Gleichradikalringe

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Definition (Gleichradikalring):

Ein Gleichradikalring ist ein kommutativer Ring , sodass für jedes Ideal das (gewöhnliche) Radikal und das Jacobsonradikal übereinstimmen.

Satz (Charakterisierungen von Gleichradikalringen):

Es sei ein kommutativer Ring. Dann sind äquivalent:

  1. ist ein Gleichradikalring.
  2. Jedes Primideal aus ist die Schnittmenge derjenigen maximalen Ideale, die es enthalten.
  3. Für jedes Primideal verschwindet das Jacobsonradikal des Ringes .
  4. Für jedes Ideal stimmen das Jacobsonradikal und das Nilradikal des Ringes überein.

Der Beweis sei eine Übungsaufgabe.

Satz (Goldman‒Krull):

Es sei ein Gleichradikalring. Dann ist auch ein Gleichradikalring.

Beweis: Es sei ein Primideal und ein Polynom minimalen Grades, sodass zwar in allen maximalen Idealen von enthalten ist, welche enthalten, nicht aber in selbst. Wir wollen daraus einen Widerspruch herbeiführen. Es sei . Zunächst bemerken wir, dass es in kein Polynom des Grades gibt, welches denselben Leitkoeffizienten wie hat. Gäbe es nämlich ein solches Polynom , so wäre ein Polynom mit denselben Eigenschaften wie , aber mit einem geringeren Grad wie (oder gar im Falle ), was im Widerspruch zur Wahl von steht. Wir definieren das Ideal

.

Wir wählen nun ein Primideal , welches enthält, nicht jedoch den Leitkoeffizienten von (z. B. eines, welches disjunkt mit der multiplikativen Menge ist, wobei den Leitkoeffizienten von bezeichne; diese Menge ist disjunkt mit , da es sonst ein mit geben würde, da andernfalls für ein kleineren Grades wäre als mit denselben Eigenschaften wie , sodass weil prim ist, also ). Nach der Voraussetzung dürfen wir ein maximales Ideal wählen, welches enthält, aber ebenfalls nicht den Leitkoeffizienten von . Dem Korrespondenzsatz zufolge korrespondieren die maximalen Ideale von , welche enthalten, via der kanonischen Projektion

mit den maximalen Idealen von . Allerdings ist ein Körper und somit ein Hauptidealring. Außerdem geht in ein Polynom über, welches nach der Wahl von nicht null ist, da der Leitkoeffizient nicht verschwindet. Das Ideal dagegen wird von einem Polynom erzeugt, wobei . Wir wollen nun beweisen, dass die multiplikative Menge mit disjunkt ist. Wenn dies der Fall ist, so liefert nämlich das Urbild (via ) eines nichttrivialen Primideals, welches enthält und disjunkt von ist, den gewünschten Widerspruch.

Falls nun , so erhalten wir durch Division mit Rest im Ring eine Gleichung mit . Es muss jedoch sein; in der Tat wäre sonst ein Polynom, das kleineren Grades ist als , aber dieselben Eigenschaften aufweist. Falls nun in , so gilt (da ja in invertierbar ist, da es sich um einen Körper handelt), dass , wobei aber wegen gilt , weshalb und somit konstant ist; ist aber sicherlich für kein in enthalten. Daher können wir annehmen. Nun können wir aber mit Rest durch teilen, und erhalten als Rest ein Element , welches entweder in verschwindet (in welchem Falle ), oder aber in nicht verschwindet, in ist und kleineren Grades als ; durch Wiederholung dieses Vorganges erhalten wir ein Polynom , welches Grad hat und dessen Bild erzeugt, da der Rest irgendwann gleich null sein muss. Indem wir ggf. durch ersetzen, können wir daher annehmen. Der Leitkoeffizient von ist somit in . Es gilt natürlich, dass . Da wir durch Übergang auf davon ausgehen können, dass ein Integritätsbereich ist, würde bedeuten, dass , was absurd ist.

Satz (Goldman):

Es sei ein Gleichradikalring und ein maximales Ideal. Dann ist maximal in .

Beweis: ist ein Primideal, denn falls für , dann auch , und ist prim. Gemäß der Voraussetzung ist die Schnittmenge aller maximalen Ideale , welche enthalten. Deshalb erhalten wir einen Monomorphismus

.

Das Bild von ist aber nicht in allen Ringen der ganze Ring, denn sonst wäre es auch in der ganze Ring. Da aber maximal ist, gilt für ein solches , dass und damit .

Satz (Klassifikation der maximalen Ideale in einem Polynomring über einen Gleichradikalring):

Es sei ein Gleichradikalring und maximal. Dann hat die Gestalt , wobei ein maximales Ideal in ist und ein irreduzibles Polynom in .

Beweis: Nach dem Satz von Goldman ist maximal. Somit ist ein Hauptidealring, in welchem das Bild von von einem irreduziblen Polynom erzeugt wird, wobei ist. Dann ist .

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

  1. Beweise die obige Charakterisierung der Gleichradikalringe.
  2. Beweise: Falls ein Ring ist, sodass für jedes maximale Ideal die Schnittmenge maximal in ist, so ist ein Gleichradikalring. Hinweis: Für ein Primideal gehe zum Restklassenring über. Wenn ist, wähle in ein maximales Ideal , welches enthält. Warum kann das Element nicht enthalten?