Spezielle Relativitätstheorie: Teil II

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Anwendung der Lorentz-Transformationen[Bearbeiten]

Wir können uns mit den Lorentz-Transformationen vertraut machen und sie zugleich erproben, indem wir sie auf die früher ausgeführten Gedankenexperimente anwenden.


Anschauliche Animationen:

Hyperbolische Rotation als Illustration einer Lorentz-Transformation
Lorentz-Transformation zwischen zwei Weltlinien

Durchrechnung des ersten Gedankenexperiments[Bearbeiten]

Wir greifen dazu nochmals auf die Abb. 5 zurück:

SiPe SRT 006.PNG


Abb. 13: Die beiden Bezugssysteme zur Zeit t = 1 µs

Die Zeit im System S ist t = 1 µs, das System S' ist um 100 m nach rechts verschoben, und der Punkt A hat die Koordinate x(A) = 300 m. Der Abstand O'A beträgt für den Beobachter in S 200 m. Welche Koordinate hat dieser Punkt zu dieser Zeit im System S' ?

Aus der Gleichung (A) ergibt sich mit v = 100 m/µs und v/c = 1/3:



Die Strecke O'A ist also im System S' etwas länger als für den Beobachter in S.

Wir ermitteln nun die Zeit t’ (A), die eine Uhr des Systems S' im Punkt A zur Zeit t = 1 µs anzeigt:



Dividiert man die oben berechnete Strecke O'A = 212 m durch diese Zeitspanne, ergibt sich für die Lichtgeschwindigkeit im System S' der (richtige) Wert 300 m/µs. Die Geschwindigkeit des Lichtes ist also in beiden Systemen gleich.

 

 

Durchrechnung des zweiten Gedankenexperiments[Bearbeiten]

Wir vergegenwärtigen uns die Situation: In den Punkten A und B, die im System S die Koordinaten 300 m bzw. –300 m haben, schlagen »gleichzeitig« zwei Blitze ein. Wir wissen inzwischen, dass »gleichzeitig« keine allgemein gültige Eigenschaft bezeichnet; wir müssen uns daher entscheiden, für welchen Beobachter – d. h. in welchem System – die Blitzeinschläge gleichzeitig sein sollen. Wir entscheiden uns für das System S. Für einen Beobachter in S also schlagen die beiden Blitze gleichzeitig zur Zeit t = 0 ein.

SiPe SRT 020.PNG


Abb. 14: Zwei Blitzeinschläge, die im System S gleichzeitig sind

Mit der Gleichung (C) berechnen wir die Zeiten, zu denen im System S' die Blitze einschlagen. Zunächst für den Blitz in A' : Mit t = 0 und x = 300 m ergibt sich:




Der Einschlag hat also vor der Zeit t' = 0 stattgefunden. Analog findet man:

Für den Beobachter in S' hat also der Blitz in B' 0,354 µs nach der Zeit t' = 0 eingeschlagen und somit 2·0,354 µs = 0,708 µs später als der Blitz in A' .

Um uns mit den Lorentz-Transformationen und ihren Konsequenzen noch besser vertraut zu machen, berechnen wir die Koordinaten, welche die Punkte A' und B' im System S' haben. Aus Gleichung (A) ergibt sich:




Die Strecken O’A’ und O’B’ sind also im System S' länger, als sie es für einen Beobachter im System S sind.

Dieses Ergebnis lässt sich folgendermaßen verallgemeinern:

Ein Körper der Länge l' ist für einen relativ dazu bewegten Beobachter in der Bewegungsrichtung verkürzt und hat für ihn die Länge:



Aus der Gleichberechtigung der beiden Systeme folgt, dass dasselbe auch umgekehrt gilt – was natürlich auch durch Rechnung bestätigt werden kann: Für einen Beobachter in S' ist also:




Diese beiden Gleichungen scheinen einander zu widersprechen, und sie können auch nicht algebraisch auseinander hergeleitet werden. Aus der oberen Gleichung folgt durch Auflösung nach l' nämlich



Tatsächlich aber widersprechen sie einander nicht, da sie – wie ausdrücklich vermerkt – unter unterschiedlichen Voraussetzungen gelten: Die eine gilt für einen Beobachter in S, die andere für einen Beobachter in S' . Allgemeiner ausgedrückt: Jede der beiden Gleichungen gilt für den relativ zur betrachteten Strecke bewegten Beobachter. Insofern ist der Sachverhalt formal-logisch nicht anstößig. Dennoch bleibt die Tatsache erstaunlich, und es bedarf einer Erklärung, dass ein Beobachter in S' einen anscheinend so unstrittigen, objektiven Sachverhalt wie die Länge eines Körpers anders beurteilt als ein Beobachter in S, oder anders ausgedrückt, dass die Länge eines Körpers davon abhängt, ob sie von einem relativ zum Körper ruhenden oder von einem relativ dazu bewegten Beobachter gemessen wird. Natürlich werden wir uns mit diesem Sachverhalt, den man die »Relativität der Länge« nennt, noch beschäftigen müssen. Zunächst aber wollen wir noch einige weitere Untersuchungen mit den Lorentz-Transformationen machen.

