Primzahlen: Historie/Primzahl (Beweise)

Primzahlen

Diese Seite enthält die Entwicklung des Artikels Primzahl (Beweise) aus der Wikipedia.

010

Version vom 22:55, 25. Mär 2004, Schewek K (formatierung) K (deutscher genitiv ohne apostroph):

'''Beweise'''

Bei den folgenden '''Beweisen zu Primzahlen''' geht es darum, zu zeigen, das es keine größte Primzahl gibt.

Daraus folgt dann, und damitdass unendlich viele Primzahlen existieren.

Der bekannteste Beweis ist der [[Satz von Euklid]].

Neben diesem sind mit der Zeit auch noch andere Beweise aufgestellt worden.

== Stieltjes Beweis ==

Stieltjes Beweis belegt mit logischen Schlussfolgerungen, dass es keine größte [[Primzahl]] gibt und damit, dass es derer unendlich viele gibt.

Angenommen <math>p_1,\ p_2,\ p_3,\ ... ,\ p_r</math> seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gilt für die Zahl <math> N = p_1*p_2*p_3* ... *p_r</math>, dass sie sich in der Form <math> N = m*n </math> zerlegen lässt, wobei für beide Zahlen m und n gilt, dass sie größer oder gleich 1 sind. Jede Primzahl <math>p_i</math> teilt nun entweder m oder n, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist m + n durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber m+n != 1 ist, muss m+n eine weitere, größere Primzahl sein, oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar sein.

=== Beispiel: ===

Angenommen es gäbe nur die 4 Primzahlen 2, 3, 5 und 7. Dann wäre N = 2 * 3 * 5 * 7 = 210. N ließe sich beispielsweise in die Faktoren (3*5) = 15 und (2*7) = 14 zerlegen. 15 + 14 = 29. 29 läßt sich weder durch 2, 3, 5 oder 7 teilen. Also muß 29 eine Primzahl sein, oder sie muß durch mindestens zwei andere Primzahlen größer als 7 teilbar sein.

N = (2*5) * (3*7) = 10 * 21. 10+21 = 31. 31 läßt sich weder durch 2, 3, 5 oder 7 teilen. Also muß 31 eine Primzahl sein, oder es muß eine andere Zahl größer als 7 existieren, die 31 teilt.

== Schorns Beweis: ==

=== Vorbemerkungen ===

Für die nächsten beiden Beweise muß man etwas erklären. Wenn von "paarweise Prim" die Rede ist, ist folgendes gemeint: Wenn zwei Zahlen a₁ uns a₂, die keine Primzahlen sein müssen, keine gemeinsamen Primfaktoren besitzen, der ggT (größter gemeinsame Teiler) also 1 ist, dann sind diese beiden Zahlen paarweise Prim. Wenn man nun sagen kann, das zwei beliebige Zahlen aus einer Menge paarweise Prim sind, dann müssen alle Zahlen dieser Menge paarweise Prim sein.

=== Beweis ===

Angenommen es gibt genau m verschiedene Primzahlen. Dann gibt es ein n = m + 1. Die n natürlichen Zahlen (n!)i + 1 für i=1 .. n sind zueinander relativ prim. Wenn eine Primzahl p_i die natürliche Zahl (n!)i + 1 teilt, dann sind die Primzahlen <math>p_1, p_2, .. , p_n</math> n = m + 1 unterschiedliche Primzahlen, was im Widerspruch zu unsere anfänglichen Annahme steht, das es genau m verschiedene Primzahlen gibt.

