# Overview: Convergence Criteria – Serlo

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Decision tree for convergence and divergence of series

We already introduced a series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ as the sequence of the partial sums ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$. A sequence is convergent, if the sequence of partial sums is convergent . Else the series is divergent. Assuming the series is convergent we define the value of the infinite sum of the series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ to be equal to the limit of the sequence.

In this chapter we will study different criteria or tests to determine whether a series is convergent or not. In further chapters, we will study each of this criteria more attentively and give a proof for each.

## Criteria for convergence

We will give a proof for the following propositions in the respective main article for the criterion. Let a series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ be given. There is an arsenal of criteria to examine convergence:

### Absolute convergence

Main article: Absolute Konvergenz einer Reihe

Definition (Absolute convergence)

A series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ is called absolutely convergent, if ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|}$ is convergent.

Theorem (Absolute convergence)

If a series is absolutely convergent, it is also convergent. So if ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|}$ is convergent, then ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ is also convergent.

Example (Absolute convergence)

The series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k^{2}}}}$ is convergent, because it is absolutely convergent. The series of absolute values ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|(-1)^{k}{\frac {1}{k^{2}}}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}$ is convergent.

### Cauchy criterion

Main article: Cauchy-Kriterium für Reihen

Theorem (Cauchy criterion)

For all ${\displaystyle \varepsilon >0}$ let there be ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, so that ${\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon }$ for all ${\displaystyle n\geq m\geq N}$. Then the series is convergent.

Example (Cauchy criterion)

The geometric series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{k}}$ is convergent according to the Cauchy criterion, because:

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sum _{k=m}^{n}\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}\right|&=\left|\left({\frac {1}{10}}\right)^{m}+\left({\frac {1}{10}}\right)^{m+1}+\left({\frac {1}{10}}\right)^{m+2}+\ldots +\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}\right|\\[0.3em]&=\left|\left({\frac {1}{10}}\right)^{m}\right|\cdot \left|1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{10^{n-m}}}\right|\\[0.3em]&={\frac {1}{10^{m}}}\cdot \left|1+0{,}1+0{,}01+0{,}001+{\frac {1}{10^{n-m}}}\right|\\[0.3em]&={\frac {1}{10^{m}}}\cdot 1{,}\underbrace {111111\ldots 1} _{(n-m){\text{-mal}}}\\[0.3em]&\leq {\frac {1}{10^{m}}}\cdot 2\end{aligned}}}

Let ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Since ${\displaystyle \displaystyle \lim _{m\to \infty }{\tfrac {2}{10^{m}}}=0}$ there is ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ with ${\displaystyle \displaystyle {\tfrac {2}{10^{m}}}<\varepsilon }$ for all ${\displaystyle m\geq N}$. For this ${\displaystyle N}$ it follows from the above that ${\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{k}\right|<\varepsilon }$ for all ${\displaystyle n\geq m\geq N}$. So we see that the series is convergent according to the Cauchy criterion.

### Leibniz criterion

Main article: Leibniz-Kriterium

Theorem (Leibniz criterion)

If the series has the form ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}b_{k}}$ and if the sequence ${\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ non-negative monotonic decreasing sequence null sequence , then the series is convergent.

Example (Leibniz criterion)

The convergence of the series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{2k-1}}}$ follows from the Leibniz criterion, because the sequence ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2k-1}})_{k\in \mathbb {N} }}$ is a non-negative monotonic decreasing null sequence.

### Majorant criterion

Main article: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

Theorem (Majorant criterion)

Let ${\displaystyle |a_{k}|\leq b_{k}}$ for all ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. If ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ is convergent, then the series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ is absolutely convergent.

Example (Majorant criterion)

We have ${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{k}+k^{3}+7}}\leq {\tfrac {1}{2^{k}}}}$. Since the series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}}$ is convergent (with limit 1), the series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}+k^{3}+7}}}$ is also (absolutely) convergent.

### Ratio test

Main article: Quotientenkriterium

Theorem (Ratio test)

Let ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ be a series with ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$ for all ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. If there exists a ${\displaystyle \theta <1}$ and a ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, so that ${\displaystyle \left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\leq \theta }$ for all ${\displaystyle k\geq N}$, then the series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ is absolutely convergent. This is particularly the case, if ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1}$ or ${\displaystyle \limsup _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1}$.

Example (Ratio test)

The series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}$ is convergent, since we find that:

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|&=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(k+1)!}}{\frac {1}{k!}}}\right|\\[0.5em]&=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!}{(k+1)!}}\\[0.5em]&=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k+1}}\\[0.5em]&=0<1\end{aligned}}}

### Root test

Main article: Wurzelkriterium

Theorem (Root test)

If ${\displaystyle \limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}<1}$, then the series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ is absolutely convergent. In particular this is also true if ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}<1}$.

