Himmelsgesetze der Bewegung/ Zehnerpotenzen - Vorsilben

Bruchregeln

Zur Erinnerung:

Multiplikation einer Zahl mit einem Bruch

$a\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{d}}={\frac {a}{d}}\cdot c$

zum Beispiel:

$3\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {3\cdot 2}{5}}={\frac {3}{5}}\cdot 2=({\frac {6}{5}})$

Kürzen

${\frac {a\cdot c}{a\cdot d}}={\frac {c}{d}}$

Vorsicht! Das neutrale Element der Multiplikation (und der Division) ist 1, d.h. wenn ich 4 mit 1 multipliziere, ist das Ergebnis 4 und wenn ich 4 durch 4 dividiere ist wieder das Ergebnis 1 (und nicht 0!). Daher gilt:

${\frac {a}{a\cdot d}}={\frac {1}{d}}$

und

${\frac {a\cdot c}{a}}={\frac {c}{1}}=c$

Erweitern

${\frac {c}{d}}={\frac {c\cdot a}{d\cdot a}}$

Strichrechnungen mit Brüchen

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$

Um die Brüche zu addieren, müssen wir sie auf den gemeinsamen Nenner (b·d) erweitern. Daher müssen wir den ersten Bruch mit d erweitern und den zweiten mit b

${\frac {a\cdot d}{b\cdot d}}+{\frac {c\cdot b}{d\cdot b}}={\frac {a\cdot d+c\cdot b}{b+\cdot d}}$

zum Beispiel:

${\frac {2}{7}}+{\frac {3}{5}}={\frac {2\cdot 5}{7\cdot 5}}+{\frac {3\cdot 7}{5\cdot 7}}={\frac {2\cdot 5+3\cdot 7}{5\cdot 7}}(={\frac {31}{35}})$

Genau in der gleichen Weise geht man bei Subtraktion vor.

Punktrechnung mit Brüchen - Doppelbrüche

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$

Wenn ich einen Bruch durch einen Bruch dividiere, muss ich den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren:

${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

Wenn ich eine Zahl durch einen Bruch dividiere, muss ich die Zahl mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren:

$a\div {\frac {c}{d}}=a\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a\cdot d}{c}}$

Der Kehrwert von c ist   ${\frac {1}{c}}$.  Daher, wenn ich einen Bruch durch eine Zahl dividiere, gehe ich wie im Folgenden vor:

${\frac {a}{b}}\div c={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{c}}={\frac {a}{b\cdot c}}$

Doppelbrüche kann ich als Division von Brüchen schreiben und dann mit den Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren:

${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

(Dadurch entsteht die Regel "Außenglieder durch Innenglieder", die man aber überhaupt zu lernen braucht: es reicht immer den großen Bruchstrich durch Division zu ersetzen...)

Potenzregeln

Definition der Potenz

(aus Wikipedia, leicht geändert)

Wir wissen schon, dass:

${\begin{matrix}\underbrace {a+a+a\dotsm +a} _{n\ \mathrm {Summande} }=n\cdot a\end{matrix}}$

Das ist die Definition der Multiplikation: wenn ich die gleiche Zahl $a$   $n$ mal addiere, dann kann ich stattdessen   $n\cdot a$   schreiben. Z.B.:

4+4+4+4+4+4+4+4+4 = 9⋅4 (a=4, n=9)

Hier haben wir die gleiche Zahl (4) 9 mal nacheinander addiert. Diese Rechnung kann man auch wie    $9\cdot 4$    schreiben.

Entsprechend kann man die Potenz definieren:

Die Potenz $a^{n}$ wird für natürliche Zahlen   $n$   durch

${\begin{matrix}a^{n}:=\underbrace {a\cdot a\cdot a\dotsm a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }\end{matrix}}$

Beispiel:

${\begin{matrix}a^{7}:=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} _{7\ \mathrm {Faktoren} }\end{matrix}}$

definiert. Man spricht diese Rechenoperation als a hoch n, a zur n-ten Potenz oder kurz a zur n-ten. Im Fall $n=2$ ist auch a (zum) Quadrat und im Fall $n=3$ auch a (zum) Kubik üblich.

$a$ heißt Basis (oder Grundzahl), $n$ heißt Exponent (oder Hochzahl) der Potenz $a^{n}$. Das Ergebnis ist der Wert der Potenz.