=== Beispiel ===

Angenommen man geht davon aus, dass es genau 3 Primzahlen gibt. Dann gibt es eine Zahl n = 3 + 1 = 4. Mit dieser Zahl kann man die folgenden 4 Zahlen konstuieren: (4!)*1 + 1 = 25, (4!)*2 + 1 = 49, (4!)*3 + 1 = 73, (4!)*4 + 1 = 97. 25 = (5*5), 49 = (7*7), 73 = 73 und 97 = 97. Alle vier Zahlen sind also untereinander paarweise prim. Das bedeutet aber auch, dass es mindestens 4 verschiedene Primzahlen geben muß. Man ist aber am Anfang davon ausgegangen, dass es nur 3 Primzahlen gibt. Die Konsequenz daraus ist, daß egal von welcher endlichen Anzahl an Primzahlen man ausgeht, es immer noch eine Primzahl mehr geben muß.

== Goldbachs Beweis ==

Wenn man eine unendliche Folge natürlicher Zahlen <math>a_i = a_1, a_2, .. , a_n, .. </math> finden kann, die relativ zueinander prim sind, dann existiert eine Folge unabhängiger Primzahlen <math> p_1, p_2 .. , p_n, .. </math> für die gilt, dass die Primzahl p_i die natürliche Zahl a_i teilt. Wenn man also eine solche Folge findet, dann muß es auch eine unendliche Anzahl von Primzahlen geben. Es gibt eine solche Folge natürlicher Zahlen, die relativ zu einander prim sind: die Folge der Fermat Zahlen F_n = <math>2^{2^{n}} + 1</math> für n >= 0.

<math>F_m - 2 = F_0*F_1*...*F_{m-1}</math>. Dieser Satz läßt sich per Induktion zeigen. Daraus folgt, bei n < m, das F_n die Zahl F_m - 2 dividiert.Angenommen eine Primzahl p würde die beiden Fermat Zahlen F_n und F_m dividieren, dann würde sie auch F_m - 2 und F_m dividieren. araus würde folgen, das p=2. Da aber jedes F_n ungerade ist, und damit nicht durch 2 teilbar, muß jedes Glied dieser Folge relativ zu den anderen Prim sein.

== Kummers Beweis ==

== Eulers Beweis ==

== Thues Beweis ==

== Perrots Beweis ==

== Aurics Beweis ==

== Metrods Beweis (Variante von Stieltjes Beweis) ==

== Washingtons Beweis ==

== Fürstenbergs Beweis ==

009

Version vom 22:43, 25. Mär 2004, Tsor K (=Goldbach's Beweis= typos) K (=Schorns Beweis:= typos, Umformulierung):

'''Beweise'''

Bei den folgenden Beweisen geht es darum, zu zeigen, das es keine größte Primzahl gibt, und damit unendlich viele Primzahlen existieren. Der bekannteste Beweis ist der [[Satz von Euklid]]. Neben diesem sind mit der Zeit auch noch andere Beweise aufgestellt worden.

== Stieltjes Beweis ==

Stieltjes Beweis belegt mit logischen Schlussfolgerungen, dass es keine größte [[Primzahl]] gibt und damit, dass es derer unendlich viele gibt.

Angenommen <math>p_1,\ p_2,\ p_3,\ ... ,\ p_r</math> seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gilt für die Zahl <math> N = p_1*p_2*p_3* ... *p_r</math>, dass sie sich in der Form <math> N = m*n </math> zerlegen lässt, wobei für beide Zahlen m und n gilt, dass sie größer oder gleich 1 sind. Jede Primzahl <math>p_i</math> teilt nun entweder m oder n, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist m + n durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber m+n != 1 ist, muss m+n eine weitere, größere Primzahl sein, oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar sein.

--- Beispiel: ---

Angenommen es gäbe nur die 4 Primzahlen 2, 3, 5 und 7. Dann wäre N = 2 * 3 * 5 * 7 = 210. N ließe sich beispielsweise in die Faktoren (3*5) = 15 und (2*7) = 14 zerlegen. 15 + 14 = 29. 29 läßt sich weder durch 2, 3, 5 oder 7 teilen. Also muß 29 eine Primzahl sein, oder sie muß durch mindestens zwei andere Primzahlen größer als 7 teilbar sein.