 

Uhrenvergleich[Bearbeiten]

Uns ist bereits früher aufgefallen, dass Zeitangaben und Zeitintervalle in den beiden Bezugssystemen nicht übereinstimmen. Das soll an einem einfachen, übersichtlichen Beispiel untersucht werden.

1. Wir betrachten zur Zeit t' = 0 die Uhr, die im Nullpunkt O' des Systems S' steht. Die ihr gegenüberstehende Uhr im Nullpunkt O des Systems S zeigt dann (verabredungsgemäß) ebenfalls gerade t = 0 an. Nach 1 Mikrosekunde (gemessen im System S, also zur Zeit t = 1 µs) hat die erste Uhr sich um 100 m weiterbewegt und befindet sich an einer Stelle, die im System S die Koordinate x = 100 m hat.

SiPe SRT 021.PNG


Abb. 15: Eine im System S' ruhende Uhr von S aus betrachtet


Daraus ergibt sich mit Gleichung (C) die Zeit, welche diese Uhr dann anzeigt:



Die betrachtete Uhr geht also gegenüber den Uhren im System S nach. Dieser Effekt der Verlangsamung einer relativ zum Beobachter bewegten Uhr wurde in mehreren verschiedenartigen Versuchen mit hoher Präzision bestätigt. Er wird jedoch noch genauer zu untersuchen sein.


2. Stellen wir uns nun einen analogen Versuch vor, bei dem wir die beiden Systeme vertauschen: Wir beobachten die Uhr im Nullpunkt O des Systems S vom System S' aus.

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Abb. 16: Eine im System S ruhende Uhr von S' aus betrachtet

Das Ergebnis ist wegen der Gleichberechtigung der Systeme voraussagbar, aber wir wollen es dennoch nachrechnen.

Zur Zeit t' = 1 µs befindet sich die Uhr am Ort mit der Koordinate x' = - 100 m und zeigt die Zeit



an. Also geht diese Uhr gegenüber den Uhren im System S' nach.

Eine – etwas voreilige – Formulierung der beiden Befunde könnte lauten: Es gehen die Uhren im System S' langsamer als die Uhren im System S und gleichzeitig gehen die Uhren im System S langsamer als die Uhren im System S' . Natürlich ist diese Aussage in sich widersprüchlich und daher nicht haltbar.

Wir müssen vielmehr annehmen, dass keine der Uhren ihren Gang verändert, sondern dass die Uhren lediglich für einen relativ dazu bewegten Beobachter langsamer gehen. (So wie oben die Körper auch nicht objektiv kürzer geworden sind, sondern lediglich für einen relativ zu ihnen bewegten Beobachter.) Wie sollte sich auch am Gang der Uhren z. B. im System S objektiv dadurch etwas verändern, dass ich mir ein zweites (oder drittes ...) Bezugssystem dazuphantasiere! Es kann nur an der Relativbewegung des Beobachters liegen, dass für diesen die Uhren im anderen System nachgehen, und zwar – wegen der Gleichberechtigung der beiden Systeme – in jeweils gleicher Weise. Damit ist der Sachverhalt zwar logisch widerspruchsfrei beschrieben, aber es ist bei weitem noch nicht erklärt, wie es dazu kommt und wie man diesen höchst merkwürdigen und beunruhigenden Vorgang verstehen kann. Was ist da in den Systemen oder zwischen ihnen vorgegangen, dass es keine objektive Gleichzeitigkeit mehr gibt, dass die Körper im jeweils anderen System schrumpfen und die Uhren langsamer gehen, und beides in völlig symmetrischer Weise? Sicher, logisch ist das zulässig, und wenn überhaupt Veränderungen eintreten, dann müssen sie wegen der Gleichberechtigung der Systeme sogar symmetrisch sein, aber wie kommt es dazu?

Kein Zweifel, Raum und Zeit scheinen ins Wanken zu geraten, wenn man sich mit großer Geschwindigkeit bewegt. Und an den überkommenen Vorstellungen von Raum und Zeit stimmt etwas Entscheidendes nicht. Aber was?