Die obige Definition gilt nur für $n=1,2,3,\dotsc$ Damit die Identität $a\cdot a^{n}=a^{n+1}$ auch noch für $n=0$ gilt, wird $a^{0}:=1$ festgelegt.

Diese Definition lässt sich auf ganze, Rationale und reelle Zahlen anwenden.

Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (zum Beispiel in einem ASCII-Text), verwendet man oft die Schreibweise a^b

Punktrechnungen von Potenzen mit gleicher Basis

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

Erklärung:

${\begin{matrix}a^{n}\cdot a^{m}=\underbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }\cdot \underbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} _{m\ \mathrm {Faktoren} }=\underbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} _{{n+m}\ \mathrm {Faktoren} }=a^{n+m}\end{matrix}}$

Beispiel:

${\begin{matrix}a^{3}\cdot a^{5}=\underbrace {a\cdot a\cdot a} _{3\ \mathrm {Faktoren} }\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} _{5\ \mathrm {Faktoren} }=\underbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} _{{3+5=8}\ \mathrm {Faktoren} }=a^{8}\end{matrix}}$

Division von Potenzen mit gleicher Basis

${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$

Erklärung:

${\begin{matrix}{\frac {a^{n}}{a^{m}}}={\frac {\overbrace {a\cdot a\dotsm a} ^{n\ \mathrm {Faktoren} }}{\underbrace {a\dotsm a} _{m\ \mathrm {Faktoren} }}}=\underbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} _{{n-m}\ \mathrm {Faktoren} }=a^{n-m}\end{matrix}}$

Aus den n Faktoren im Zähler werden m gekürzt, daher bleiben n-m Faktoren übrig.

Beispiel:

${\begin{matrix}{\frac {a^{7}}{a^{4}}}={\frac {\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} ^{7\ \mathrm {Faktoren} }}{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a} _{4\ \mathrm {Faktoren} }}}=\underbrace {a\cdot a\cdot a} _{{7-4=3}\ \mathrm {Faktoren} }=a^{3}\end{matrix}}$

Aus den 7 Faktoren im Zähler werden 4 gekürzt, daher bleiben 3 Faktoren übrig.

0 als Hochzahl

Wir haben bisher nur als Definition festgelegt, dass   $a^{0}=1$.  Jetzt können wir auch eine Erklärung dafür geben:

${\begin{matrix}{\frac {a^{n}}{a^{n}}}={\frac {\overbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} ^{n\ \mathrm {Faktoren} }}{\underbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }}}=1=a^{n-n}=a^{0}\end{matrix}}$

Also:

a⁰=1

Wenn die Hochzahl null ist, ist die Potenzzahl 1, unabhängig von der Basis.

Potenzen mit negativer Hochzahl

Wir haben schon gesehen, dass:

${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$

Was passiert, wenn die Hochzahl im Nenner größer als die Hochzahl im Zähler ist? Schauen wir ein Beispiel und wenden wir diese Regel an:

${\begin{matrix}{\frac {a^{4}}{a^{7}}}={\frac {\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a} ^{4\ \mathrm {Faktoren} }}{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} _{7\ \mathrm {Faktoren} }}}=\underbrace {a^{-3}} _{\mathrm {Weil} \ 4-7=-3\ \mathrm {ist!} }\end{matrix}}$

Wir haben aber auch gelernt, dass:

${\frac {a^{4}}{a^{7}}}={\frac {1}{a^{3}}}$     Kürzen

Also: ${\frac {a^{4}}{a^{7}}}=a^{-3}$   und   ${\frac {a^{4}}{a^{7}}}={\frac {1}{a^{3}}}$

Daher:

${\frac {1}{a^{3}}}=a^{-3}$

und allgemeiner:

$\mathbf {{\frac {1}{a^{n}}}=a^{-n}}$

Potenzen mit negativer Hochzahl

Potenz einer Potenz

$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$

Erklärung:

${\begin{matrix}(a^{n})^{m}=\underbrace {a^{n}\cdot a^{n}\dotsm \cdot a^{n}} _{m\ \mathrm {Mal} }=\underbrace {\underbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }\cdot \underbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }\dotsm \underbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }} _{m\ \mathrm {Mal} }=\underbrace {a\cdot a\dotsm \cdot a} _{{n\cdot m}\ \mathrm {Mal} }=a^{n\cdot m}\end{matrix}}$

