Punktmengentopologie/ Stetige Funktionen

Definition (Stetigkeit):

Es seien $X,Y$ zwei topologische Räume. Eine Funktion $f:X\to Y$ heißt stetig genau dann, wenn für jedes offene $V\subseteq Y$ die Menge $f^{-1}(V)$ offen ist.

Satz (Eine Funktion ist stetig genau dann, wenn sie stetig in jedem Punkt ist):

Beweis: Zunächst sei $f$ stetig in jedem Punkt, und $V\subseteq Y$ sei offen. Sei $x\in f^{-1}(V)$. Dann ist $V$ eine Umgebung von $y=f(x)$, also gibt es eine offene Umgebung $U_{x}$ von $x$ sodass $f(U_{x})\subseteq V$ ist (um das Auswahlaxiom zu umgehen, können wir an dieser Stelle zur Vereinigung aller solchen $U_{x}$ übergehen). Dann ist

$f^{-1}(V)=\bigcup _{x\in f^{-1}(V)}U_{x}$

offen.

Umgekehrt sei $f$ stetig. Es sei $x\in X$ und $V$ eine Umgebung von $y$. Dann ist $f^{-1}(V)$ eine Umgebung von $x$, und $f(f^{-1}(V))\subseteq V$, sodass $f(\phi _{x})$ nach $\phi _{y}$ konvergiert, wobei $\phi _{y}$ resp. $\phi _{x}$ für den Nachbarschaftsfilter von $y$ bzw. $x$ steht. $\Box$