Primzahlen: V. Kapitel: Primzahllücken

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Nuvola apps bookcase 1.svg Primzahlen


Einleitung[Bearbeiten]

In diesem Kapitel geht es um die Lücken zwischen zwei Primzahlen und deren Größe.

Primzahllücken[Bearbeiten]

Was versteht man unter einer Primzahllücke? Das ist ganz einfach. Eine Primzahllücke ist die Anzahl der Nichtprimzahlen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen. Anders gesagt: Eins weniger als die Differenz von zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen. Die bekannteste Form der Primzahllücken sind die Primzahlzwillinge, Zwei Primzahlen und , zwischen denen genau eine Nichtprimzahl liegt.

Gibt es die Möglichkeit, Primzahllücken einer bestimmten Mindestlänge zu konstruieren?[Bearbeiten]

Ja, die Möglichkeit gibt es. Hier werden drei Vorgehensweisen vorgestellt:

Konstruktion einer Primzahllücke über die Fakultät:[Bearbeiten]

Die Fakultät hat die folgende Eigenschaft, dass sie durch alle Zahlen von 2 bis n teilbar ist. Demzufolge ist eine Zahl mit auch durch teilbar, und damit keine Primzahl. Auf diese Weise bekommt man eine feste Lücke aus Nichtprimzahlen zwischen und .

Beispiel:[Bearbeiten]

n=6

ist durch 2 teilbar.
ist durch 3 teilbar.
ist durch 4 teilbar.
ist durch 5 teilbar.
ist durch 6 teilbar.

Konstruktion einer Primzahllücke über das kgV[Bearbeiten]

Das folgende Verfahren ist mit der Konstruktion über die Fakultät verwandt. Das ist, wie die Fakultät , durch alle Zahlen zwischen 2 und n teilbar. Wie bei dem Verfahren mit der Fakultät gilt, das mit durch teilbar ist, und damit keine Primzahl sein kann. Und genauso wie bei dem Verfahren mit der Fakultät bekommt man eine feste Lücke aus Nichtprimzahlen zwischen und .

Beispiel:[Bearbeiten]

n=6

ist durch 2 teilbar.
ist durch 3 teilbar.
ist durch 4 teilbar.
ist durch 5 teilbar.
ist durch 6 teilbar.

Konstruktion einer Primzahllücke über das Primorial[Bearbeiten]

Dieses Verfahren ist etwas subtiler. Es beruht auf einer mathematischen Operation, die im englischen primorial genannt wird. Das primorial ist das Produkt aller Primzahlen zwischen 2 und . Hierbei ist nicht sichergestellt, dass alle natürlichen Zahlen zwischen 2 und als Teiler vorhanden sind. Aber dies ist auch gar nicht nötig, denn alle Zahlen zwischen 2 und können nur Primzahlen zwischen 2 und als Faktoren enthalten.

Beispiel:[Bearbeiten]

n=5 (bis , da erst 7 die nächst höhere Primzahl ist)

ist durch 2 teilbar.
ist durch 3 teilbar.
ist durch 2 teilbar.
ist durch 5 teilbar.
ist durch 6 teilbar.

Einschränkung[Bearbeiten]

Keines der genannten Verfahren garantiert, dass die direkt an die Lücke grenzenden Zahlen Primzahlen sind. Die eigentliche Lücke kann in Wirklichkeit wesentlich größer sein:

Beispiele:[Bearbeiten]

n=8

ist durch 2 teilbar.
ist durch 3 teilbar.
ist durch 4 teilbar.
ist durch 5 teilbar.
ist durch 6 teilbar.
ist durch 7 teilbar.
ist durch 8 teilbar.

Die nächsten Primzahlen sind allerdings erst 40289 und 40343, und damit liegen 53 statt nur 7 Nichtprimzahlen in der Lücke.

n=11

ist durch 2 teilbar.
ist durch 3 teilbar.
ist durch 4 teilbar.
ist durch 5 teilbar.
ist durch 6 teilbar.
ist durch 7 teilbar.
ist durch 8 teilbar.
ist durch 9 teilbar.
ist durch 10 teilbar.
ist durch 11 teilbar.

Die nächsten Primzahlen sind allerdings erst 27701 und 27733, und damit liegen 31 statt nur 10 Nichtprimzahlen in der Lücke.

n=11

ist durch 2 teilbar.
ist durch 3 teilbar.
ist durch 2 teilbar.
ist durch 5 teilbar.
ist durch 6 teilbar.
ist durch 7 teilbar.
ist durch 2 teilbar.
ist durch 3 teilbar.
ist durch 10 teilbar.
ist durch 11 teilbar.

Die nächsten Primzahlen sind allerdings erst 2311 und 2333, und damit liegen 21 statt nur 10 Nichtprimzahlen in der Lücke.