Statistik: Mehrdimensionale Zufallsvariablen

Beispiel für mehrdimensionale Zufallsvariablen

Abb. 1: Gemeinsame Wahrscheinlichkeit von Qualitätskontrolle X und Reklamationskosten Y

Abb. 2: Gemeinsame Wahrscheinlichkeit von Qualitätskontrolle X und Reklamationskosten Y

In einer Studie über Total Quality Management (TQM) wurde eine umfangreiche Befragung bei europäischen Produktionsbetrieben durchgeführt. Man erfasste zum einen den Aufwand für die Qualitätskontrolle während der laufenden Produktion in Prozent der Produktionskosten und zum anderen die Aufwendungen für Reklamationen prozentual zum Umsatz.

Wir definieren die folgenden zwei Zufallsvariablen:

• X: Anteilige Kosten der Qualitätskontrolle [%].
• Y: Anteilige Kosten der Reklamationen [%].

Es ergibt sich die nebenstehende gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle (Abb. 1) mit der i-ten Zeile (i = 1, ... , n) und der j-ten Spalte (j = 1, ... , m). Siehe darunter die graphische Darstellung der Tabelle (Abb. 2). Man erkennt, wie bei steigendem Aufwand der Qualitätskontrolle die Ausgaben für die Reklamationen sinken.

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P(X = 5 ∧ Y = 10) = 0,05 werde bezeichnet als f_X,Y(5;10) .

Die spalten- bzw. zeilenweisen Summen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten ergeben die Randwahrscheinlichkeiten oder auch Einzelwahrscheinlichkeiten der Zufallsvariablen X bzw. Y.

Es ergeben sich also für diese beiden Variablen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen

xi	0%	5%	10%
fX(xi)	0,4	0,2	0,4

yj	0%	5%	10%	15%
fY(yj)	0,2	0,2	0,2	0,4

Die Einzelwahrscheinlichkeit berechnet sich als

$P(X=x_{1})=f_{X}(x_{1})=\sum _{j=1}^{m}f_{X,Y}(x_{1};y_{j})\quad ,$

also hier

$P(X=0)=f_{X}(0)=0+0+0{,}1+0{,}3=0{,}4\quad .$

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