Primzahlen: VI. Kapitel: Verschiedene Primzahl-Arten

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Nuvola apps bookcase 1.svg Primzahlen

Cullen-Zahl[Bearbeiten]

Eine Cullen-Zahl ist eine Zahl der Form , mit der sich Reverend James Cullen 1905 beschäftigt hat. Ihm fiel auf, dass außer alle Zahlen dieser Form bis zusammengesetzte Zahlen, also keine Primzahlen sind. Seine Unsicherheit bezüglich konnte von Allan J.C. Cunningham 1906 ausgeräumt werden, indem dieser den Teiler 5519 fand. Cunningham zeigte, dass alle bis zusammengesetzt sind, mit einer möglichen Ausnahme für .

1958 bestätigte Raphael M. Robinson, dass eine Primzahl ist und wies nach, dass alle Cullen-Zahlen mit , mit Ausnahme von und zusammengesetzte Zahlen sind.

Wilfrid Keller hat 1984 gezeigt, das , , und ebenfalls Primzahlen sind, aber alle anderen mit zusammengesetzte Cullen-Zahlen sind.

Inzwischen (Juli 2004) ist bekannt, dass für folgende n Primzahlen sind: 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899 und 1354828. Außer diesen gibt es keine Cullen-Primzahlen bis n=1150000.

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Cullen-Primzahlen gibt.

Woodall-Zahl[Bearbeiten]

Eine Zahl der Form wird Cullen-Zahl der zweiten Art oder auch Woodall-Zahl genannt (nach H.J. Woodall, der sie 1917 beschrieb).

Im Bereich von sind nur die Woodall-Zahlen C'2, C'3, C'6, C'30, C'75, C'81, C'115, C'123, C'249, C'362, C'384, C'462, C'512, C'751, C'882, C'5312, C'7755, C'9531, C'12379, C'15822 und C'18885 Primzahlen.

Weitere Woodall-Primzahlen sind C'n für folgende n: 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Verallgemeinerte Cullen- und Woodall-Zahlen[Bearbeiten]

Zahlen der Form bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Zahlen der Form bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen

Sophie-Germain-Primzahlen[Bearbeiten]

Eine Primzahl nennt man Sophie-Germain-Primzahl oder auch Germainsche Primzahl wenn auch eine Primzahl ist.

Beispiele[Bearbeiten]

ist eine Sophie-Germain-Primzahl, denn ist eine Primzahl. Das gleiche gilt für 3, 5, 11 und 23.
ist keine Sophie-Germain-Primzahl, denn ist keine Primzahl.

Cunningham-Ketten[Bearbeiten]

Cunningham-Ketten der ersten Art[Bearbeiten]

In dem obigen Beispiel der Sophie-Germain-Primzahlen sind die Zahlen wie an einer Kette aufgereiht. Diese Reihe ist eine Cunningham-Kette (benannt nach Allan Joseph Champneys Cunningham) der ersten Art, also eine Folge von Primzahlen der Form:

(also p, 2p+1, 4p+3, 8p+7, ...)

Alle Primzahlen einer solchen Folge, mit Ausnahme der letzten Primzahl, sind Sophie-Germain-Primzahlen. Die erste Cunningham-Kette ist die Folge: 2, 5, 11, 23, 47.

Die jeweils kleinsten vorkommenden Cunninghamketten mit k Kettengliedern, die mit der Primzahl p beginnen, sind in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt:

Kleinste Cunningham-Kette mit k Kettengliedern
k p
5 2
6 89
7 1.122.659
8 19.099.919
9 85.864.769
10 26.089.808.579
11 665.043.081.119
12 554.688.278.429
13 4.090.932.431.513.069
14 95.405.042.230.542.329

Cunningham-Ketten der zweiten Art[Bearbeiten]

Eine Cunningham-Kette der zweiten Art ist eine Folge von Primzahlen der Form:

Zwei Beispiele für Cunningham-Ketten der zweiten Art sind die Folge 2, 3, 5 und die Folge 1531, 3061, 6121, 12241, 24481 .

Verallgemeinerte Cunningham-Ketten[Bearbeiten]

Eine Folge von Primzahlen der Form: p, ap+b, a(ap+b)+b, ... mit festem a und festem b nennt man eine verallgemeinerte Cunningham-Kette.


Quelle: Der Abschnitt mit Cullen-Zahl und Woodall-Zahl stamt aus dem Artikel Cullen-Zahl entnommen von der deutsprachigen de.wikipedia.org. Der Abschnitt Cuningham-Kette stamt aus dem Artikel Cunningham-Kette entnommen von der deutsprachigen de.wikipedia.org. Weitere Informationen zu den verschiedenen Primzahlarten findet man u.a. bei primes.utm.edu und www.prothsearch.net