Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Strahlung einer bewegten Ladung

Um das elektromagnetische Strahlungsfeld einer bewegten Ladung zu bestimmen, haben wir bereits alle notwendigen Mittel bereit gestellt: die retardierte Greensfunktion, um zu einer gegebenen Ladungs- und Stromverteilung (hier also zu einer bewegten Punktladung gehörend) das elektromagnetische Viererpotential zu errechnen. Zunächst machen wir uns aber Gedanken darüber, ob sich die Viererstromdichte und die retardierte Greensfunktion relativistisch kovariant formulieren lassen.

Der Vektor

$J^{\mu }=\left(J^{0},{\vec {J}}\right)=\left(c\rho ,{\vec {J}}\right)=\left(c\rho ,\rho {\vec {v}}\right)=\rho \left(c,{\vec {v}}\right)={\frac {1}{\gamma }}\rho \left(\gamma c,\gamma {\vec {v}}\right)={\frac {1}{\gamma }}\rho u^{\mu }$

ist bereits ein Vierervektor. Denn wenn die Ladungsdichte $\rho \propto {\frac {q}{d^{3}x}}$ und $c{\frac {dx^{\mu }}{dx^{0}}}=\left(c,{\vec {v}}\right)$ sind, dann gilt $J^{\mu }=\rho \left(c,{\vec {v}}\right)\propto {\frac {q}{d{}^{3}x}}{\frac {dx^{\mu }}{dx^{0}}}={\frac {q}{d^{4}x}}dx^{\mu }$, wobei $dx^{\mu }$ ein Vierervektor und $d^{4}x$ relativistisch invariant ist: Sei $x^{\prime }={\underline {\Lambda }}x$ z.B. mit einem Lorentz-Boost entlang der x-Achse. Dann gilt

$d^{4}x=\left|{\frac {\partial \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)}{\partial \left(x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3}\right)}}\right|d^{4}x^{\prime }$ mit der Jacobi-Determinante

${\frac {\partial \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)}{\partial \left(x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3}\right)}}=\left|{\begin{array}{cccc}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{cc}\gamma &\gamma \beta \\\gamma \beta &\gamma \end{array}}\right|=\gamma ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)=1$,

d.h. $d^{4}x=d^{4}x^{\prime }$.

Die Ladungsdichte für eine Punktladung ist

$\rho =q\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left(t\right)\right)$.

Die Stromdichte lässt sich wie folgt relativistisch kovariant schreiben:

$J^{\mu }\left(x\right)=\rho \left(c,{\vec {v}}\right)=q\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left(t\right)\right)\left(c,{\vec {v}}\left(t\right)\right)=q\int d{\bar {t}}\,\delta \left(t-{\bar {t}}\right)\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {t}}\right)\right)\left(c,{\vec {v}}\left({\bar {t}}\right)\right)$ ${\underset {d{\bar {t}}=\gamma d{\bar {\tau }}}{=}}q\gamma \int d{\bar {\tau }}\,c\delta \left(ct-c{\bar {t}}\left({\bar {\tau }}\right)\right)\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}\right)\right)\left(c,{\vec {v}}\left({\bar {\tau }}\right)\right)$ $=qc\int d{\bar {\tau }}\,\delta \left(x^{0}-r^{0}\left({\bar {\tau }}\right)\right)\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}\right)\right)u^{\mu }\left({\bar {\tau }}\right)$ $=qc\int d{\bar {\tau }}\,\delta ^{4}\left(x-r\left({\bar {\tau }}\right)\right)u^{\mu }\left({\bar {\tau }}\right)$.

Denn auch das Deltafunktional $\delta ^{4}\left(x\right)$ ist relativistisch invariant:

$\int d^{4}x^{\prime }\,\delta ^{4}\left(x^{\prime }\right)=\int d^{4}x\,\underbrace {\left|{\frac {\partial \left(x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x\prime ^{3}\right)}{\partial \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)}}\right|} _{=1}\delta ^{4}\left({\underline {\Lambda }}x\right)=1=\int d^{4}x\,\delta ^{4}\left(x\right)$,

d.h. $\delta ^{4}\left(x^{\prime }\right)=\delta ^{4}\left({\underline {\Lambda }}x\right)=\delta ^{4}\left(x\right)$, weil ja $d^{4}x=d^{4}x^{\prime }$ gilt.

