Punktmengentopologie/ Kategorien der Punktmengentopologie

Definition (Topologie):

Es sei $X$ eine beliebige Menge. Ein Mengensystem $\tau \subset 2^{X}$ heißt Topologie genau dann, wenn die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

1. $\emptyset \in \tau \wedge X\in \tau$ ($\tau$ enthält die leere Menge und die gesamte Menge)
2. $U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau \Rightarrow U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau$ ($\tau$ ist abgeschlossen unter endlichen Schnittmengen)
3. $(\forall \alpha \in A:U_{\alpha }\in \tau )\Rightarrow \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\in \tau$ ($\tau$ ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen)

Definition (Topologischer Raum):

Ein topologischer Raum ist eine Menge $X$, die irgendeine fest bestimmte Topologie $\tau$ trägt.

Definition (Stetigkeit):

Es seien $X$ und $Y$ zwei Mengen, die mit Topologien $\tau$ resp. $\varphi$ ausgestattet sind. Eine Funktion $f:X\to Y$ heißt stetig genau dann, wenn für alle $U\in \varphi$ das Urbild $f^{-1}(U)\in \tau$ ist.

Definition (Top):

Die Kategorie Top ist die Kategorie der topologischen Räume, zusammen mit den stetigen Abbildungen.

Definition (Punktierter Raum):

Ein punktierter Raum ist ein topologischer Raum $X$ zusammen mit einem Punkt $x_{0}$. So einen punktierten Raum schreibt man zumeist $(X,x_{0})$.

Definition (Punktierte Funktion):

Es seien $(X,x_{0})$ und $(Y,y_{0})$ zwei punktierte Räume. Eine Funktion $f:X\to Y$ heißt punktiert genau dann, wenn sie stetig ist und $f(x_{0})=y_{0}$.

Definition (Top*):

Die Kategorie Top* ist die Kategorie der punktierten Räume und der punktierten Funktionen.