Example (Root test)

The series ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }3^{-k}}$ is absolutely convergent, because we have:

${\displaystyle \limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}=\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|3^{-k}|}}=\limsup _{k\to \infty }3^{-1}=\lim _{k\to \infty }3^{-1}={\frac {1}{3}}<1}$

### Cauchy condensation test

Main article: Cauchysches Verdichtungskriterium

Theorem (Cauchy condensation test)

Let ${\displaystyle (a_{k})_{k\geq 1}}$ be a monotonically decreasing, real valued null sequence with ${\displaystyle a_{k}\geq 0}$ for all ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. If ${\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }2^{l}a_{2^{l}}}$ is convergent, so is ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$).

Example (Cauchy condensation test)

The series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}$ is convergent according to Cauchy condensation test, because the series ${\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }2^{l}\left({\frac {1}{2^{l}}}\right)^{2}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{l}}}=\sum _{l=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{l}}$ is convergent. Recall that ${\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }a^{l}}$ is convergent if ${\displaystyle |a|<1}$ (here we have ${\displaystyle a={\frac {1}{2}}<1}$).

### Integral test

Theorem (Integral test)

Let ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$, i.e. ${\displaystyle a_{k}=f(k)}$ for a function ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} }$. If ${\displaystyle f}$ is a monotonically decreasing function with non-negative values on the domain ${\displaystyle [1,\infty )}$ and if ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x<\infty }$, then the series is absolutely convergent.

Example (Integral test)

The series ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}$ is absolutely convergent. We define ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} }$ with ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x^{2}}}}$. This function is a non-negative monotonically decreasing function, and now we can use the Integral test:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x&=\lim _{a\to \infty }\int _{1}^{a}{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\[0.5em]&=\lim _{a\to \infty }\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{a}\\[0.5em]&=\lim _{a\to \infty }\left(-{\frac {1}{a}}+1\right)\\[0.5em]&=1<\infty \end{aligned}}}

Hint

We will give a proof that the Integral test works, after we have introduced Integrals. But for completeness purposes we listed it here. Please note that you can use this test only if it was proved in your lecture!

## Kriterien für Divergenz

Gegeben sei eine Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$. Es gibt folgende Kriterien, um die Divergenz dieser Reihe festzustellen:

### Trivialkriterium

Main article: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium

Theorem (Trivialkriterium)

Wenn ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ divergiert oder ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}\neq 0}$ ist, dann ist die Reihe divergent.

Example (Trivialkriterium)

Die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}}$ divergiert, denn es ist

${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}=\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}\geq 1}$

Damit kann ${\displaystyle a_{k}=\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}}$ keine Nullfolge sein, was beweist, dass ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}}$ divergiert.

### Cauchy-Kriterium

Main article: Cauchy-Kriterium für Reihen

Theorem (Cauchy-Kriterium)

Gibt es ein ${\displaystyle \epsilon >0}$, so dass es für alle ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ natürliche Zahlen ${\displaystyle {\tilde {n}}\geq {\tilde {m}}\geq N}$ mit ${\displaystyle \left|\sum _{k={\tilde {m}}}^{\tilde {n}}a_{k}\right|\geq \epsilon }$ gibt, dann divergiert die Reihe.

Example (Cauchy-Kriterium)

Die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k}}}$ divergiert nach dem Cauchy-Kriterium. Setzen wir nämlich ${\displaystyle \epsilon ={\tfrac {1}{4}}}$, so können für jedes ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ die Zahlen ${\displaystyle {\tilde {m}}=N+1}$ und ${\displaystyle {\tilde {n}}=2N}$ gewählt werden. Es ist dann

{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sum _{k={\tilde {m}}}^{\tilde {n}}{\frac {1}{k}}\right|&=\left|\sum _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{k}}\right|\\[0.5em]&={\frac {1}{N+1}}+{\frac {1}{N+2}}+\ldots +{\frac {1}{2N}}\\[0.5em]&\geq {\frac {1}{2N}}+{\frac {1}{2N}}+\ldots +{\frac {1}{2N}}\\[0.5em]&=N\cdot {\frac {1}{2N}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}\\&\geq \epsilon \end{aligned}}}

### Minorantenkriterium

Main article: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

Theorem (Minorantenkriterium)

Sei ${\displaystyle a_{k}\geq c_{k}\geq 0}$ für fast alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Wenn ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}}$ divergiert, dann divergiert auch die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$.

Example (Minorantenkriterium)

Die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k}}}}$ divergiert. Es ist nämlich ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {k}}}\geq {\tfrac {1}{k}}}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, und die harmonische Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$ divergiert. In einer Gleichung aufgeschrieben:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k}}}\geq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=\infty }$

### Quotientenkriterium

Main article: Quotientenkriterium

Theorem (Quotientenkriterium für Divergenz)

Wenn ${\displaystyle \left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\geq 1}$ für fast alle ${\displaystyle k\geq N}$ ist (also für alle ${\displaystyle k\geq K}$ für ein festes ${\displaystyle K\in \mathbb {N} }$), dann ist die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ divergent. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|>1}$ ist.

