Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Greensfunktion in der Elektrodynamik

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Elektrodynamik werden wir noch eine Greensfunktion benötigen, die folgende Gleichung erfüllt:


,


wobei die Zusammenfassung (ein sog. »Vierervektor«) von Zeit (mal die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c) und dem Ortsvektor sei und



ein Dirac'sches Deltafunktional von diesem Orts-Vierervektor ist. Stellen wir als Fouriertransformation



dar (wobei hierin ein sog. »Vierer-Wellenvektor« sei und als »Vierer-Produkt« aufzufassen ist), dann erhalten wir daraus


,


d.h. eine Gleichung für die zeitliche Fouriertransformierte von :


.


Diese Gleichung ist invariant unter Drehungen, die ja folgende Eigenschaften besitzen:


,


d.h.


,
.


Mit Hilfe dieser Eigenschaften von Drehungen können wir diese Behauptung beweisen:



und


,


woraus



folgt. D.h.


.


In Kugelkoordinaten können wir den Laplace-Operator wie folgt darstellen:


,


wobei ein Differentialoperator sei, der nur partielle Ableitungen nach den Winkel-Variablen enthält. Letzterer Operator trägt nichts bei, wenn er auf wirkt, da diese Funktion nicht von den Winkeln abhängt:


.


Sei jetzt :


.


Im Limes gilt außerdem:


.


Daher können wir nun auf Folgendes schließen:


.


Mit dieser Erkenntnis haben wir die Greensfunktion bis auf eine Konstante 'A bestimmt:



Für und können aber nicht beide Deltafunktionen gleichzeitig ungleich Null sein, d.h. entweder gilt oder , also entweder oder :


,


Hier haben wir die Theta-Funktion verwendet:


.


Schließlich können wir die Konstante A sogar noch durch das Bilden des Grenzwertes bestimmen:


,


d.h. entweder (wenn ) oder (wenn ):


.


Für tritt hier die sog. avancierte Greensfunktion und für die retardierte Greensfunktion auf. In der Elektrodynamik wird gerne die retardierte Greensfunktion verwendet, da wir dort im Allg. nicht negative Zeiten betrachten (weil insbesondere eine Wirkung nicht vor ihrer Ursache auftreten soll).