Unterringe und Ringerweiterungen

Ganze Ringerweiterungen

Definition (Ganzes Element):

Es sei $R\subset S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt ein Element $s\in S$ ganz über $R$ genau dann, wenn es ein monisches Polynom $p\in R[x]$ gibt mit $p(s)=0.$

Definition (Ganze Ringerweiterung):

Es sei $R\subset S$ eine Ringerweiterung. Dann heißt diese Ringerweiterung ganz genau dann, wenn jedes Element aus $S$ ganz über $R$ ist.

Satz (Quotienten ganzer Ringerweiterungen sind wieder ganz):

Es sei $R\subset S$ eine Ringerweiterung, und es sei $I\le S$ ein Ideal. Wenn wir $I_0:=R\cap I$ definieren, so ist die Ringerweiterung $R/I_0\subset S/I$ ganz.

Beweis: Es sei $\bar{s}\in S/I$ beliebig. Da $s\in S$ ist, gibt es eine Gleichung

$0=s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_0$ ($a_0,\dots ,a_{n-1}\in R$).

Indem wir diese Gleichung in den Quotienten $S/I$ hineinprojizieren, erhalten wir eine Gleichung

$0={\bar{s}}^n+{\bar{a}}_{n-1}{\bar{s}}^{n-1}+\cdots +{\bar{a}}_0$ (${\bar{a}}_0,\dots ,{\bar{a}}_{n-1}\in R/I_0$). $◻$

Satz (Der kleine Ring einer Ringerweiterung ist ein Schiefkörper genau dann, wenn der große einer ist):

Es sei $R\subset S$ eine ganze Ringerweiterung. Dann ist $R$ genau dann ein Schiefkörper, wenn $S$ einer ist.

Beweis: Angenommen, $R$ ist ein Schiefkörper. Es sei $s\in S$. Indem wir die Gleichung $0=s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_0$ ($a_0,\dots ,a_{n-1}\in R$) mit $a_0^{-1}$ multiplizieren, erhalten wir $s(s^{n-1}+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_1)a_0^{-1}=-1$, woraus wir das Inverse von $s$ ablesen können. Falls nun $S$ ein Schiefkörper ist, so sei $r\in R$; dann ist $r^{-1}\in S$, aber indem wir eine Gleichung der Form $p(r)=0$ für ein monisches Polynom $p\in R[x]$ mit $r^{n-1}$ multiplizieren, erhalten wir eine Darstellung von $r^{-1}$ als Summe von Elementen aus $R$; es ist daher natürlich selbst in $R$ enthalten. $◻$

Satz (Primidealerweiterungssatz):

Es sei $R\subset S$ eine ganze Ringerweiterung, und es sei $p\le R$ ein Primideal. Dann gibt es mindestens ein Primideal $q\le S$ sodass $q\cap R=p$.

Beweis: Die Menge $T:=R\setminus p$ ist eine multiplikative Teilmenge sowohl in $R$ als auch in $S$, sodass wir ihre Elemente als Nenner einführen können. Wir erhalten ein kommutatives Diagramm

.

Um das gewünschte Primideal $q$ zu erhalten, reicht es, das Urbild in $S$ eines beliebigen maximalen Ideales $m$ aus $S_T$ zu wählen, denn die Ringerweiterung $\iota (R_T)/m_0\subset S_T/m$ (wobei $\iota :R_T\to S_T$ der kanonische Monomorphismus ist) ist ganz, weshalb der Unterring genau dann ein Schiefkörper ist, wenn es der Oberring ist, sodass $m_0$ genau dann maximal ist, wenn $m$ es ist; es gibt in $R_T$ jedoch genau ein maximales Ideal, und dieses ist $p{R}_T$. Da das Diagramm kommutativ ist, ist $q\cap R$ genau $p$. $◻$