Die retardierte Greensfunktion $G_{+}\left(x,x^{\prime }\right)={\frac {\delta \left(x^{0}-x^{\prime 0}-\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}\theta \left(x^{0}-x^{\prime 0}\right)$ lässt sich gleichermaßen relativistisch kovariant schreiben mittels

$\delta \left(\left(x-x^{\prime }\right)^{2}\right)=\delta \left(\left(x^{0}-x^{\prime 0}\right)^{2}-\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|^{2}\right)=\delta \left(\left(x^{0}-x^{\prime 0}-\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|\right)\left(x^{0}-x^{\prime 0}+\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|\right)\right)$ $={\frac {1}{2\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}\left[\delta \left(x^{0}-x^{\prime 0}-\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|\right)+\underbrace {\delta \left(x^{0}-x^{\prime 0}+\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|\right)} _{\Rightarrow \,x^{0}-x^{\prime 0}=-\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|<0}\right]$

wegen der folgenden Eigenschaft des Deltafunktionals:

$\delta \left(f\left(x\right)\right)={\underset {n}{\sum }}{\frac {\delta \left(x-x_{n}\right)}{\left|f^{\prime }\left(x_{n}\right)\right|}}$, wobei n die Nullstellen von $f\left(x\right)$ durchnumeriert: $f\left(x_{n}\right)=0$,

wenn darin $f\left(x\right)\rightarrow f\left(x^{0}-x^{\prime 0}\right)=\left(x^{0}-x^{\prime 0}\right)^{2}-\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|^{2}$ gesetzt wird, sodass $0=f\left(x_{n}^{0}-x_{n}^{\prime 0}\right)=\left(x_{n}^{0}-x_{n}^{\prime 0}\right)^{2}-\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|^{2}$ mit der Lösung $x_{n}^{0}-x_{n}^{\prime 0}=\pm \left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|$ für $n=1,2$ und $f^{\prime }\left(x^{0}-x^{\prime 0}\right)=2\left(x^{0}-x^{\prime 0}\right)$ und $f^{\prime }\left(x_{n}^{0}-x_{n}^{\prime 0}\right)=\pm 2\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|$.

Der letzte Summand im Ausdruck für $\delta \left(\left(x-x^{\prime }\right)^{2}\right)$ kann wegen $\theta \left(x^{0}-x^{\prime 0}\right)$, d.h. $x^{0}-x^{\prime 0}\geq 0$, weggelassen werden.

Für die retardierte Greensfunktion ergibt sich somit

$G_{+}\left(x,x^{\prime }\right)=2\theta \left(x^{0}-x^{\prime 0}\right)\delta \left(\left(x-x^{\prime }\right)^{2}\right)$.

Für eine bewegte Punktladung lässt sich jetzt das Vektorpotential (in Lorentz-Eichung) bestimmen:

$\square A^{\mu }\left(x\right)={\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }\left(x\right),\square G_{+}\left(x,x^{\prime }\right)=4\pi \delta ^{4}\left(x-x^{\prime }\right)\;\Rightarrow$ $A^{\mu }\left(x\right)={\frac {1}{c}}\int d^{4}x^{\prime }\,G_{+}\left(x,x^{\prime }\right)J^{\mu }\left(x^{\prime }\right)$.