N = (2*5) * (3*7) = 10 * 21. 10+21 = 31. 31 läßt sich weder durch 2, 3, 5 oder 7 teilen. Also muß 31 eine Primzahl sein, oder es muß eine andere Zahl größer als 7 existieren, die 31 teilt.

--- Erklärung ---

Für die nächsten beiden Beweise muß man etwas erklären. Wenn von "paarweise Prim" die Rede ist, ist folgendes gemeint: Wenn zwei Zahlen a₁ uns a₂, die keine Primzahlen sein müssen, keine gemeinsamen Primfaktoren besitzen, der ggT (größter gemeinsame Teiler) also 1 ist, dann sind diese beiden Zahlen paarweise Prim. Wenn man nun sagen kann, das zwei beliebige Zahlen aus einer Menge paarweise Prim sind, dann müssen alle Zahlen dieser Menge paarweise Prim sein.

== Schorns Beweis: ==

Angenommen es gibt genau m verschiedene Primzahlen. Dann gibt es ein n = m + 1. Die n natürlichen Zahlen (n!)i + 1 für i=1 .. n sind zueinander relativ prim. Wenn eine Primzahl p_i die natürliche Zahl (n!)i + 1 teilt, dann sind die Primzahlen <math>p_1, p_2, .. , p_n</math> n = m + 1 unterschiedliche Primzahlen, was im Widerspruch zu unsere anfänglichen Annahme steht, das es genau m verschiedene Primzahlen gibt.

--- Beispiel ---

Angenommen man geht davon aus, dass es genau 3 Primzahlen gibt. Dann gibt es eine Zahl n = 3 + 1 = 4. Mit dieser Zahl kann man die folgenden 4 Zahlen konstuieren: (4!)*1 + 1 = 25, (4!)*2 + 1 = 49, (4!)*3 + 1 = 73, (4!)*4 + 1 = 97. 25 = (5*5), 49 = (7*7), 73 = 73 und 97 = 97. Alle vier Zahlen sind also untereinander paarweise prim. Das bedeutet aber auch, dass es mindestens 4 verschiedene Primzahlen geben muß. Man ist aber am Anfang davon ausgegangen, dass es nur 3 Primzahlen gibt. Die Konsequenz daraus ist, daß egal von welcher endlichen Anzahl an Primzahlen man ausgeht, kann man mit diesem Beweis zeigen, das es immer noch eine Primzahl mehr geben muß.

== Goldbach's Beweis ==

Wenn man eine unendliche Folge natürlicher Zahlen <math>a_i = a_1, a_2, .. , a_n, .. </math> finden kann, die relativ zueinander prim sind, dann existiert eine Folge unabhängiger Primzahlen <math> p_1, p_2 .. , p_n, .. </math> für die gilt, dass die Primzahl p_i die natürliche Zahl a_i teilt. Wenn man also eine solche Folge findet, dann muß es auch eine unendliche Anzahl von Primzahlen geben. Es gibt eine solche Folge natürlicher Zahlen, die relativ zu einander prim sind: die Folge der Fermat Zahlen F_n = <math>2^{2^{n}} + 1</math> für n >= 0.

<math>F_m - 2 = F_0*F_1*...*F_{m-1}</math>. Dieser Satz läßt sich per Induktion zeigen. Daraus folgt, bei n < m, das F_n die Zahl F_m - 2 dividiert.Angenommen eine Primzahl p würde die beiden Fermat Zahlen F_n und F_m dividieren, dann würde sie auch F_m - 2 und F_m dividieren. araus würde folgen, das p=2. Da aber jedes F_n ungerade ist, und damit nicht durch 2 teilbar, muß jedes Glied dieser Folge relativ zu den anderen Prim sein.

