Punktmengentopologie/ Topologien und Nachbarschaftssysteme

Satz (Nachbarschaftssysteme erzeugen eine Topologie):

Es sei $X$ eine Menge, und für jeden Punkt $x\in X$ sei $\phi _{x}$ ein Filter. Dann gibt es eine Topologie ${\mathcal {T}}$, die wie folgt definiert ist:

Eine Menge $U\subseteq X$ ist offen genau dann, wenn für alle $x\in U$ ein $N\in \phi _{x}$ existiert, sodass $N\subseteq U$.

Beweis: Zunächst bemerken wir, dass $\emptyset \in {\mathcal {T}}$, da es ja keine Punkte in $\emptyset$ gibt. Ferner ist auch $X\in {\mathcal {T}}$, denn falls $x\in X$ ist, so ist ja $X\in \phi _{x}$, weil $\phi _{x}$ ein Filter ist. Dies ist ja als Nachbarschaft hinreichend. Es seien nun $U,V\in {\mathcal {T}}$. Wir müssen zeigen, dass $U\cap V$ auch offen ist. Sei dazu $x\in U\cap V$. Weil $x\in U$ ist, gibt es eine Nachbarschaft $N$ von $x$, die ganz in $U$ liegt. Ähnlich gibt es auch eine Nachbarschaft $M$ von $x$, die ganz in $V$ liegt. Weil $\phi _{x}$ ein Filter ist, ist nun $M\cap N$ ein Element von $\phi _{x}$, das natürlich in $U\cap V$ liegt. Es sei schließlich $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ eine Familie von Mengen in ${\mathcal {T}}$. Dann ist auch

$\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\in {\mathcal {T}}$,

denn falls $x$ darin ein Punkt ist, so ist ja $x\in U_{\alpha _{0}}$ für ein gewisses $\alpha _{0}\in A$, und dann gibt es ein $N\in \phi _{x}$ mit

$N\subseteq U_{\alpha _{0}}\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$. $\Box$

Satz (Nachbarschaftssysteme mit einer Kompatibilitätsbedingung erzeugen eine Topologie, deren Nachbarschaftssysteme sie selbst sind):

Es sei $X$ eine Menge, und für jedes $x\in X$ sei $\phi _{x}$ ein Filter, den wir hier als Nachbarschaftssystem verstehen. Angenommen, die folgende Kompatibilitätsbedingung gilt:

• Es sei $x\in X$. Sei $N\in \phi _{x}$. Dann gibt es eine Teilmenge $M\subseteq N$, sodass für jedes $y\in M$ $N\in \phi _{y}$ ist (d. h. $N$ ist eine Nachbarschaft aller Punkte von $M$).

Dann ist die von den Filtern $\phi _{x}$ definierte Topologie derart, dass die durch sie erzeugten Nachbarschaftssysteme gerade die Filter $\phi _{x}$ sind.

Beweis: Sei $x\in X$. Falls zunächst $N$ eine Nachbarschaft von $x$ im Sinne der von den $\phi _{x}$ erzeugten Topologie ist, so ist $N\in \phi _{x}$, denn es gibt ja eine offene Menge $U\subseteq X$, die in $M$ enthalten ist und $x$ enthält, und das heißt, dass ein $M\in \phi _{x}$ existiert mit $M\subset U$, weshalb $U\in \phi _{x}$ gilt.

Es sei umgekehrt $N$ in $\phi _{x}$. Wir setzen $W$ die Vereinigung aller $x$ enthaltenden und in $N$ enthaltenen Mengen, wo $N$ zugleich eine Nachbarschaft all ihrer Punkte ist; diese Vereinigung ist gemäß der Annahme mindestens über eine Menge. Wir behaupten, dass $W$ in der durch die Filter $\phi _{x}$ definierten Topologie enthalten ist. Es sei $y\in W$. Gemäß der Behauptung gibt es ja eine Nachbarschaft $M$ von $y$, sodass $N$ eine Nachbarschaft von allen Punkten aus $M$ ist, da ja $N\in \phi _{y}$ ist. Dann ist aber $N\cup W\subseteq W$ aufgrund der Definition von $W$, und daher $N\subseteq W$. $\Box$

Übungsaufgaben

1. Für jedes $x\in \mathbb {R} ^{n}$ sei $\phi _{x}$ der Filter, der von allen Bällen $B_{r}(x)$ ($r>0$) erzeugt wird. Zeigen Sie, dass es genau eine Topologie auf $\mathbb {R} ^{n}$ gibt, deren Nachbarschaftssysteme durch die $\phi _{x}$ gegeben sind; dies ist die sog. Euklidische Topologie auf $\mathbb {R} ^{n}$.