In letztere Gleichung werden $G_{+}\left(x,x^{\prime }\right)=2\theta \left(x^{0}-x^{\prime 0}\right)\delta \left(\left(x-x^{\prime }\right)^{2}\right)$ und $J^{\mu }\left(x\right)=qc\int d{\bar {\tau }}\,\delta ^{4}\left(x-r\left({\bar {\tau }}\right)\right)u^{\mu }\left({\bar {\tau }}\right)$ eingesetzt:

$A^{\mu }\left(x\right)={\frac {1}{c}}\int d^{4}x^{\prime }\,G_{+}\left(x,x^{\prime }\right)J^{\mu }\left(x^{\prime }\right)=$ $2q\int d{\bar {\tau }}\,u^{\mu }\left({\bar {\tau }}\right)\int d^{4}x^{\prime }\,\theta \left(x^{0}-x^{\prime 0}\right)\delta \left(\left(x-x^{\prime }\right)^{2}\right)\delta ^{4}\left(x^{\prime }-r\left({\bar {\tau }}\right)\right)$ $=2q\int d{\bar {\tau }}\,\theta \left(x^{0}-r^{0}\left({\bar {\tau }}\right)\right)\delta \left(\left(x-r\left({\bar {\tau }}\right)\right)^{2}\right)u^{\mu }\left({\bar {\tau }}\right)$.

Entsprechend der Regel $\delta \left(f\left(x\right)\right)={\underset {n}{\sum }}{\frac {\delta \left(x-x_{n}\right)}{\left|f^{\prime }\left(x_{n}\right)\right|}}$, wobei n die Nullstellen von $f\left(x\right)$ durchnumeriert: $f\left(x_{n}\right)=0$, erhalten wir für

$f\left(x\right)\rightarrow f\left({\bar {\tau }}\right)=\left(x-r\left({\bar {\tau }}\right)\right)^{2}$, sodass aus $0=f\left({\bar {\tau }}\right)=\left(x-r\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right)^{2}=\left(x^{0}-r^{0}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right)^{2}-\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right|^{2}$ die Nullstellen $x^{0}-r^{0}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)=\pm \left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right|=\pm R$ folgen und

$f^{\prime }\left({\bar {\tau }}\right)={\frac {d}{d{\bar {\tau }}}}\left(x-r\left({\bar {\tau }}\right)\right)^{2}=-2\left[x-r\left({\bar {\tau }}\right)\right]\cdot u\left({\bar {\tau }}\right)$ mit $u\left(\tau \right)={\frac {dx}{d\tau }}$ gilt. Aufgrund von $\theta \left(x^{0}-r^{0}\left({\bar {\tau }}\right)\right)$, d.h. wegen $x^{0}-r^{0}\left({\bar {\tau }}\right)\geq 0$, ist nur $x^{0}-r^{0}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)=R\geq 0$ möglich.

Das Vierpotential wird daher

$A^{\mu }\left(x\right)={\frac {qu^{\mu }\left({\overline {\tau }}\right)}{u\cdot \left(x-r\left({\overline {\tau }}\right)\right)}}\left|_{{\overline {\tau }}={\overline {\tau }}_{0}}\right.$,

wobei ${\bar {\tau }}={\overline {\tau }}_{0}$ ja über $x^{0}-r^{0}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)=R=\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right|$ definiert ist.

Mit ${\vec {n}}={\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right|}}={\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)}{R}}={\frac {\vec {R}}{R}}$, d.h. ${\vec {R}}={\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)$, $u^{\beta }=\left(\gamma c,\gamma {\vec {v}}\right)$, ${\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}}$ folgt

$\left[x-r\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right]\cdot u\left({\bar {\tau }}_{0}\right)=\left[x-r\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right]_{\beta }u^{\beta }\left({\bar {\tau }}_{0}\right)=\gamma c\left[\left(x^{0}-r^{0}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right)-{\frac {{\vec {v}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)}{c}}\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right)\right]$ $\gamma c\left[\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right|-{\vec {\beta }}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right)\right]=\gamma cR\left(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}}\right)$

wegen $x^{0}-r^{0}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)=R=\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right|$. Skalar- und Vektorpotential ergeben sich daher zu

$A^{0}\left(x\right)={\frac {q}{R\left(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}}\right)}}={\frac {q}{\xi }}$

bzw.