Beispiel:

${\begin{matrix}(a^{2})^{3}=\underbrace {a^{2}\cdot a^{2}\cdot a^{2}} _{3\ \mathrm {Mal} }=\underbrace {\underbrace {a\cdot a} _{2\ \mathrm {Faktoren} }\cdot \underbrace {a\cdot a} _{2\ \mathrm {Faktoren} }\cdot \underbrace {a\cdot a} _{2\ \mathrm {Faktoren} }} _{3\ \mathrm {Mal} }=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} _{{2\cdot 3=6}\ \mathrm {Mal} }=a^{6}\end{matrix}}$

Potenz eines Monoms

${\begin{matrix}(a\cdot b^{i}\cdot c^{-j})^{n}=\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\underbrace {(a\cdot b^{i}\cdot c^{-j})\cdot (a\cdot b^{i}\cdot c^{-j})\dotsm (a\cdot b^{i}\cdot c^{-j})} _{n\ \mathrm {mal} }=\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\underbrace {\underbrace {a\cdot b^{i}\cdot c^{-j}} _{\mathrm {ohne} \ \mathrm {Klammer} }\cdot \underbrace {a\cdot b^{i}\cdot c^{-j}} _{\mathrm {ohne} \ \mathrm {Klammer} }\dotsm \underbrace {a\cdot b^{i}\cdot c^{-j}} _{\mathrm {ohne} \ \mathrm {Klammer} }} _{n\ \mathrm {Mal} }=\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\underbrace {a\cdot a\dotsm a} _{n\ \mathrm {mal} }\cdot \underbrace {b^{i}\cdot b^{i}\dotsm b^{i}} _{n\ \mathrm {mal} }\cdot \underbrace {c^{-j}\cdot c^{-j}\dotsm c^{-j}} _{n\ \mathrm {mal} }\end{matrix}}=$

${\begin{matrix}\underbrace {a^{n}\cdot b^{i\cdot n}\cdot c^{-j\cdot n}} _{\mathrm {Regel} \ \mathrm {Potenz} \ \mathrm {einer} \ \mathrm {Potenz} }\end{matrix}}$

Zusammengefasst:

$(a\cdot b^{i}\cdot c^{-j})^{n}=a^{n}\cdot b^{i\cdot n}\cdot c^{-j\cdot n}$

Beispiele:

$(a\cdot b^{3}\cdot c^{-2})^{5}=a^{5}\cdot b^{15}\cdot c^{-10}$

$(b^{4}\cdot c^{-3})^{-3}=b^{-12}\cdot c^{9}$

Vorsilben

(auch: Vorsätze oder Präfixe: aus der Wikipedia Seite leicht verändert)

SI-Präfixe sind die für die Verwendung im Internationalen Einheitensystem (SI) (siehe Erklärung) definierte Dezimal-Präfixe. Sie basieren auf Zehnerpotenzen mit ganzzahligen Exponenten. Man unterscheidet zwischen dem Namen des Präfix und seinem Symbol. Die Symbole sind international einheitlich. Die Namen unterscheiden sich je nach Sprache. Die folgende Tabelle ist nicht vollständig, beinhaltet aber die in der Schulphysik meistbenutzten Vorsilben. Für eine vollständige Tabelle kann man die entsprechende Wikipedia Seite besuchen.

Die Präfixe im SI:

Symbol	Name	Ursprung	Wert
T	Tera	gr. τέρας téras = Ungeheuer / gr. τετράκις tetrákis = viermal	1012	1.000.000.000.000	Billion
G	Giga	gr. γίγας gígas = Riese	109	1.000.000.000	Milliarde
M	Mega	gr. μέγα méga = groß	106	1.000.000	Million
k	Kilo	gr. χίλιοι chílioi = tausend	103	1.000	Tausend
h	Hekto	gr. ἑκατόν hekatón = hundert	102	100	Hundert
da	Deka	gr. δέκα déka = zehn	101	10	Zehn
—	—	—	100	1	Eins
d	Dezi	gr. δέκατος dékatos daraus lat. decimus = zehnter	10−1	0,1	Zehntel
c	Zenti	gr. ἑκατοστός hekatostós daraus lat. centesimus = hundertster	10−2	0,01	Hundertstel
m	Milli	lat. millesimus = tausendster	10−3	0,001	Tausendstel
µ	Mikro	gr. μικρός mikrós = klein	10−6	0,000 001	Millionstel
n	Nano	gr. νάνος nános = "Zwerg"	10−9	0,000 000 001	Milliardstel
p	Piko	ital. piccolo = klein	10−12	0,000 000 000 001	Billionstel

