^{\prime 2}\right){\tilde {G}}\left(k_{0},{\vec {x}}^{\prime }\right)$

und

$\int d^{3}x\,\delta ^{3}\left({\underline {R}}{\vec {x}}\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,\left|\det \left({\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial {\vec {x}}^{\prime }}}\right)\right|\delta ^{3}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)$ $=\int d^{3}x^{\prime }\,\left|\det \left({\underline {R}}^{-1}\right)\right|\delta ^{3}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,\delta ^{3}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)$,

woraus

$\delta ^{3}\left({\underline {R}}{\vec {x}}\right)=\delta ^{3}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)=\delta ^{3}\left({\vec {x}}\right)$

folgt. D.h.

${\tilde {G}}\left(k_{0},{\vec {x}}\right)={\tilde {G}}\left(k_{0},r\right)$.

In Kugelkoordinaten können wir den Laplace-Operator wie folgt darstellen:

${\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}r\right)^{2}+{\frac {{\hat {\vec {L}}}^{2}}{r^{2}}},\;{\hat {\vec {L}}}^{2}={\hat {\vec {L}}}^{2}\left(\partial _{\vartheta },\partial _{\varphi }\right)$,

wobei ${\hat {\vec {L}}}^{2}$ ein Differentialoperator sei, der nur partielle Ableitungen nach den Winkel-Variablen enthält. Letzterer Operator trägt nichts bei, wenn er auf ${\tilde {G}}\left(k_{0},r\right)$ wirkt, da diese Funktion nicht von den Winkeln abhängt:

${\vec {\nabla }}^{2}{\tilde {G}}\left(k_{0},r\right)=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}r\right)^{2}{\tilde {G}}\left(k_{0},r\right)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r{\tilde {G}}\left(k_{0},r\right)$.

Sei jetzt $r\neq 0$:

$0=\left(k_{0}^{2}+{\vec {\nabla }}^{2}\right){\tilde {G}}\left(k_{0},r\right)=\left(k_{0}^{2}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r\right){\tilde {G}}\left(k_{0},r\right)\,\Leftrightarrow \,$ $0=\left(k_{0}^{2}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\right)r{\tilde {G}}\left(k_{0},r\right)\,\Rightarrow \,$ $r{\tilde {G}}\left(k_{0},r\right)=Ae^{ik_{0}r}+Be^{-ik_{0}r}{\underset {k_{0}\rightarrow 0}{\rightarrow }}A+B$.

Im Limes $k_{0}\rightarrow 0$ gilt außerdem:

${\vec {\nabla }}^{2}{\tilde {G}}\left(0,{\vec {x}}\right){\underset {k_{0}\rightarrow 0}{\leftarrow }}\left(k_{0}^{2}+{\vec {\nabla }}^{2}\right){\tilde {G}}\left(k_{0},{\vec {x}}\right)=-4\pi \delta ^{3}\left({\vec {x}}\right)\;\Rightarrow \;{\tilde {G}}\left(0,{\vec {x}}\right){\underset {k_{0}\rightarrow 0}{\rightarrow }}{\frac {1}{r}}$.

Daher können wir nun auf Folgendes schließen:

$1=r{\tilde {G}}\left(0,r\right)=A+B\;\Rightarrow \;B=1-A$.

Mit dieser Erkenntnis haben wir die Greensfunktion bis auf eine Konstante 'A bestimmt:

$G\left(x_{0},{\vec {x}}\right)=\int {\frac {dk_{0}}{2\pi }}\,e^{ik_{0}\cdot x_{0}}{\tilde {G}}\left(k_{0},{\vec {x}}\right)={\frac {A}{r}}\int {\frac {dk_{0}}{2\pi }}\,e^{ik_{0}\cdot \left(x_{0}+r\right)}+{\frac {1-A}{r}}\int {\frac {dk_{0}}{2\pi }}\,e^{ik_{0}\cdot \left(x_{0}-r\right)}$ $={\frac {A}{r}}\underbrace {\delta \left(x_{0}+r\right)} _{\neq 0\Leftrightarrow x_{0}=-r\leq 0}+{\frac {1-A}{r}}\underbrace {\delta \left(x_{0}-r\right)} _{\neq 0\Leftrightarrow x_{0}=r\geq 0}$