Stellen wir diese drängenden Fragen nochmals zurück und betrachten wir die Veränderungen einmal systematisch. Schauen wir uns die Uhren und die Koordinatensysteme in den beiden Systemen einmal genauer an.

 

Vergleich der Ortskoordinaten und der Uhren in beiden Systemen[Bearbeiten]

Um das Beispiel etwas drastischer zu machen, wähle ich diesmal eine noch höhere Relativgeschwindigkeit, nämlich v = 180 m/µs. Dann ist:



Wir berechnen nun mit Hilfe der Gleichungen (A) und (C) für t = 0 eine kleine Tabelle. Die Wahl gerade dieser beiden Gleichungen und der Zeit t – das ist die im System S geltende Zeit – weist darauf hin, dass wir die beiden Systeme vom System S aus betrachten.

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Es ist leicht zu erkennen, wie die Tabelle weitergehen würde.

Die Werte der Tabelle sollen nun in zwei Bezugssystemen dargestellt werden. Bei den vereinfacht dargestellten Uhren soll eine Zeigerumdrehung 6 µs entsprechen.

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Abb. 17: Längenkoordinaten und Zeiten in zwei Bezugssystemen vom System S aus gesehen

Nun soll das Ganze unter sonst gleichen Bedingungen vom System S' aus betrachtet werden. Mit Hilfe der Gleichungen (B) und (D) ergibt sich für die Zeit t' = 0 folgende Tabelle:

SiPe SRT Tabelle 2.PNG



Wie zu erwarten war, entspricht die Tabelle fast genau der oberen. Die veränderten Vorzeichen bei den Zeitangaben beruhen darauf, dass die Relativgeschwindigkeiten der beiden Systeme entgegengesetzt sind: Von S aus gesehen bewegt sich S' nach rechts (oder vorwärts), von S' aus gesehen aber bewegt sich S nach links (oder rückwärts).

Auch diese Ergebnisse werden in zwei Bezugssystemen schematisch dargestellt:

SiPe SRT 024.PNG


Abb. 18: Längenkoordinaten und Zeiten vom System S' aus betrachtet

Trotz dieser höchst merkwürdigen und beunruhigenden, sagen wir ruhig: ungeheuren Konsequenzen des Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit waren Einstein – und nach einiger Zeit zunehmend auch seine Fachkollegen – bereit, an dem Prinzip festzuhalten, eben weil es die Widersprüche früherer Beobachtungen beseitigte. Aber Einstein zog aus der Theorie noch weitere Folgerungen, die das Weltbild der Physik revolutionierten.

 

Anmerkung

Die häufig zu hörende und zu lesende Aussage: »In einem bewegten System gehen die Uhren langsamer« ist sinnlos. Sie ist nämlich ein unvollständiger Vergleichssatz und bedarf einer Ergänzung (langsamer als ...), damit sie Sinn bekommt. So wie der Satz begonnen hat, erwartet man die Ergänzung »langsamer als in einem ruhenden System« oder »langsamer als normal«. Beides aber widerspricht den Grundgedanken der Relativitätstheorie: Es gibt kein ruhendes System und es gibt keine absolute Zeit, keine »Normalzeit«.

Und tatsächlich gehen die Uhren in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System nicht wirklich langsamer – wie sollten sie auch? Sie gehen nur für den relativ zu ihnen bewegten Beobachter langsamer. Der Grund dafür ist, dass der Beobachter die Anzeige seiner Uhr U im Lauf der Zeit nicht mit der Anzeige einer und derselben Uhr U’ im bewegten System vergleicht, sondern mit der Anzeige verschiedener Uhren U’1, U’2, ..., die sich an ihm vorbeibewegen. Und diese Uhren bleiben tatsächlich immer mehr gegenüber seiner eigenen Uhr zurück – aber nicht etwa, weil sie langsamer gingen, sondern weil sie – für den relativ dazu bewegten Beobachter! – von vorn herein nicht synchron gehen. Dieser Effekt wiederum beruht auf der Relativität der Gleichzeitigkeit.

Das Paradebeispiel hierfür ist die für einen Beobachter auf der Erde stark verlängerte Lebensdauer eines µ-Mesons, das sich mit nahezu Lichtgeschwindigkeit durch die Erdatmosphäre bewegt. Für einen relativ zum Meson ruhenden Beobachter ist dessen Lebensdauer selbstverständlich unverändert. Der Beobachter auf der Erde aber misst die Lebensdauer mit zwei verschiedenen, weit voneinander entfernten Uhren, die für den mit dem Meson bewegten Beobachter nicht synchron laufen. (Eine andere Deutung des Effekts ist folgende: Für den relativ zum Meson ruhenden Beobachter ist die in der Atmosphäre zurückgelegte Strecke sehr viel kürzer als für den auf der Erde ruhenden Beobachter. Da aber auch dies auf der Relativität der Gleichzeitigkeit beruht, läuft diese Deutung auf dasselbe hinaus wie die andere.)

