Punktmengentopologie/ Basen von Topologien

Definition (Basis):

Es sei $X$ eine Menge und ${\mathcal {B}}$ eine Menge von Teilmengen von $X$. ${\mathcal {B}}$ nennt man eine Basis für eine Topologie auf $X$ genau dann, wenn die Menge ${\mathcal {T}}$ von Teilmengen von $X$, die aus allen Vereinigungen von Elementen von ${\mathcal {B}}$ ist, eine Topologie ist.

Satz (Charakterisierung von Basen einer Topologie durch eine Schnittmengeneigenschaft):

Es sei $X$ eine Menge und ${\mathcal {B}}$ eine Menge von Teilmengen von $X$. Dann ist ${\mathcal {B}}$ eine Basis einer Topologie auf $X$ genau dann, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

1. $\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B=X$
2. Falls $A,B\in {\mathcal {B}}$ und $x\in A\cap B$ sind, dann gibt es ein $C\in {\mathcal {B}}$ mit $x\in C\subseteq A\cap B$.

Beweis: Zunächst sei ${\mathcal {B}}$ eine Basis einer Topologie auf $X$. Es seien $A,B\in {\mathcal {B}}$ und $x\in A\cap B$. $A$ und $B$ sind offen, das heißt, $A\cap B$ ist eine Vereinigung von Elementen von ${\mathcal {B}}$. Daher gibt es also ein $C\in {\mathcal {B}}$ mit $x\in C\subseteq A\cap B$.

Umgekehrt seien die zwei Bedingungen wahr. Wir behaupten, dass die Vereinigungen von Elementen aus ${\mathcal {B}}$ eine Topologie formen. Wegen der ersten Bedingung ist $X$ in der Menge der Vereinigungen von Elementen aus ${\mathcal {B}}$, und da die leere Vereinigung die leere Menge ist, ist auch die leere Menge in der Menge der Vereinigungen von Elementen aus ${\mathcal {B}}$. Es ist ferner klar, dass die Menge von Vereinigungen von Elementen aus ${\mathcal {B}}$ unter Vereinigungen abgeschlossen ist.

Seien nun $A,B$ zwei Vereinigungen von Elementen aus ${\mathcal {B}}$. Wir schreiben

$A=\bigcup _{C\in S_{1}}C$ und $B=\bigcup _{D\in S_{2}}D$,

wobei $S_{1},S_{2}\subseteq {\mathcal {B}}$. Dann gilt

$A\cap B=\bigcup _{C\in S_{1} \atop D\in S_{2}}C\cap D$.

Nun ist aber $C\cap D$ wegen der zweiten Bedingung eine Vereinigung von Elementen aus ${\mathcal {B}}$. $\Box$