${\vec {A}}\left(x\right)={\frac {q{\vec {\beta }}}{R\left(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}}\right)}}={\frac {q{\vec {\beta }}}{\xi }}$

mit der Abkürzung $\xi =\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right|-{\vec {\beta }}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right)$. Diese Potentiale sind in der physikalischen Literatur nach Liénard und Wiechert benannt.

Hieraus können die Felder ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A^{0}-\partial _{0}{\vec {A}}$ und ${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$ berechnet werden, was aber wegen der Retardierung keine leichte Aufgabe ist. Denn die »Zeit« $x^{0}$ ist wegen $x^{0}=r^{0}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)+\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)\right|=x^{0}\left(r^{0},{\vec {x}}\right)$ eine Funktion der »retardierten Zeit« $r^{0}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)$ (und umgekehrt). Den Ortsvektor ${\vec {r}}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)$ werden wir wieder (wie dies eingangs beim Umschreiben der Stromdichte in eine manifest kovariante Form ja auch bereits geschehen ist) als Funktion der retardierten Zeit ansehen: ${\vec {r}}={\vec {r}}\left(r^{0}\right)$. Entsprechend verfahren wir mit der Geschwindigkeit ${\vec {\beta }}\left({\bar {\tau }}_{0}\right)$: ${\vec {\beta }}={\vec {\beta }}\left(r^{0}\right)={\frac {d{\vec {r}}}{dr^{0}}}$. Für die zuvor eingeführte Größe $\xi$ erhalten wir somit:

$\xi =\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\right)\right|-{\vec {\beta }}\left(r^{0}\right)\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\right)\right)$.

Die Ableitung z.B. des Vektorpotentials nach der Zeit ergibt sich dann wegen $r^{0}=x^{0}-\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\right)\right|=r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)$ zu

$\partial _{0}{\vec {A}}\left(x\right)=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}{\vec {A}}\left(x^{0}\left(r^{0},{\vec {x}}\right),{\vec {x}}\right)=\left({\frac {\partial r^{0}}{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}\left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}{\vec {A}}\left(x^{0}\left(r^{0},{\vec {x}}\right),{\vec {x}}\right)$.

Mit dem Index ${\vec {x}}$ an der partiellen Ableitung $\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}$ drücken wir die Tatsache explizit aus, dass bei Letzterer ${\vec {x}}$ konstant gehalten wird. Wir benötigen also den Term $\left({\frac {\partial r^{0}}{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}$:

$\left({\frac {\partial r^{0}}{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}=1+\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r^{0}}} _{={\vec {\beta }}}\,\left({\frac {\partial r^{0}}{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}\cdot {\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|=1+\left({\frac {\partial r^{0}}{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}\,{\vec {\beta }}\cdot {\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}}$

wegen $r^{0}=x^{0}-\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\right)\right|$. Diese Gleichung lösen wir nach $\left({\frac {\partial r^{0}}{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}$ auf:

$\left({\frac {\partial r^{0}}{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}={\frac {\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}{\xi }}$.

Aus ${\vec {A}}\left(x\right)=q{\frac {{\vec {\beta }}\left(r^{0}\right)}{\xi \left(r^{0}\right)}}$ resultiert:

$\left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}{\vec {A}}={\frac {q}{\xi }}\underbrace {\frac {\partial {\vec {\beta }}}{\partial r^{0}}} _{={\frac {1}{c}}{\dot {\vec {\beta }}}}-{\frac {q}{\xi ^{2}}}{\vec {\beta }}\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}$.

Für $\partial _{0}{\vec {A}}\left(x\right)$ erhalten wir somit:

$\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}{\vec {A}}={\frac {q}{\xi ^{2}}}\left[{\frac {\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}{c}}{\dot {\vec {\beta }}}-{\frac {\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}{\xi }}{\vec {\beta }}\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}\right]$.