== Kummer's Beweis ==

== Euler's Beweis ==

== Thue's Beweis ==

== Perrot's Beweis ==

== Auric's Beweis ==

== Metrod's Beweis (Variante von Stieltjes Beweis) ==

== Washington's Beweis ==

== Fürstenberg's Beweis ==

008

Version vom 21:43, 25. Mär 2004, Arbol01 K (zwei Beweise zugefügt):

'''Beweise'''

Bei den folgenden Beweisen geht es darum, zu zeigen, das es keine größte Primzahl gibt, und damit unendlich viele Primzahlen existieren. Der bekannteste Beweis ist der [[Satz von Euklid]]. Neben diesem sind mit der Zeit auch noch andere Beweise aufgestellt worden.

== Stieltjes Beweis ==

Stieltjes Beweis belegt mit logischen Schlussfolgerungen, dass es keine größte [[Primzahl]] gibt und damit, dass es derer unendlich viele gibt.

Angenommen <math>p_1,\ p_2,\ p_3,\ ... ,\ p_r</math> seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gilt für die Zahl <math> N = p_1*p_2*p_3* ... *p_r</math>, dass sie sich in der Form <math> N = m*n </math> zerlegen lässt, wobei für beide Zahlen m und n gilt, dass sie größer oder gleich 1 sind. Jede Primzahl <math>p_i</math> teilt nun entweder m oder n, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist m + n durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber m+n != 1 ist, muss m+n eine weitere, größere Primzahl sein, oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar sein.

--- Beispiel: ---

Angenommen es gäbe nur die 4 Primzahlen 2, 3, 5 und 7. Dann wäre N = 2 * 3 * 5 * 7 = 210. N ließe sich beispielsweise in die Faktoren (3*5) = 15 und (2*7) = 14 zerlegen. 15 + 14 = 29. 29 läßt sich weder durch 2, 3, 5 oder 7 teilen. Also muß 29 eine Primzahl sein, oder sie muß durch mindestens zwei andere Primzahlen größer als 7 teilbar sein.

N = (2*5) * (3*7) = 10 * 21. 10+21 = 31. 31 läßt sich weder durch 2, 3, 5 oder 7 teilen. Also muß 31 eine Primzahl sein, oder es muß eine andere Zahl größer als 7 existieren, die 31 teilt.

--- Erklärung ---

Für die nächsten beiden Beweise muß man etwas erklären. Wenn von "paarweise Prim" die Rede ist, ist folgendes gemeint: Wenn zwei Zahlen a₁ uns a₂, die keine Primzahlen sein müssen, keine gemeinsamen Primfaktoren besitzen, der ggT (größter gemeinsame Teiler) also 1 ist, dann sind diese beiden Zahlen paarweise Prim. Wenn man nun sagen kann, das zwei beliebige Zahlen aus einer Menge paarweise Prim sind, dann müssen alle Zahlen dieser Menge paarweise Prim sein.

== Schorns Beweis: ==

Angenommen es gibt genau m verschiedene Primzahlen. Dann gibt es ein n = m + 1. Die n natürlichen Zahlen (n!)i + 1 für i=1 .. n sind zueinander relativ prim. Wenn eine Primzahl p_i die natürliche Zahl (n!)i + 1 teilt, dann sind die Primzahlen <math>p_1, p_2, .. , p_n</math> n = m + 1 unterschiedliche Primzahlen, was im Widerspruch zu unsere anfänglichen Annahme steht, das es genau m verschiedene Primzahlen gibt.

--- Beispiel ---

Angenommen man geht davon aus, das es genau 3 Primzahlen gibt. Dann gibt es eine Zahl n = 3 + 1 = 4. Mit dieser Zahl kann man die folgenden 4 Zahlen konstuieren: (4!)*1 + 1 = 25, (4!)*2 + 1 = 49, (4!)*3 + 1 = 73, (4!)*4 + 1 = 97. 25 = (5*5), 49 = (7*7), 73 = 73 und 97 = 97. Alle vier Zahlen sind also untereinander paarweise Prim. Das bedeutet aber auch, das es mindestens 4 verschiedene Primzahlen geben muß. Man ist aber am anfang davon ausgegangen, das es nur 3 Primzahlen gibt. Die konsequenz daraus ist, daß egal von welcher endlichen Anzahl an Primzahlen man ausgeht, kann man mit diesem Beweis zeigen, das es immer noch eine Primzahl mehr geben muß.

