Statistik: Ausgewählte Konfidenzintervalle

Konfidenzintervalle für den Durchschnitt einer Grundgesamtheit

Wir gehen von einer unabhängigen Stichprobe $X_{1},\dots ,X_{n}$ aus einer Grundgesamtheit aus. Der Stichprobenmittelwert dieser Zufallsvariablen ist

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,$.

Eine Realisation dieser Stichprobenfunktion bezeichnen wir kleinbuchstabig als ${\bar {x}}$.

Normalverteiltes Merkmal mit bekannter Varianz

Im obigen Beispiel war die Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit bekannt und normalverteilt und die Varianz σ² war bekannt. Man erhält hier das 1-α-Konfidenzintervall für μ, den Durchschnitt des Merkmals in der Grundgesamtheit

$\left[{\bar {x}}-z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};{\bar {x}}+z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]\;.$

Normalverteiltes Merkmal mit unbekannter Varianz

Ist zwar das Merkmal in der Grundgesamtheit normalverteilt, aber die Varianz unbekannt, muss die Varianz des Merkmals durch s² geschätzt werden:

$s^{2}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}\quad$.

Die Schätzung für die Varianz des Mittels X erhalten wir als

${\hat {\sigma }}_{\bar {X}}^{2}={\frac {s^{2}}{n}}\quad$.

Damit ergibt sich das Zufallsintervall

$P\left({\bar {X}}-t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}};n-1){\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}};n-1){\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha \;$.

und es folgt das (1-α)-Konfidenzintervall für den Durchschnitt μ des Merkmals in der Grundgesamtheit

$\left[{\bar {x}}-t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}};n-1){\frac {s}{\sqrt {n}}}\ ;\ {\bar {x}}+t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}};n-1){\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]\;.$

Das Quantil $t(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}};n-1)$ kommt jetzt aus einer t-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden. Die t-Verteilung hat eine ähnliche Form wie die Normalverteilung, ist aber etwas breiter. In der hier betrachteten Art (zentral) ist sie ebenfalls symmetrisch. Da sie verschiedene Freiheitsgrade hat, ist sie nur für ausgewählte Quantile tabelliert. Es gilt beispielsweise

t(0,975;4) = 2,776

und

t(0,025;4) = -2,776.

Merkmal mit unbekannter Verteilung und bekannter Varianz

Ist die Verteilung des Merkmals unbekannt, aber die Varianz σ² bekannt, kann man für EX des Merkmals $X$ das Konfidenzintervall

$\left[{\bar {x}}-z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}};{\bar {x}}+z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right]\;.$

angeben, falls n groß genug ist (Faustregel $n>30$).

Merkmal mit unbekannter Verteilung und unbekannter Varianz

Sind Verteilung und Varianz des Merkmals unbekannt, kann man für $n>50$ das Konfidenzintervall für EX angeben als

$\left[{\bar {x}}-z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {s}{\sqrt {n}}}\ ;\ {\bar {x}}+z(1-{\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}){\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]\;.$

Konfidenzintervalle für den Anteilswert einer dichotomen Grundgesamtheit

Modell mit Zurücklegen

Die Verteilung eines Merkmals einer dichotomen Grundgesamtheit lässt sich durch das Urnenmodell beschreiben. Man möchte den Anteilswert $\theta$, also den Anteil der Kugeln erster Sorte in der Urne bestimmen. Der Anteilswert wird geschätzt durch

$p={\frac {x}{n}}\;,$

worin $x$ der beobachtete Wert der Anzahl $X$ der Kugeln erster Sorte in der Stichprobe ist.

Bei einem Urnenmodell mit Zurücklegen ist $X$ binomialverteilt. Falls $n>{\frac {9}{p\cdot (1-p)}}$ und n > 100 ist, erhält man das $(1-\alpha )$-Konfidenzintervall für $\theta$ näherungsweise als

$\left[p-z(1-{\frac {\alpha }{2}}){\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}\ ;\ p+z(1-{\frac {\alpha }{2}}){\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}\right]$.

Modell ohne Zurücklegen

Bei einem Urnenmodell ohne Zurücklegen ist $X$ hypergeometrisch verteilt. Falls die Bedingungen

• $n>{\tfrac {9}{p(1-p)}}$ ,
• $\!\,n>100$
• $n/N\leq 0{,}05$

erfüllt sind, können wir die Wahrscheinlichkeiten der hypergeometrischen Verteilung näherungsweise mit Hilfe derNormalverteilung berechnen und man erhalten das $(1-\alpha )$-Konfidenzintervall für $\theta$

$\left[\ p-z\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right){\sqrt {\tfrac {p(1-p)}{n}}}{\sqrt {\tfrac {N-n}{N-1}}};p+z\left(1-{\tfrac {\alpha }{2}}\right){\sqrt {\tfrac {p(1-p)}{n}}}{\sqrt {\tfrac {N-n}{N-1}}}\ \right].$

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