Den Term $\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}$ können wir natürlich auch noch ausrechnen:

$\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}=\left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}\left(\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\right)\right|-{\vec {\beta }}\left(r^{0}\right)\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\right)\right)\right)=$ $-\underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r^{0}}} _{={\vec {\beta }}}\cdot {\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}}-\underbrace {\frac {\partial {\vec {\beta }}}{\partial r^{0}}} _{={\frac {1}{c}}{\dot {\vec {\beta }}}}\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {r}}\right)+{\vec {\beta }}\cdot \underbrace {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r^{0}}} _{={\vec {\beta }}}=$ $-{\vec {\beta }}\cdot {\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}}-{\frac {1}{c}}{\dot {\vec {\beta }}}\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {r}}\right)+{\vec {\beta }}^{2}$.

Die partielle Ableitung des Skalarpotentials nach ${\vec {x}}$ ist gleichermaßen »verwickelt«:

$\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}A^{0}\left(x^{0}\left(r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)\right),{\vec {x}}\right)=\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}{\tilde {A}}^{0}\left(r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right),{\vec {x}}\right)=$ $\left({\frac {\partial {\tilde {A}}^{0}}{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}\,\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)+\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}{\tilde {A}}^{0}\left(r^{0},{\vec {x}}\right)$.

Wir benötigen daher u.a. noch den Term $\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)$:

$\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)=\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}\left(x^{0}-\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)\right)\right|\right)=-\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)\right)\right|=$ $-\underbrace {\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\right)\right|} _{={\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}}}-\underbrace {\left(\left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\right)\right|\right)} _{=-{\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial r^{0}}}}\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)=$ $-{\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}}+\left({\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}}\cdot {\vec {\beta }}\right)\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)$.

Diese Gleichung können wir nach $\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)$ auflösen:

$\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}r^{0}\left(x^{0},{\vec {x}}\right)=-{\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\xi }}$.

Die partielle Ableitung des Skalarpotentials wird daher

$\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}A^{0}=-{\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\xi }}\left({\frac {\partial A^{0}}{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}+\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}A^{0}$,

wobei

$\left({\frac {\partial A^{0}}{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}{\frac {\partial A^{0}}{\partial \xi }}$, $\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}A^{0}={\frac {\partial A^{0}}{\partial \xi }}\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}\xi$

mit

${\frac {\partial A^{0}}{\partial \xi }}=-{\frac {q}{\xi ^{2}}}$

sind. Während wir hierin $\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}$ zuvor bereits berechnet haben, müssen wir noch $\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}\xi$ bestimmen:

$\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}\xi =\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}\left(\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\right)\right|-{\vec {\beta }}\left(r^{0}\right)\cdot \left({\vec {x}}-{\vec {r}}\left(r^{0}\right)\right)\right)=$ ${\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}}-{\vec {\beta }}$.

Für ${\vec {\nabla }}A^{0}$ erhalten wir somit schließlich:

$\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}A^{0}=-{\frac {q}{\xi ^{2}}}\left[-{\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\xi }}\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}+{\frac {{\vec {x}}-{\vec {r}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}}-{\vec {\beta }}\right]$.

Das elektrische Feld nimmt somit folgende Gestalt an:

${\vec {E}}=-\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}A^{0}-\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}{\vec {A}}=$ ${\frac {q}{\xi ^{2}}}\left[{\frac {\left({\vec {x}}-{\vec {r}}\right)-\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}{\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}}-{\frac {\left({\vec {x}}-{\vec {r}}\right)-\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|{\vec {\beta }}}{\xi }}\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}-{\frac {\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|{\dot {\vec {\beta }}}}{c}}\right]$.

Drücken wir dies mittels ${\vec {R}}={\vec {x}}-{\vec {r}}$ aus und setzen $\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}$ ein, dann ergibt sich

${\vec {E}}={\frac {q}{\xi ^{2}}}\left[{\frac {{\vec {R}}-R{\vec {\beta }}}{R}}-{\frac {{\vec {R}}-R{\vec {\beta }}}{\xi }}\left({\vec {\beta }}^{2}-{\vec {\beta }}\cdot {\frac {\vec {R}}{R}}-{\frac {1}{c}}{\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {R}}\right)-{\frac {1}{c}}R{\dot {\vec {\beta }}}\right]=$ ${\frac {q}{\xi ^{3}}}\left[\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right){\frac {\xi +{\vec {\beta }}\cdot {\vec {R}}-R{\vec {\beta }}^{2}}{R}}-{\frac {1}{c}}R{\dot {\vec {\beta }}}\xi +{\frac {1}{c}}\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right)\left({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {R}}\right)\right]$.