Um etwas grundsätzlich anderes dagegen handelt es sich bei dem so genannten »Zwillingsparadoxon« (siehe Teil IV, Kap. 2.5). In einem Bezugssystem, das eine Rundreise gemacht hat und zum Ausgangspunkt zurückgekehrt ist, ist die seit seinem Start vergangene Zeit objektiv und beobachtbar kürzer als die Zeit, die seither im anderen, ruhen gebliebenen System vergangen ist. Hier werden nach der Rückkehr dieselben beiden Uhren verglichen wie beim Start. Dieser Effekt kann daher auch nicht durch die Relativität der Gleichzeitigkeit erklärt werden, sondern nur durch die besondere (pseudoeuklidische) Struktur des vierdimensionalen Raumes.

 

In Memoriam: Die so genannte Relativität der Masse[Bearbeiten]

Ein im System S' ruhender Körper werde unter Einwirkung einer Kraft in Richtung der X' -Achse beschleunigt. Betrachtet man diesen Vorgang vom System S aus und untersucht ihn mathematisch, so findet man, dass für einen Beobachter im System S der Körper eine größere Masse zu haben scheint als für einen Beobachter im System S’ . Mit zunehmender Geschwindigkeit scheint seine Masse für einen Beobachter in S unbeschränkt zu wachsen und würde bei Lichtgeschwindigkeit unendlich groß werden. Außerdem scheint der Körper bei Beschleunigung in Bewegungsrichtung eine andere, und zwar wiederum größere Masse zu haben, als bei Beschleunigung quer zur Bewegungsrichtung. Für diese beiden »scheinbaren Massen« wurden lange Zeit die von H. A. Lorentz geprägten Begriffe »longitudinale Masse« und »transversale Masse« gebraucht. Sie sind durch die Ergebnisse der Speziellen Relativitätstheorie hinfällig geworden und werden kaum mehr benutzt. Dagegen haben die Begriffe »Ruhemasse« und »relativistische Masse« (und einige andere) bis heute überlebt, obgleich sie genau so obsolet sind. Denn in Wirklichkeit ändert sich die Masse des Körpers nicht; sie ist eine dem Körper immanente Eigenschaft, die vom Bezugssystem unabhängig ist - genau so wie die elektrische Ladung eines Elektrons. Was sich für einen Beobachter in S (gegenüber einem solchen in S' ) tatsächlich ändert, ist die kinetische Energie des Körpers, die er infolge seiner Geschwindigkeit für einen Beobachter in S besitzt. Wie Albert Einstein in seiner zweiten Veröffentlichung zur Speziellen Relativitätstheorie gezeigt hat (A. Einstein, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?, Annalen der Physik 18, 1905), vergrößert sich die Trägheit eines Körpers mit seinem Energieinhalt. Dies wirkt sich zwar so aus, als hätte sich seine Masse vergrößert, aber der Massenzuwachs mE ist die Masse seiner Energie E, und zwar gilt



Detaillierte Ausführungen dazu finden sich in [1]



 

Die Trägheit der Energie und der Energiegehalt der Masse[Bearbeiten]

Das oben dargestellte Ergebnis gilt ganz allgemein: Jede Energie besitzt einen bestimmten Größenwert an Masse und jeder Masse entspricht ein bestimmter Größenwert an Energie.

Letztere kann bei chemischen Prozessen und – in höherem Maße – bei Atomkernreaktionen teilweise freigesetzt werden, während gleichzeitig ein entsprechender Teil der dabei beteiligten Masse »verschwindet«. Bei der paarweisen »Zerstrahlung« von Elektronen und Positronen wird sogar die gesamte beteiligte Masse in Strahlungsenergie umgewandelt. Beim entgegengesetzten Prozess, der so genannten Paarerzeugung hingegen werden aus elektromagnetischer Energie materielle Teilchen – je ein Elektron und ein Positron –erzeugt. Bei allen diesen Prozessen wurden die obigen Umrechnungsbeziehungen zwischen Masse und Energie auf das Genaueste bestätigt.

