Statistik: Test auf Anteilswert

Anteilswert einer dichotomen Grundgesamtheit

Die Verteilung des Merkmals X einer dichotomen Grundgesamtheit lässt sich durch das Urnenmodell beschreiben. Man möchte den Anteilswert θ, also den Anteil der Kugeln erster Sorte in der Urne bestimmen. Der Anteilswert wird geschätzt durch

${\hat {\theta }}=p={\frac {x}{n}}$,

wobei x die Zahl der Kugeln erster Sorte in der Stichprobe ist. Bei einem Urnenmodell mit Zurücklegen ist X binomialverteilt.

Falls

$n>{\frac {9}{\theta \cdot (1-\theta )}}$

können wir die Prüfgröße verwenden

$z={\frac {x\pm 0,5-n\cdot \theta _{0}}{\sqrt {n\cdot \theta \cdot (1-\theta )}}}$

• H₀: θ = θ₀ wird abgelehnt, falls

$z={\frac {x+0,5-n\cdot \theta _{0}}{\sqrt {n\cdot \theta \cdot (1-\theta )}}}<-z(1-\alpha /2)$,

(wenn die Prüfgröße z < 0 ist) oder

$z={\frac {x-0,5-n\cdot \theta _{0}}{\sqrt {n\cdot \theta \cdot (1-\theta )}}}>z(1-\alpha /2)$

(wenn die Prüfgröße z > 0 ist) errechnet wird.

• H₀: θ ≤θ₀ wird abgelehnt, falls

$z>z={\frac {x-0,5-n\cdot \theta _{0}}{\sqrt {n\cdot \theta \cdot (1-\theta )}}}>z(1-\alpha )$

ist.

• H₀: θ ≥ θ₀ wird abgelehnt, falls

$z={\frac {x+0,5-n\cdot \theta _{0}}{\sqrt {n\cdot \theta \cdot (1-\theta )}}}<-z(1-\alpha )$

ist.

Ist n zu klein, kann der Ablehnungsbereich mit Hilfe der F-Verteilung exakt bestimmt werden oder mit dem Prinzip des konservativen Testens festgelegt werden.

↓  Test auf Varianz

↑  Test auf Erwartungswert

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