Mit $\xi =R-{\vec {R}}\cdot {\vec {\beta }}$ folgt ${\frac {\xi +{\vec {\beta }}\cdot {\vec {R}}-R{\vec {\beta }}^{2}}{R}}=1-{\vec {\beta }}^{2}={\frac {1}{\gamma ^{2}}}$. Mit der Umformung

${\vec {R}}\times \left[\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right)\times {\dot {\vec {\beta }}}\right]=\left({\vec {R}}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}\right)\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right)-\left(R^{2}-R{\vec {R}}\cdot {\vec {\beta }}\right){\dot {\vec {\beta }}}=$ $\left({\vec {R}}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}\right)\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right)-R\xi {\dot {\vec {\beta }}}$

erhalten wir für das elektrische Feld schließlich:

${\vec {E}}={\frac {q}{\left(R-{\vec {R}}\cdot {\vec {\beta }}\right)^{3}}}\left[{\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right)+{\frac {1}{c}}{\vec {R}}\times \left(\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right)\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)\right]$.

Dieses besitzt mit dem zweiten Summanden (in den eckigen Klammern) einen Term, der von der Beschleunigung ${\dot {\vec {\beta }}}$ abhängt. Er enthält im Nenner eine Potenz von R weniger als der erste Summand, der von der Beschleunigung unabhängig ist.

Ganz analog zum elektrischen Feld lässt sich auch die magnetische Flussdichte berechnen:

${\vec {B}}=\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{x^{0}}\times {\vec {A}}=\left(-{\frac {\vec {R}}{\xi }}\left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}+\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}\right)\times {\vec {A}}=$ $-{\frac {\vec {R}}{\xi }}\left({\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}+\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}\times {\vec {A}}$.

Hierin haben wir den Nabla-Operator eingesetzt, den wir bereits oben auf $A^{0}$ haben wirken lassen. Wegen

${\vec {A}}\left(x\right)=q{\frac {{\vec {\beta }}\left(r^{0}\right)}{\xi \left(r^{0}\right)}}$

erhalten wir

$\left({\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial \xi }}+{\frac {q}{\xi }}\underbrace {\frac {\partial {\vec {\beta }}}{\partial r^{0}}} _{={\frac {1}{c}}{\dot {\vec {\beta }}}}$, $\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\right)_{r^{0}}\times {\vec {A}}=\left({\vec {\nabla }}_{\vec {x}}\xi \right)_{r^{0}}\times {\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial \xi }}=\left({\frac {\vec {R}}{R}}-{\vec {\beta }}\right)\times {\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial \xi }}$

und

${\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial \xi }}=-{\frac {q}{\xi ^{2}}}{\vec {\beta }}$,

was in ${\vec {B}}$ eingesetzt

${\vec {B}}=-q{\frac {1}{c\xi ^{2}}}{\vec {R}}\times {\dot {\vec {\beta }}}+{\frac {q}{\xi ^{3}}}\left({\vec {R}}\times {\vec {\beta }}\right)\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}-{\frac {q}{\xi ^{2}}}\left({\frac {\vec {R}}{R}}-{\vec {\beta }}\right)\times {\vec {\beta }}=$ $-q{\frac {1}{c\xi ^{2}}}{\vec {R}}\times {\dot {\vec {\beta }}}+\left({\vec {R}}\times {\vec {\beta }}\right){\frac {q}{\xi ^{3}R}}\left[R\underbrace {\left({\frac {\partial \xi }{\partial r^{0}}}\right)_{\vec {x}}} _{=-{\vec {\beta }}\cdot {\frac {\vec {R}}{R}}-{\frac {1}{c}}{\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {R}}+{\vec {\beta }}^{2}}-\underbrace {\xi } _{=R-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {R}}}\right]=$ $-{\frac {q}{\xi ^{3}}}\left[{\frac {1}{c}}\xi \left({\vec {R}}\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)+\left({\vec {R}}\times {\vec {\beta }}\right)\underbrace {\left(1-{\vec {\beta }}^{2}\right)} _{=1/\gamma ^{2}}+{\frac {1}{c}}\left({\dot {\vec {\beta }}}\cdot {\vec {R}}\right)\left({\vec {R}}\times {\vec {\beta }}\right)\right]$

