Primzahlen: Formelsammlung

Primzahlen

Primzahlsatz

Anzahl der Primzahlen $(\pi (n))\$kleiner gleich $n$:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi (n)}{\frac {n}{\ln(n)}}}=1$

${\pi (n)}\approx {\frac {n}{\ln(n)}}$ mit $n>7$

Eine noch bessere Approximation als ${\tfrac {n}{\ln(n)}}$ ist der Integrallogarithmus

$\pi (n)\approx \mathrm {Li} (n):=\int _{2}^{n}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}.$

Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl $n>7$ eine Primzahl ist:

$P(n)\approx {\frac {1}{\ln(n)}}$

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient kommt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit Hilfe des Binomialkoeffizienten lässt sich berechnen, wieviele Möglichkeiten es gibt m Objekte aus einer Gesamtzahl von n unterschiedlchen Objekten auszuwählen. Berechnet wird der Binomialkoeffizient nach der Formel:

${n \choose m}={\frac {n\cdot n-1\cdot n-2\cdot ...\cdot n-(m-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot m}}={\frac {n!}{m!\cdot (n-m)!}}$

Beispiele

Man hat in einem Beutel sechs farbige Kugeln (rot, grün, blau, gelb, magenta, cyan). Wieviele unterschiedliche Kombinationen zweier Kugeln lassen sich aus dem Beutel nehmen?

${6 \choose 2}={\frac {6\cdot 5}{1\cdot 2}}=15$

Es gibt 15 Kombinationen.

Das bekannteste Beispiel für einen Binomialkoeffizienten ist das Lotto 6 aus 49. Wieviele Kombinationen von 6 Zahlen kann man aus 49 Zahlen zusammenstellen?

${49 \choose 6}={\frac {49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}=13983816$

Es sind 13.983.816 (das sind fast 14 Millionen).