== Goldbach's Beweis ==

Wenn man eine unendliche Folge natürlicher Zahlen <math>a_i = a_1, a_2, .. , a_n, .. </math> finden kann, die relativ zueinander Prim sind, dann existiert eine Folge unabhängiger Primzahlen <math> p_1, p_2 .. , p_n, .. </math> für die gilt, das die Primzahl p_i die natürliche Zahl a_i teilt. Wenn man also eine solche Folge findet, dann muß auch eine unendliche Anzahl von Primzahlen geben. Es gibt eine solche Folge natürlicher Zahlen, die relativ zu einander Prim sind: die Folge der Fermat Zahlen F_n = <math>2^{2^{n}} + 1</math> für n >= 0.

<math>F_m - 2 = F_0*F_1*...*F_{m-1}</math>. Dieser Satz läßt sich per Induktion zeigen. Daraus folgt, bei n < m, das F_n die Zahl F_m - 2 dividiert.Angenommen eine Primzahl p würde die beiden Fermat Zahlen F_n und F_m dividieren, dann würde sie auch F_m - 2 und F_m dividieren. araus würde folgen, das p=2. Da aber jedes F_n ungerade ist, und damit nicht durch 2 teilbar, muß jedes Glied dieser Folge relativ zu den anderen Prim sein.

== Kummer's Beweis ==

== Euler's Beweis ==

== Thue's Beweis ==

== Perrot's Beweis ==

== Auric's Beweis ==

== Metrod's Beweis (Variante von Stieltjes Beweis) ==

== Washington's Beweis ==

== Fürstenberg's Beweis ==

007

Version vom 14:48, 24. Mär 2004, Arbol01:

'''Stieltjes Beweis''' belegt mit logischen Schlussfolgerungen, dass es keine größte [[Primzahl]] gibt und damit, dass es derer unendlich viele gibt.

Angenommen <math>p_1,\ p_2,\ p_3,\ ... ,\ p_r</math> seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gilt für die Zahl <math> N = p_1*p_2*p_3* ... *p_r</math>, dass sie sich in der Form <math> N = m*n </math> zerlegen lässt, wobei für beide Zahlen m und n gilt, dass sie größer oder gleich 1 sind. Jede Primzahl <math>p_i</math> teilt nun entweder m oder n, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist m + n durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber m+n != 1 ist, muss m+n eine weitere, größere Primzahl sein, oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar sein.

=== Beispiel: ===

Angenommen es gäbe nur die 4 Primzahlen 2, 3, 5 und 7. Dann wäre N = 2 * 3 * 5 * 7 = 210. N ließe sich beispielsweise in die Faktoren (3*5) = 15 und (2*7) = 14 zerlegen. 15 + 14 = 29. 29 läßt sich weder durch 2, 3, 5 oder 7 teilen. Also muß 29 eine Primzahl sein, oder sie muß durch mindestens zwei andere Primzahlen größer als 7 teilbar sein.

N = (2*5) * (3*7) = 10 * 21. 10+21 = 31. 31 läßt sich weder durch 2, 3, 5 oder 7 teilen. Also muß 31 eine Primzahl sein, oder es muß eine andere Zahl größer als 7 existieren, die 31 teilt.

006

Version vom 14:34, 24. Mär 2004, Mikue K (Einleitungssatz für Nichtmathematiker)

'''Stieltjes Beweis''' belegt mit logischen Schlussfolgerungen, dass es keine größte [[Primzahl]] gibt und damit, dass es derer unendlich viele gibt.