ergibt. Mittels

${\vec {R}}\times \left[{\vec {R}}\times \left(\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right)\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)\right]={\vec {R}}\times \left[\left({\vec {R}}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}\right)\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right)-R\xi {\dot {\vec {\beta }}}\right]=$ $-R\left({\vec {R}}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}\right)\left({\vec {R}}\times {\vec {\beta }}\right)-R\xi \left({\vec {R}}\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)$

resultiert hieraus durch Vergleich mit ${\vec {E}}$

${\vec {B}}={\frac {\vec {R}}{R}}\times {\vec {E}}={\vec {n}}\times {\vec {E}}$,

d.h. Magnetfeld und elektrisches Feld stehen immer senkrecht aufeinander.

Für Große Abstände von der Ladung genügt es, in ${\vec {E}}$ nur den Term mit der Beschleunigung ${\dot {\vec {\beta }}}$ zu betrachten, da dieser ja eine Potenz in R weniger im Nenner enthält als der Summand in ${\vec {E}}$ ohne Beschleunigungsterme:

${\vec {E}}\approx {\frac {q}{\left(R-{\vec {R}}\cdot {\vec {\beta }}\right)^{3}}}\left[{\frac {1}{c}}{\vec {R}}\times \left(\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right)\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)\right]$.

Hieraus können wir mittels ${\vec {B}}={\vec {n}}\times {\vec {E}}$ den Poynting-Vektor ausrechnen:

${\vec {S}}\left(x\right)={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}\times {\vec {B}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}\times \left({\vec {n}}\times {\vec {E}}\right)={\frac {c}{4\pi }}\left[{\vec {E}}^{2}{\vec {n}}-\underbrace {\left({\vec {n}}\cdot {\vec {E}}\right)} _{=0}{\vec {E}}\right]=$ ${\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}^{2}{\vec {n}}={\frac {q^{2}}{4\pi c\left(R-{\vec {R}}\cdot {\vec {\beta }}\right)^{6}}}\left[{\vec {R}}\times \left(\left({\vec {R}}-R{\vec {\beta }}\right)\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)\right]^{2}{\vec {n}}=$ ${\frac {q^{2}}{4\pi c\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {\beta }}\right)^{6}R^{2}}}\left[{\vec {n}}\times \left(\left({\vec {n}}-{\vec {\beta }}\right)\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)\right]^{2}{\vec {n}}$.

Die Strahlungsleistung ${\dot {W}}=c{\frac {dW}{dr^{0}}}$ hängt von der retardierten Zeit $r^{0}$ ab während der Poynting-Vektor die Energiestromdichte zur Zeit $x^{0}$ angibt. Um also die in ein Raumwinkelelement $d\Omega$ abgestrahle Leistung zu bestimmen, müssen wir die Retardierung berücksichtigen:

${\frac {d{\dot {W}}}{d\Omega }}=R^{2}\,{\vec {S}}\cdot {\vec {n}}\,{\frac {dx^{0}}{dr^{0}}}$,

woraus mittels

$\left({\frac {\partial r^{0}}{\partial x^{0}}}\right)_{\vec {x}}={\frac {\left|{\vec {x}}-{\vec {r}}\right|}{\xi }}={\frac {R}{R-{\vec {R}}\cdot {\vec {\beta }}}}={\frac {1}{1-{\vec {n}}\cdot {\vec {\beta }}}}$ ${\frac {d{\dot {W}}}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {\beta }}\right)^{5}}}\left[{\vec {n}}\times \left(\left({\vec {n}}-{\vec {\beta }}\right)\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)\right]^{2}$

