Overview: Convergence Criteria – Serlo

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Decision tree for convergence and divergence of series

We already introduced a series as the sequence of the partial sums . A sequence is convergent, if the sequence of partial sums is convergent . Else the series is divergent. Assuming the series is convergent we define the value of the infinite sum of the series to be equal to the limit of the sequence.

In this chapter we will study different criteria or tests to determine whether a series is convergent or not. In further chapters, we will study each of this criteria more attentively and give a proof for each.

Criteria for convergence[Bearbeiten]

We will give a proof for the following propositions in the respective main article for the criterion. Let a series be given. There is an arsenal of criteria to examine convergence:

Absolute convergence[Bearbeiten]

Main article: Absolute Konvergenz einer Reihe

Definition (Absolute convergence)

A series is called absolutely convergent, if is convergent.

Theorem (Absolute convergence)

If a series is absolutely convergent, it is also convergent. So if is convergent, then is also convergent.

Example (Absolute convergence)

The series is convergent, because it is absolutely convergent. The series of absolute values is convergent.

Cauchy criterion[Bearbeiten]

Main article: Cauchy-Kriterium für Reihen

Theorem (Cauchy criterion)

For all let there be , so that for all . Then the series is convergent.

Example (Cauchy criterion)

The geometric series is convergent according to the Cauchy criterion, because:

Let . Since there is with for all . For this it follows from the above that for all . So we see that the series is convergent according to the Cauchy criterion.

Leibniz criterion[Bearbeiten]

Main article: Leibniz-Kriterium

Theorem (Leibniz criterion)

If the series has the form and if the sequence non-negative monotonic decreasing sequence null sequence , then the series is convergent.

Example (Leibniz criterion)

The convergence of the series follows from the Leibniz criterion, because the sequence is a non-negative monotonic decreasing null sequence.

Majorant criterion[Bearbeiten]

Main article: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

Theorem (Majorant criterion)

Let for all . If is convergent, then the series is absolutely convergent.

Example (Majorant criterion)

We have . Since the series is convergent (with limit 1), the series is also (absolutely) convergent.

Ratio test[Bearbeiten]

Main article: Quotientenkriterium

Theorem (Ratio test)

Let be a series with for all . If there exists a and a , so that for all , then the series is absolutely convergent. This is particularly the case, if or .

Example (Ratio test)

The series is convergent, since we find that:

Root test[Bearbeiten]

Main article: Wurzelkriterium

Theorem (Root test)

If , then the series is absolutely convergent. In particular this is also true if .

Example (Root test)

The series is absolutely convergent, because we have:

Cauchy condensation test[Bearbeiten]

Main article: Cauchysches Verdichtungskriterium

Theorem (Cauchy condensation test)

Let be a monotonically decreasing, real valued null sequence with for all . If is convergent, so is ).

Example (Cauchy condensation test)

The series is convergent according to Cauchy condensation test, because the series is convergent. Recall that is convergent if (here we have ).

Integral test[Bearbeiten]

Theorem (Integral test)

Let , i.e. for a function . If is a monotonically decreasing function with non-negative values on the domain and if , then the series is absolutely convergent.

Example (Integral test)

The series is absolutely convergent. We define with . This function is a non-negative monotonically decreasing function, and now we can use the Integral test:

Hint

We will give a proof that the Integral test works, after we have introduced Integrals. But for completeness purposes we listed it here. Please note that you can use this test only if it was proved in your lecture!

Kriterien für Divergenz[Bearbeiten]

Gegeben sei eine Reihe . Es gibt folgende Kriterien, um die Divergenz dieser Reihe festzustellen:

Trivialkriterium[Bearbeiten]

Main article: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium

Theorem (Trivialkriterium)

Wenn divergiert oder ist, dann ist die Reihe divergent.

Example (Trivialkriterium)

Die Reihe divergiert, denn es ist

Damit kann keine Nullfolge sein, was beweist, dass divergiert.

Cauchy-Kriterium[Bearbeiten]

Main article: Cauchy-Kriterium für Reihen

Theorem (Cauchy-Kriterium)

Gibt es ein , so dass es für alle natürliche Zahlen mit gibt, dann divergiert die Reihe.

Example (Cauchy-Kriterium)

Die Reihe divergiert nach dem Cauchy-Kriterium. Setzen wir nämlich , so können für jedes die Zahlen und gewählt werden. Es ist dann

Minorantenkriterium[Bearbeiten]

Main article: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

Theorem (Minorantenkriterium)

Sei für fast alle . Wenn divergiert, dann divergiert auch die Reihe .

Example (Minorantenkriterium)

Die Reihe divergiert. Es ist nämlich für alle , und die harmonische Reihe divergiert. In einer Gleichung aufgeschrieben:

Quotientenkriterium[Bearbeiten]

Main article: Quotientenkriterium

Theorem (Quotientenkriterium für Divergenz)

Wenn für fast alle ist (also für alle für ein festes ), dann ist die Reihe divergent. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn ist.

Example (Quotientenkriterium für Divergenz)

Die Reihe divergiert. Es ist nämlich:

Wurzelkriterium[Bearbeiten]

Main article: Wurzelkriterium

Theorem (Wurzelkriterium für Divergenz)

Wenn ist, dann divergiert die Reihe absolut. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn ist.

Example (Wurzelkriterium für Divergenz)

Die Reihe divergiert, denn es ist

Verdichtungskriterium[Bearbeiten]

Main article: Cauchysches Verdichtungskriterium

Theorem (Verdichtungskriterium)

Sei eine monoton fallende reelle Nullfolge mit für alle . Falls divergiert, so divergiert auch .

Example (Verdichtungskriterium)

Die Reihe divergiert nach dem Verdichtungskriterium, da die Reihe divergiert.

Integral-Kriterium[Bearbeiten]

Theorem (Integral-Kriterium)

Sei , also für eine Funktion . Wenn auf eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten ist und wenn ist, dann divergiert die Reihe.

Example (Integral-Kriterium)

Die Reihe divergiert, denn mit ist eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten, und es ist

Hint

Das Integralkriterium werden wir erst beweisen, nachdem wir auch das Integral definiert haben. Der Vollständigkeit halber ist es bereits hier aufgeführt. Beachte, dass du das Integralkriterium erst dann verwenden kannst, wenn es in deiner Vorlesung bewiesen wurde!

Anfangswert des Laufindex ist für Konvergenzverhalten egal[Bearbeiten]

Im Abschnitt zum Cauchy-Kriterium haben wir festgestellt, dass es für die Frage der Konvergenz egal ist, ab welchem Anfangswert der Laufindex startet. Wenn wir also eine Reihe der Form haben, dann können wir auch die Reihen oder betrachten. Alle diese Reihen haben dasselbe Konvergenzverhalten. Merke dir also:

„Für die Konvergenz einer Reihe können endlich viele Summanden weggelassen oder verändert werden, das Konvergenzverhalten wird dabei nicht geändert.“

Durch das Ändern von endlich vielen Summanden änderst du zwar den Wert der Reihe, das Konvergenzverhalten bleibt aber erhalten. Dieser Umstand ist nützlich, und du solltest dies immer im Hinterkopf haben. Es kann insbesondere in solchen Fällen hilfreich sein, in denen du dich nur für das Konvergenzverhalten einer Reihe interessierst, nicht aber für ihren Wert.

Example

Sei definiert durch

Fast alle Glieder der Folge sind identisch mit der Folge (es gibt nur endlich viele Ausnahmen). Da nun die Reihe konvergiert, konvergiert auch die Reihe , jedoch ist der Grenzwert beider Reihen unterschiedlich.