Wir haben hier den oft benutzte Begriff »Äquivalenz von Energie und Masse« absichtlich vermieden, denn er ist irreführend. »Äquivalent« bedeutet »gleichwertig« oder einfach »gleich«. Masse und Energie aber sind nicht gleich, auch nicht gleichwertig. Es sind vielmehr Größen von ganz verschiedenen Dimensionen. Daher sprechen wir besser - wie in der Überschrift – von der Trägheit der Energie und dem Energiegehalt der Masse.

 

Schluss[Bearbeiten]

Damit haben wir die wichtigsten Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie zusammengetragen. Sie sind – bis auf die Erkenntnis der Trägheit der Energie - das, was Einstein bis zum Sommer des Jahres 1905 erarbeitet hatte und schließlich in seinem Aufsatz „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ in den „Annalen der Physik“ veröffentlichte. (Im selben Jahr publizierte Einstein übrigens drei weitere Arbeiten, insgesamt »vier Publikationen über verschiedene Themen, deren jede, wie man heute sagt, nobelpreiswürdig ist.« [C. F. v. Weizsäcker])

Etwa zur selben Zeit wie Einstein war auch ein anderer Forscher zu ähnlichen Ergebnissen gelangt, nämlich der geniale deutsche Mathematiker Hermann Minkowski (1864-1909). Minkowski legte seine Erkenntnisse in der Sitzung der „Königlichen Gesellschaft der Wissenschaft zu Göttingen“ am 21. Dezember 1907 dar. Sie wurden in den „Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen“ aus dem Jahre 1908 veröffentlicht. Außerdem sprach Minkowski auf der Jahresversammlung der „Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte“ im Herbst 1908 über seine Arbeit; der Vortrag wurde in der „Physikalischen Zeitschrift“ 10. Jahrgang, 1909 veröffentlicht. Leider ist Minkowski dabei ein Interpretationsfehler unterlaufen, der nur dadurch zustande kommen und sich erhalten konnte, dass man es seinerzeit in der Physik mit »Größengleichungen« noch nicht so ernst nahm und stattdessen oft mit »Zahlenwertgleichungen« arbeitete. (Auch in der ersten Veröffentlichung Einsteins zur Speziellen Relativitätstheorie finden sich erstaunliche begriffliche Schlampereien, die darauf beruhen. Es erscheint uns heute unglaublich, dass in einer exakten Wissenschaft wie der Physik so etwas jemals möglich war.) So finden sich in den Arbeiten Minkowski (wie Einsteins) Passagen, mit denen heute kein Abiturient mit Leistungskurs Physik durchkäme. Diese Mängel wurden von seinen Nachfolgern bedenkenlos übernommen und haben sich so in der Literatur (und natürlich auch in Webseiten im Internet) unerkannt fortgepflanzt. Die daraus zwangsläufig immer wieder entstehenden Erklärungsnotstände werden dadurch überspielt oder getarnt, dass man »für einen Augenblick die Lichtgeschwindigkeit gleich 1 setzt« oder sogar auf Grimms Märchen vom Rotkäppchen und dem Wolf verweist, in dem auch die Wegstrecke zur Großmutter durch eine Zeitspanne (z. B. eine Stunde) gemessen wird – als wissenschaftliches Argument immerhin beachtlich.

Doch zurück zu Minkowski: Unbestritten bleibt die Tatsache, dass er als erster darüber nachdachte, wie denn die Grundstrukturen der Welt – Raum und Zeit – beschaffen sein müssten, damit in ihr so seltsame Effekte, wie sie die Relativitätstheorie beschreibt, gleichsam das Normale sind. Es war ihm wohl nicht genug, den absoluten euklidischen Raum Newtons und dessen absolute Zeit zu verabschieden, ohne zu fragen, was denn nun an deren Stelle treten würde. Und so ist es sein Verdienst, als erster Mensch den Raum und die Zeit lediglich als Teile eines größeren Ganzen erkannt zu haben: »Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.« (Aus der Einleitung seines Vortrags bei der Naturforscherversammlung im September 1908.) Allerdings stand damals hinter diesem Satz eher eine kühne Vision als eine ausgereifte Konzeption. Diese schufen erst seine Nachfolger, und von ihnen stammt auch der Name Minkowski-Raum für jene visionäre Union von Raum und Zeit (sowie der Begriff Raum-Zeit). Wie widersprüchlich dieser Begriff in sich bereits ist und welcher Trugschluss dahinter steckt, zeige ich im folgenden Teil dieser Abhandlung

Übrigens: Hermann Minkowski starb - noch nicht 45 Jahre alt – im Januar 1909 an den Folgen einer Appendizitis.

Fortsetzung: Spezielle Relativitätstheorie: Teil III

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