Unterringe und Ringerweiterungen

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Ganze Ringerweiterungen

Definition (Ganzes Element):

Es sei eine Ringerweiterung. Dann heißt ein Element ganz über genau dann, wenn es ein monisches Polynom gibt mit

Definition (Ganze Ringerweiterung):

Es sei eine Ringerweiterung. Dann heißt diese Ringerweiterung ganz genau dann, wenn jedes Element aus ganz über ist.

Satz (Quotienten ganzer Ringerweiterungen sind wieder ganz):

Es sei eine Ringerweiterung, und es sei ein Ideal. Wenn wir definieren, so ist die Ringerweiterung ganz.

Beweis: Es sei beliebig. Da ist, gibt es eine Gleichung

().

Indem wir diese Gleichung in den Quotienten hineinprojizieren, erhalten wir eine Gleichung

().

Satz (Der kleine Ring einer Ringerweiterung ist ein Schiefkörper genau dann, wenn der große einer ist):

Es sei eine ganze Ringerweiterung. Dann ist genau dann ein Schiefkörper, wenn einer ist.

Beweis: Angenommen, ist ein Schiefkörper. Es sei . Indem wir die Gleichung () mit multiplizieren, erhalten wir , woraus wir das Inverse von ablesen können. Falls nun ein Schiefkörper ist, so sei ; dann ist , aber indem wir eine Gleichung der Form für ein monisches Polynom mit multiplizieren, erhalten wir eine Darstellung von als Summe von Elementen aus ; es ist daher natürlich selbst in enthalten.

Satz (Primidealerweiterungssatz):

Es sei eine ganze Ringerweiterung, und es sei ein Primideal. Dann gibt es mindestens ein Primideal sodass .

Beweis: Die Menge ist eine multiplikative Teilmenge sowohl in als auch in , sodass wir ihre Elemente als Nenner einführen können. Wir erhalten ein kommutatives Diagramm

Nennereinführung bei einer Ringerweiterung.svg.

Um das gewünschte Primideal zu erhalten, reicht es, das Urbild in eines beliebigen maximalen Ideales aus zu wählen, denn die Ringerweiterung (wobei der kanonische Monomorphismus ist) ist ganz, weshalb der Unterring genau dann ein Schiefkörper ist, wenn es der Oberring ist, sodass genau dann maximal ist, wenn es ist; es gibt in jedoch genau ein maximales Ideal, und dieses ist . Da das Diagramm kommutativ ist, ist genau .