Primaxgleiche Arithmoide

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Definition (Primaxgleiches Arithmoid):

Ein primaxgleiches Arithmoid ist ein Arithmoid , sodass jedes Primideal als Schnittmenge maximaler Ideale darstellbar ist; d. h. es existiert für jedes eine Menge maximaler Ideale, sodass

gilt.

Satz (Charakterisierungen von primaxgleiches Arithmoid):

Es sei ein Arithmoid. Dann sind äquivalent:

  1. ist primaxgleich.
  2. Für jedes Ideal ist das Jacobsonideal gleich dem Radikal.
  3. Für jedes Primideal verschwindet das Niljacobsonideal des Arithmoids .
  4. Für jedes Ideal stimmen das Niljacobsonideal und das Nilradikal des Ringes überein.

Der Beweis sei eine Übungsaufgabe, die allerdings vergleichsweise wenig Mühen erfordert.

Satz (Erster Satz von Goldman‒Krull):

Es sei ein primaxgleiches Arithmoid. Dann ist auch ein primaxgleich.

Beweis: Wir führen einen Beweis durch Widerspruch. Angenommen, sei nicht primaxgleich. Dann gäbe es ein Primideal , welches nicht die Schnittmenge der es enthaltenden maximalen Ideale ist. Ferner gibt es einen offensichtlichen Dipfeil

,

wobei wie üblich , was natürlich ein Ideal von ist, wie man leicht nachrechnet. Da ein Ideal ist, gilt . Es sei das Bild von in . Nach dem Korrespondenzsatz für Quotientenarithmoide genügt es, zu beweisen, dass in die Schnittmenge der es enthaltenden maximalen Ideale ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann gäbe es ein Polynom minimalen Grades , welches

erfüllt. Dies folgt daraus, dass wohlgeordnet ist.

Als erstes stellen wir fest, dass ist. Sonst wäre nämlich eine Konstante, und dann gäbe es ein maximales Ideal sodass , und daher ist ein maximales Primideal, welches nicht enthält, aber sehr wohl .

Falls , so machen wir wie folgt: Wir wählen anstatt von einfach das Urbild via der Inklusion eines maximalen Ideales in , was nämlich kein Divoid sein kann; in der Tat ist dann der Gradformel zufolge auch ein Divoid, und die Invertibilität aller Primelemente aus dem Euklidarithmoid würde ausgeschrieben bedeuten, dass durch all diese teilbar ist, was aber absurd ist, da nach dem Satz von Euklid in einem Euklidarithmoid immer unendlich viele Primelemente existieren.

Es sei nun minimalen Grades; der Leitkoeffizient von heiße , der von dagegen . Falls , so teilen wir mit Rest durch , sodass mit . Dann ist aber ein Polynom, das so ist, wie oben gewählt wurde, was im Widerspruch zur Minimalität des Grades von steht. Also gilt tatsächlich . Nun teilen wir durch mit Rest und erhalten mit , daher entweder und wie eben und doch weil prim ist, oder , wegen ein Widerspruch zur Minimalität von .

Satz (Zweiter Satz von Goldman–Krull):

Es sei ein primaxgleiches Arithmoid und ein maximales Ideal. Dann ist maximal in .

Beweis: Wir müssen also beweisen, dass ein Divoid ist. Durch Ersetzen von durch und wegen des Korrespondenzsatzes für Quotientenarithmoide können wir uns auf den Fall beschränken; wir müssen dann beweisen, dass ein Körper ist.

Es ist also maximal in , und seine Schnittmenge mit ist das Nullideal. Daher gibt es ein Polynom des Grades in , welches minimalen Grad hat und nicht null ist.

Um einen Widerspruch herbeizuführen, nehmen wir nun an, dass nicht invertierbar ist. Es ist jedoch nach Voraussetzung ein Divoid, sodass eine Inklusion besteht, die wir hier ebenfalls minimalen Grades wählen.

Jetzt ist aber der Leitkoeffizient von (nennen wir ihn ) in ebenfalls nicht invertierbar, denn sonst könnte man durch mit Rest teilen und erhielte eine Inklusion derselben Form, aber geringeren Grades. Nach Voraussetzung gibt es also ein maximales Ideal von , welches nicht enthält. Division eines beliebigen Elementes von mit Rest durch beweist nun, dass das Bild von in ein Hauptideal ist, welches vom Bild von erzeugt wird. Daher ist dem Korrespondenzsatz zufolge gar nicht maximal gewesen, und dies ist der gewünschte Widerspruch.

Satz (Klassifikation der maximalen Ideale in einem Polynomring über einen Gleichradikalring):

Es sei ein Gleichradikalring und maximal. Dann hat die Gestalt , wobei ein maximales Ideal in ist und ein irreduzibles Polynom in .

Beweis: Nach dem zweiten Satz von Goldman–Krull ist maximal. Somit ist ein Hauptidealring, in welchem das Bild von von einem irreduziblen Polynom erzeugt wird, wobei ist. Dann ist , denn falls , so für ein , also .

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

  1. Beweise die obige Charakterisierung der Gleichradikalringe.
  2. Beweise: Falls ein Ring ist, sodass für jedes maximale Ideal die Schnittmenge maximal in ist, so ist ein Gleichradikalring. Hinweis: Für ein Primideal gehe zum Restklassenring über. Wenn ist, wähle in ein maximales Ideal , welches enthält. Warum kann das Element nicht enthalten?