Die Zeichen für Teile einer Einheit werden als Kleinbuchstaben geschrieben, während die meisten Zeichen für Vielfache einer Einheit als Großbuchstaben geschrieben werden. Ausnahmen von dieser Systematik sind aus historischen Gründen die Zeichen für Deka (da), Hekto (h) und Kilo (k).

Gleitkommadarstellung

Es gibt verschiedene Weisen die gleiche Zahl zu schreiben. 0,00065 beispielsweise kann man auch als ${\frac {65}{100000}}$ oder als ${\frac {13}{20000}}$ oder als 650 · 10^-6 usw. schreiben. Die normierte Gleitkommadarstellung ist die Darstellung, in der eine Zahl zwischen 1 und 9 vor dem Komma steht und möglicherweise Nachkommastellen und das ganze mit einer Zehnerpotenz multipliziert wird. Unseres Beispiel in Gleitkommadarstellung sieht so aus: 6,5 · 10^-4. Es gilt also:

0,00065 = ${\frac {65}{100000}}$ = 650 · 10^-6 = 6,5 · 10^-4

Was ganz rechts steht, ist die Gleitkommadarstellung der Zahl. Die Zahlen 0,22 · 10⁴ und 22 · 10² sind nicht in Gleitkommadarstellung, weil die Zahl vor dem Komma nicht zwischen 1 und 9 ist. Die entsprechende Gleitkommadarstellung ist 2,2 · 10³.

Arbeiten mit Zehnerpotenzen und Vorsilben

Zahl in Gleitkommadarstellung umwandeln

Wie kann ich die Zahl 0,0072 in Gleitkommadarstellung umwandeln? 0,0072 ist eine Zahl kleiner als 1 (also null Komma irgendwas). Wenn ich sie in Gleitkommadarstellung schreiben will, wird die Potenz vom 10 negativ sein, und soviel, wie man das Komma nach rechts verschieben muss: 0,0072 = 7,2 · 10^-3. Also, wenn eine Zahl kleiner also 1 ist (null Komma irgendwas) wird die Hochzahl der Potenz in der Gleitkommadarstellung negativ sein und genauso viel, wie ich das Komma nach rechts verschieben muss. Noch ein Beispiel: 0,00000054. Die Zahl ist kleiner als 1, also die Hochzahl in der Zehnerpotenz wird negativ sein. Wenn wir 5,4 schreiben, haben wir das Komma 7 mal nach rechts verschoben. Daher ist die Gleitkommadarstellung 5,4 · 10^-7.

Nehmen wir jetzt eine Zahl größer als 1: 99500. Hier ist es leichter: das ist so viel wie 9,95 · 10000, also 9,95 · 10⁴. Wir haben das Komma 4 mal nach links verschoben und die Hochzahl ist eindeutig positiv. Wenn also eine Zahl größer als 1 in Gleitkommadarstellung dargestellt wird, wird die Hochzahl in der Gleitkommadarstellung positiv sein und zwar so viel, wie man das Komma nach links verschoben hat. Noch ein Beispiel: 65100000000. Die Hochzahl wird eindeutig positiv sein (6,51 muss ich mit 10000000000 also 10⁸ multiplizieren - und nicht 10^-8 – damit das Ergebnis 65100000000 ist!) und so viel, wie ich das Komma verschieben muss, also die Gleitkommadarstellung ist 6,51 · 10⁸.

Beispiel

Ergänzen Sie die unbekannte Hochzahl von 10. Schreiben Sie die Zwischenschritte auf.

0,008 μF = 800 · 10^x MF

Es gibt unterschiedliche Weisen solch eine Aufgabe zu lösen. Eine davon ist, wenn man jede Seite in der normierten Gleitkommadarstellung umwandelt.

