PCRT.I.B.03

PCRT.I.B

03 Die Zustandsvariablen in unterschiedlichen Koordinatensystemen

Uns muss klar sein, daß eine Temperatur immer eine Temperatur ist, egal in welchem natürlichen Koordinatensystem sie dargestellt ist. Dasselbe gilt für den Druck, das chemische Potential, das Volumen oder die Entropie. Die Funktionen derselben Grösse sind in den unterschiedlichen Koordinatensystemen verschieden. Wenn die Grösse sowohl als abhängige Variable vor der Klammer wie als unabhängige Variable in der Klammer vorkommt, handelt es sich um eine unabhängige Variable in diesem Koordinatensystem. So ist z.B. die Temperatur in den natürlichen Koordinatensystemen der freien Energie und der freien Enthalpie eine unabhängige Variable und das chemische Potential ist in keinem der bisher angegebenen natürlichen Koordinatensysteme eine unabhängige Variable.

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$T({\frac {S}{N}},{\frac {V}{N}})$	$=$	${\displaystyle }$	$T({\frac {S}{N}},p)$	$=$	${\displaystyle }$	$T(T,{\frac {V}{N}})$	$=$	${\displaystyle }$	$T(T,p)$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$p({\frac {S}{N}},{\frac {V}{N}})$	$=$	${\displaystyle }$	$p({\frac {S}{N}},p)$	$=$	${\displaystyle }$	$p(T,{\frac {V}{N}})$	$=$	${\displaystyle }$	$p(T,p)$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$\mu ({\frac {S}{N}},{\frac {V}{N}})$	$=$	${\displaystyle }$	$\mu ({\frac {S}{N}},p)$	$=$	${\displaystyle }$	$\mu (T,{\frac {V}{N}})$	$=$	${\displaystyle }$	$\mu (T,p)$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$V(S,V,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$V(S,p,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$V(T,V,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$V(T,p,N)$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$S(S,V,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$S(S,p,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$S(T,V,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$S(T,p,N)$

Mit der molaren Entropie und dem molaren Volumen schreiben sich diese Gleichungen in der folgenden Form

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$T(s,v)$	$=$	${\displaystyle }$	$T(s,p)$	$=$	${\displaystyle }$	$T(T,v)$	$=$	${\displaystyle }$	$T(T,p)$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$p(s,v)$	$=$	${\displaystyle }$	$p(s,p)$	$=$	${\displaystyle }$	$p(T,v)$	$=$	${\displaystyle }$	$p(T,p)$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$\mu (s,v)$	$=$	${\displaystyle }$	$\mu (s,p)$	$=$	${\displaystyle }$	$\mu (T,v)$	$=$	${\displaystyle }$	$\mu (T,p)$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$V(S,V,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$V(S,p,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$V(T,V,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$V(T,p,N)$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$	$S(S,V,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$S(S,p,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$S(T,V,N)$	$=$	${\displaystyle }$	$S(T,p,N)$

Übung a

Zunächst überlegen wir uns, bei welchen Variablen (Temperatur, Druck, Stoffmenge, Entropie, Volumen) es sich um Variable handelt, die von der Grösse des Systems abhängig sind (extensive Variablen) und welche Variablen nicht von der Grösse des Systems abhängen, sondern vom Ort, an dem sie gemessen werden (intensive Variablen). Dann überlegen wir uns, wie wir aus allen Variablen intensive Variablen machen können (Hinweis: Verhältnisse) und wieviel verschiedene Möglichkeiten es dafür gibt. Dann schreiben wir die angegebenen Variablen und die Zustandsfunktionen innere Energie, Enthalpie, freie Energie, freie Enthalpie und die molaren Zustandsfunktionen molare innere Energie, molare Enthalpie, molare freie Energie und die molare freie Enthalpie als Funktion aller möglichen Kombinationen der natürlichen Variablen der Zustandsfunktionen (Temperatur, Druck, Stoffmenge, Entropie, Volumen). Worauf können wir ein Auge haben, wenn wir die intensiven Variablen als Funktion ihrer unabhängigen Variablen hinschreiben? Warum sollte uns das in Zukunft stutzig machen, wenn wir die Temperatur, den Druck und die molaren Zustandsfunktionen als Funktion von extensiven Grössen (ohne Bruchbildung) hingeschrieben sehen? Das Ganze schreiben wir dann nochmal mit dem molaren Volumen (kleines v) und der molaren Entropie (kleines s) auf.