resultiert. An dieser Stelle werden in der physikalischen Literatur gerne zwei Spezialfälle diskutiert: Zum einen den einer Beschleunigung parallel zur Geschwindigkeit, d.h. ${\vec {\beta }}\times {\dot {\vec {\beta }}}=0$, zum andern der Fall der Synchrotronstrahlung, bei der die Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeit steht, d.h. ${\vec {\beta }}\cdot {\dot {\vec {\beta }}}=0$. Der erstere Fall dient dabei der Illustration der sog. Bremsstrahlung, bei der die Beschleunigung ${\dot {\vec {\beta }}}$ als konstant angenommen wird.

Wir begnügen uns hier hingegen nur mit dem nicht relativistischen Grenzfall $\left|{\vec {\beta }}\right|\ll 1$:

${\frac {d{\dot {W}}}{d\Omega }}\approx {\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left[{\vec {n}}\times \left({\vec {n}}\times {\dot {\vec {\beta }}}\right)\right]^{2}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left({\dot {\vec {\beta }}}\times {\vec {n}}\right)^{2}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}\sin ^{2}\vartheta$,

wobei $\vartheta$ der Winkel zwischen ${\dot {\vec {\beta }}}$ und ${\vec {n}}$ bzw. ${\vec {R}}$ ist. Integrieren wir dies über den Raumwinkel, so erhalten wir für die gesamte Strahlungsleistung die sog. Larmorformel:

${\dot {W}}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\dot {\vec {\beta }}}^{2}2\pi \underbrace {{\overset {1}{\underset {-1}{\int }}}d\cos \vartheta \,\left(1-\cos ^{2}\vartheta \right)} _{=4/3}={\frac {2}{3c}}\left(q{\dot {\vec {\beta }}}\right)^{2}$.

Führen wir hierin das Dipolmoment ${\vec {p}}$ ein, dann gilt: ${\frac {1}{c}}{\ddot {\vec {p}}}=q{\dot {\vec {\beta }}}$. Bei einer harmonischen Schwingung mit der Kreisfrequenz $\omega$, d.h. beispielsweise ${\vec {p}}={\vec {p}}_{0}\sin \omega t$, gilt $q{\dot {\vec {\beta }}}={\frac {1}{c}}{\ddot {\vec {p}}}=-{\frac {1}{c}}\omega ^{2}{\vec {p}}$. Mitteln wir die Strahlungsleistung über eine Periode, so ergibt sich

${\bar {\dot {W}}}={\frac {2}{3}}{\frac {\omega ^{4}}{c^{3}}}{\frac {\omega }{2\pi }}{\overset {\frac {2\pi }{\omega }}{\underset {0}{\int }}}dt\,{\vec {p}}^{2}\left(t\right)={\frac {2}{3}}{\frac {\omega ^{4}}{c^{3}}}{\vec {p}}_{0}^{2}\,{\frac {\omega }{2\pi }}{\overset {\frac {2\pi }{\omega }}{\underset {0}{\int }}}dt\,\sin ^{2}\omega t$ ${\frac {2}{3}}{\frac {\omega ^{4}}{c^{3}}}{\vec {p}}_{0}^{2}\,\underbrace {{\frac {1}{2\pi }}{\overset {2\pi }{\underset {0}{\int }}}d\left(\omega t\right)\,\sin ^{2}\omega t} _{=1/2}={\frac {1}{3}}{\frac {\omega ^{4}}{c^{3}}}{\vec {p}}_{0}^{2}$.

In der Experimentalphysik wird jene Formel für die mittlere Strahlungsleistung mit der $\omega ^{4}$-Abhängigkeit gerne herangezogen, um z.B. das Himmelsblau, die Morgen- und Abendröte oder aber auch die Synchrotronstrahlung (s. oben) in Elementarteilchenbeschleunigern zu erklären. Vergleiche hierzu auch unser analoges Ergebnis aus dem Kapitel über »Strahlungssysteme«.