Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Greensfunktion in der Elektrostatik

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Hier gibt es zunächst nur eine Auflistung von Berechnungen, die sich im Folgenden noch als sehr nützlich erweisen werden:


,


Kronecker-Symbol: ,


.


Für :


,
.


Doch welchen Wert nimmt an, wenn die Bedingung nicht erfüllt ist? Die Antwort auf diese Frage versuchen wir durch folgende Betrachtung zu finden:

Wir benötigen hierzu eine kleine Umgebung mit Radius um den Nullpunkt als Kugelfläche / Kugelvolumen .

Greensfunktion maxwell.jpg
Fig: Integrationsgebiet unter Ausschluss des Ursprungs


Für gilt ja .

Im Integrationsgebiet werde der Ursprung ausgeschlossen: bzw. .

Dann wenden wir den Satz von Gauß an:


,


weil .

Als Flächenelement verwenden wir in Kugelkoordinaten:


.


Hiermit erhalten wir für die Integrale


.


Schließlich wenden wir auf diese Integrale einen Limesprozess an, bei dem der Kugelradius um den Ursprung immer kleiner gewählt wird:


;


Hier haben wir Diracs Deltafunktional verwendet,

für , ,

mit dem wir unser Ergebnis relativ kompakt als



schreiben können. In den Kapiteln über die Elektrostatik werden wir diese Gleichung dringend benötigen. Sie ist dort die Entsprechung dessen, was in der Elektrodynamik als Greensfunktion bezeichnet wird. Von dieser Funktion handelt das nächste Kapitel.