Hier gibt es zunächst nur eine Auflistung von Berechnungen, die sich
im Folgenden noch als sehr nützlich erweisen werden:
,
Kronecker-Symbol: ,
.
Für :
,
.
Doch welchen Wert nimmt
an, wenn die Bedingung nicht erfüllt ist? Die
Antwort auf diese Frage versuchen wir durch folgende Betrachtung zu
finden:
Wir benötigen hierzu eine kleine Umgebung mit Radius
um den Nullpunkt als Kugelfläche
/ Kugelvolumen .
Fig: Integrationsgebiet unter Ausschluss des Ursprungs
Für gilt ja .
Im Integrationsgebiet werde der Ursprung ausgeschlossen:
bzw. .
Dann wenden wir den Satz von Gauß an:
,
weil .
Als Flächenelement verwenden wir
in Kugelkoordinaten:
.
Hiermit erhalten wir für die Integrale
.
Schließlich wenden wir auf diese Integrale einen Limesprozess an,
bei dem der Kugelradius um den Ursprung immer kleiner gewählt wird:
;
Hier haben wir Diracs Deltafunktional verwendet,
für ,
,
mit dem wir unser Ergebnis relativ kompakt als
schreiben können. In den Kapiteln über die Elektrostatik werden wir
diese Gleichung dringend benötigen. Sie ist dort die Entsprechung
dessen, was in der Elektrodynamik als Greensfunktion bezeichnet wird.
Von dieser Funktion handelt das nächste Kapitel.