Die linke Seite der Gleichung (0,008 μF)

0,008 ist eine Zahl kleiner als 1 (also null Komma irgendwas). Wenn ich sie in Gleitkommadarstellung schreiben will, wird die Potenz vom 10 negativ sein, und soviel, wie man das Komma verschieben muss:

0,008 = 8 · 10^-3

μ steht für mikro also für 10^-6.

Daher ist die linke Seite in Gleitkommadarstellung:

0,008	μ	F
↓	↓
8 · 10-3 ·	10-6	F

Die rechte Seite der Gleichung (800 · 10^x MF)

800 ist eine Zahl größer als 1. Wenn ich sie in Gleitkommadarstellung schreiben will, wird die Potenz vom 10 positiv sein, und soviel, wie man das Komma verschieben muss:

800 = 8 · 10²

M steht für Mega also für 10⁶

Daher ist die rechte Seite in Gleitkommadarstellung:

800 ·	10x	M	F
↓	↓	↓
8 · 102 ·	10x	106	F

Ergebnis

Die linke und die rechte Seite müssen gleich sein, also:

8 · 10^-3 · 10^-6 F = 8 · 10² · 10^x · 10⁶ F

und nach den Potenzregel:

8 · 10^-3-6 F = 8 · 10^2+x+6 F

Der einzige Unterschied sind die Hochzahlen. Wir haben in beiden Seiten eine Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis (10), daher müssen die Summen der Hochzahlen auf beide Seiten gleich sein:

-3-6 = 2 + x + 6    $\Leftrightarrow$     -9=x+8   als    x = -17

und daher:

0,008 μF = 800 ·10^-17 MF

Arbeiten mit Flächen und Volumina

Das Arbeiten mit Flächen und Volumina ist ein Stück komplexer.

Grundwissen, dass man auswendig können muss, sind folgende Zusammenhänge:

1m=

10dm=

100cm=

1000mm

0,1m=

1dm=

10cm=

100mm

0,01m=

0,1dm=

1cm=

10mm

0,001m=

0,01dm=

0,1cm=

1mm

Zur Erinnerung:

0,001=10-3,

0,01=10-2,

0,1=10-1,

1= 100,

10=101,

100=10²,

1000=10³,

Berechnen wir beispielsweise, wie viele dm², cm² oder mm² ein Quadratmeter ist. Das kann man in der letzten Spalte ablesen:

1m	mal	1m	ist	1m²
ist ↓		↓		↓ ist
10dm	mal	10dm	ist	100dm²
ist ↓		↓		↓ ist
100cm	mal	100cm	ist	10000cm²
ist ↓		↓		↓ ist
1000mm	mal	1000mm	ist	1000000mm²

Lesen wir die 1. Zeile: 1m mal 1m ist 1m²

In der 1. Spalte ist zu lesen: 1m ist 10dm ist 100cm ist 1000mm.

Wenn man die 1. und die 3. Zeile kombiniert, liest man:

1m (ist 10dm) mal 1m (ist 10dm) ist 1m² (ist 100dm²). Wenn ich 1m mal 1m multipliziere, ist es gleich, wie wenn ich 10dm mal 10dm multipliziere. Daher ist 1m² = 100dm².

Noch ein Beispiel mit Volumen:

1cm	mal	1cm	mal	1cm	ist	1cm³
ist ↓		↓		↓		↓ ist
10-1dm	mal	10-1dm	mal	10-1dm	ist	10-3dm³
ist ↓		↓		↓		↓ ist
10-2m	mal	10-2m	mal	10-2m	ist	10-6m³

Vergleichen wir die 1. und die 5. Zeile, können wir Folgendes ablesen: 1cm (ist 10^-2m) mal 1cm (ist 10^-2m) mal 1cm (ist 10^-2m) ist 1cm³ (also 10sup>-6m³)

Eine andere Weise das Gleiche zu erklären ist die folgende:

Wenn man 5cm³ in m³ umwandeln will, ersetzt man cm durch 10^-2m (da 1cm 0,01m ist, siehe Tabelle):

5cm³=5·(10^-2m)³

Wenn man die Klammer auflöst und die Regeln "Potenz einer Potenz" benutzt, ergibt sich:

5cm³=5·(10^-2m)³=5·(10^-2)³·m³=5·10^(-2·3)m³=5·10^-6m³

Man soll also die eine Einheit durch die andere ersetzen und die Potenzregeln benutzen.