Für $r\neq 0$ und $t\neq 0$ können aber nicht beide Deltafunktionen gleichzeitig ungleich Null sein, d.h. entweder gilt $t=-{\frac {r}{c}}<0$ oder $t={\frac {r}{c}}>0$, also entweder $A\neq 0$ oder $1-A\neq 0$:

$G\left(x_{0},{\vec {x}}\right)={\frac {A}{r}}\underbrace {\delta \left(x_{0}+r\right)} _{\neq 0\Leftrightarrow x_{0}=-r<0}+{\frac {1-A}{r}}\underbrace {\delta \left(x_{0}-r\right)} _{\neq 0\Leftrightarrow x_{0}=r>0}={\frac {1}{r}}\left\{{\begin{array}{c}\left(1-A\right)\delta \left(x_{0}-r\right),\,x_{0}\geq 0\\\;\;\,\,\,A\delta \left(x_{0}+r\right),\,x_{0}<0\end{array}}\right.$ $={\frac {1}{r}}\left[A\underbrace {\Theta \left(-x_{0}\right)} _{\neq 0\Leftrightarrow x_{0}<0}\delta \left(x_{0}+r\right)+\left(1-A\right)\underbrace {\Theta \left(x_{0}\right)} _{\neq 0\Leftrightarrow x_{0}\geq 0}\delta \left(x_{0}-r\right)\right]$,

Hier haben wir die Theta-Funktion verwendet:

$\theta \left(t\right)\equiv \Theta \left(t\right)=\left\{{\begin{array}{c}1,\,t\geq 0\\0,\,t<0\end{array}}\right.$.

Schließlich können wir die Konstante A sogar noch durch das Bilden des Grenzwertes $t\rightarrow 0$ bestimmen:

$-{\vec {\nabla }}^{2}G\left(0,{\vec {x}}\right)=4\pi \delta ^{3}\left({\vec {x}}\right){\underset {t\rightarrow 0}{\leftarrow }}\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)G\left(x_{0},{\vec {x}}\right)=4\pi \delta ^{4}\left(x\right)\;\Rightarrow \;G\left(x_{0},{\vec {x}}\right){\underset {t\rightarrow 0}{\rightarrow }}G\left(0,{\vec {x}}\right)={\frac {1}{r}}$,

d.h. entweder $A=1$ (wenn $t\rightarrow 0-$) oder $1-A=1$ (wenn $t\rightarrow 0+$):

$G\left(x_{0},{\vec {x}}\right)=\underbrace {\underbrace {\Theta \left(-x_{0}\right)} _{\neq 0\Leftrightarrow x_{0}<0}{\frac {1}{r}}\delta \left(x_{0}+r\right)} _{G_{-}\left(x\right)}+\underbrace {\underbrace {\Theta \left(x_{0}\right)} _{\neq 0\Leftrightarrow x_{0}\geq 0}{\frac {1}{r}}\delta \left(x_{0}-r\right)} _{G_{+}\left(x\right)}=G_{-}\left(x\right)+G_{+}\left(x\right)$.

Für $x_{0}<0$ tritt hier die sog. avancierte Greensfunktion $G_{-}\left(x\right)$ und für $x_{0}\geq 0$ die retardierte Greensfunktion $G_{+}\left(x\right)$ auf. In der Elektrodynamik wird gerne die retardierte Greensfunktion verwendet, da wir dort im Allg. nicht negative Zeiten betrachten (weil insbesondere eine Wirkung nicht vor ihrer Ursache auftreten soll).