Example (Quotientenkriterium für Divergenz)

Die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k!}{2^{k}}}}$ divergiert. Es ist nämlich:

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|&=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {(k+1)!/2^{k+1}}{k!/2^{k}}}\right|\\[0.5em]&=\lim _{k\to \infty }{\frac {(k+1)!\cdot 2^{k}}{k!\cdot 2^{k+1}}}\\[0.5em]&=\lim _{k\to \infty }{\frac {k+1}{2}}\\[0.5em]&=\infty >1\end{aligned}}}

### Wurzelkriterium

Main article: Wurzelkriterium

Theorem (Wurzelkriterium für Divergenz)

Wenn ${\displaystyle \limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}>1}$ ist, dann divergiert die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ absolut. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}>1}$ ist.

Example (Wurzelkriterium für Divergenz)

Die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{k}}{k}}}$ divergiert, denn es ist

{\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}&=\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{\left|{\frac {2^{k}}{k}}\right|}}\\[0.5em]&=\limsup _{k\to \infty }{\frac {\sqrt[{k}]{2^{k}}}{\sqrt[{k}]{k}}}\\[0.5em]&=\limsup _{k\to \infty }{\frac {2}{\sqrt[{k}]{k}}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{k}}=1\right.}\\[0.5em]&=2>1\end{aligned}}}

### Verdichtungskriterium

Main article: Cauchysches Verdichtungskriterium

Theorem (Verdichtungskriterium)

Sei ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ eine monoton fallende reelle Nullfolge mit ${\displaystyle a_{k}\geq 0}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Falls ${\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }2^{l}a_{2^{l}}}$ divergiert, so divergiert auch ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$.

Example (Verdichtungskriterium)

Die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$ divergiert nach dem Verdichtungskriterium, da die Reihe ${\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }2^{l}{\frac {1}{2^{l}}}=\sum _{l=0}^{\infty }1}$ divergiert.

### Integral-Kriterium

Theorem (Integral-Kriterium)

Sei ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$, also ${\displaystyle a_{k}=f(k)}$ für eine Funktion ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} }$. Wenn ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle [1,\infty )}$ eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten ist und wenn ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\infty }$ ist, dann divergiert die Reihe.

Example (Integral-Kriterium)

Die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$ divergiert, denn ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ist eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten, und es ist

{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x&=\lim _{a\to \infty }\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\[0.5em]&=\lim _{a\to \infty }\left[\ln(x)\right]_{1}^{a}\\[0.5em]&=\lim _{a\to \infty }\left(\ln(a)-\ln(1)\right)\\&=\lim _{a\to \infty }\ln(a)\\&=\infty \end{aligned}}}

Hint

Das Integralkriterium werden wir erst beweisen, nachdem wir auch das Integral definiert haben. Der Vollständigkeit halber ist es bereits hier aufgeführt. Beachte, dass du das Integralkriterium erst dann verwenden kannst, wenn es in deiner Vorlesung bewiesen wurde!

## Anfangswert des Laufindex ist für Konvergenzverhalten egal

Im Abschnitt zum Cauchy-Kriterium haben wir festgestellt, dass es für die Frage der Konvergenz egal ist, ab welchem Anfangswert der Laufindex startet. Wenn wir also eine Reihe der Form ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ haben, dann können wir auch die Reihen ${\displaystyle \sum _{k=10}^{\infty }a_{k}}$ oder ${\displaystyle \sum _{k=4223}^{\infty }a_{k}}$ betrachten. Alle diese Reihen haben dasselbe Konvergenzverhalten. Merke dir also:

„Für die Konvergenz einer Reihe können endlich viele Summanden weggelassen oder verändert werden, das Konvergenzverhalten wird dabei nicht geändert.“

Durch das Ändern von endlich vielen Summanden änderst du zwar den Wert der Reihe, das Konvergenzverhalten bleibt aber erhalten. Dieser Umstand ist nützlich, und du solltest dies immer im Hinterkopf haben. Es kann insbesondere in solchen Fällen hilfreich sein, in denen du dich nur für das Konvergenzverhalten einer Reihe interessierst, nicht aber für ihren Wert.

Example

Sei ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ definiert durch

${\displaystyle a_{k}={\begin{cases}10^{k}&;k\leq 1000\\{\frac {1}{2^{k}}}&;k>1000\end{cases}}}$

Fast alle Glieder der Folge ${\displaystyle \left(a_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ sind identisch mit der Folge ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2^{k}}}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ (es gibt nur endlich viele Ausnahmen). Da nun die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}}$ konvergiert, konvergiert auch die Reihe ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$, jedoch ist der Grenzwert beider Reihen unterschiedlich.