Angenommen <math>p_1,\ p_2,\ p_3,\ ... ,\ p_r</math> seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gilt für die Zahl <math> N = p_1*p_2*p_3* ... *p_r</math>, dass sie sich in der Form <math> N = m*n </math> zerlegen lässt, wobei für beide Zahlen m und n gilt, dass sie größer oder gleich 1 sind. Jede Primzahl <math>p_i</math> teilt nun entweder m oder n, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist m + n durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber m+n != 1 ist, muss m+n eine weitere, größere Primzahl sein, oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar sein.

005

Version vom 00:52, 24. Mär 2004, Fcc go K (logische Darstellung berichtigt):

'''Stieltjes Beweis''':

Angenommen <math>p_1,\ p_2,\ p_3,\ ... ,\ p_r</math> seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gilt für die Zahl <math> N = p_1*p_2*p_3* ... *p_r</math>, dass sie sich in der Form <math> N = m*n </math> zerlegen läßt, wobei für beide Zahlen m und n gilt, dass sie größer oder gleich 1 sind. Jede Primzahl <math>p_i</math> teilt nun entweder m oder n, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist m + n durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber m+n != 1 ist, muß m+n eine weitere, größere Primzahl sein, oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar sein.

004

Version vom 23:55, 23. Mär 2004, UncleOwen:

<nowki>Stieltjes Beweis:</nowiki>

Angenommen <math>p_1,\ p_2,\ p_3,\ ... ,\ p_r</math> seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gibt es eine Zahl <math> N = p_1*p_2*p_3* ... *p_r</math>, die sich in eine Zahl <math> N = m*n </math> zerlegen läßt, wobei für beide Zahlen m und n gilt, das sie größer oder gleich 1 sind. Jede Primzahl <math>p_i</math> teilt nun entweder m oder n, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist m + n durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber m+n != 1 ist, muß m+n eine weitere, größere Primzahl sein, oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar sein.

003

22:51, 23. Mär 2004, Arbol01:

'''Stieltjes Beweis''':

Angenommen <math>p_1,\ p_2,\ p_3,\ ... ,\ p_r</math> seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gibt es eine Zahl <math> N = p_1*p_2*p_3* ... *p_r</math>, die sich in eine Zahl <math> N = m*n </math> zerlegen läßt, wobei für beide Zahlen m und n gilt, das sie größer oder gleich 1 sind. Jede Primzahl <math>p_i</math> teilt nun entweder m oder m, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist m + n durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber m+n != 1 ist, muß m+n eine weitere, größere Primzahl sein, oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar sein.

002

22:03, 23. Mär 2004, Tsor K (<math> /es fehlte das "h")):

'''Stieltjes Beweis''':<nowiki> <nowiki>Angenommen <math>p_1, p_2, p_3, ... , p_r</math> seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gibt es eine Zahl <math> N = p_1*p_2*p_3* ... *p_r</math>, die sich in eine Zahl <math> N = m*n </math> zerlegen läßt, wobei für beide Zahlen m und n gilt, das sie größer oder gleich 1 sind. jede Primzahl <math>p_i</math> teilt nun entweder m oder m, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist m + n durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber m+n != 1 ist, muß m+n eine weitere, größere Primzahl sein, oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar sein.

001

21:17, 23. März 2004, Arbol01:

'''Stieltjes Beweis''':

Angenommen <math>p_1, p_2, p_3, ... , p_r</math> seien die einzigen Primzahlen, die existieren. Dann gibt es eine Zahl <math> N = p_1*p_2*p_3* ... *p_r</math>, die sich in eine Zahl <mat> N = m*n </math> zerlegen läßt, wobei für beide Zahlen m und n gilt, das sie größer oder gleich 1 sind. jede Primzahl <math>p_i</math> teilt nun entweder m oder m, aber nicht beide zugleich. Aus diesem Grund ist m + n durch keine der existierenden Primzahlen teilbar. Da aber m+n != 1 ist, muß m+n eine weitere, größere Primzahl sein, oder durch eine weitere noch unbekannte Primzahl teilbar sein.