Statistik: Vergleich zweier Varianzen

Wir haben es mit zwei verschiedenen Grundgesamtheiten zu tun. Wir interessieren uns dafür, ob die Varianzen dieser beiden Grundgesamtheiten gleich sind. Beide Merkmale dieser Grundgesamtheiten sollen normalverteilt sein.

Herleitung der Prüfgröße

Zu prüfen ist also die Hypothese: H₀: σ₁² = σ₂².

Geschätzt werden beide Varianzen wieder mit der Stichprobenvarianz

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$.

Es soll nun daraus eine Prüfgröße konstruiert werden. Wir wissen bereits, dass der Quotient

$Y=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{\sigma ^{2}}}$

χ²-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden ist. Eine Möglichkeit, zwei solche Zufallsvariablen zu verquicken, ist die F-Verteilung. Es ist nämlich der Quotient

$f={\frac {\frac {Y_{1}}{n_{1}-1}}{\frac {Y_{2}}{n_{2}-1}}}={\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n_{1}}(X_{1i}-{\bar {X}}_{1})^{2}}{(n_{1}-1)\sigma _{1}^{2}}}{\frac {\sum _{i=1}^{n_{2}}(X_{2i}-{\bar {X}}_{2})^{2}}{(n_{2}-1)\sigma _{2}^{2}}}}$

F-verteilt mit n₁ - 1 und n₂ - 1 Freiheitsgraden. Wir wollen nun noch unsere Stichprobenvarianzen einpflegen und wir sehen, dass ja in Zähler und Nenner die Stichprobenvarianzen S₁² und S₂² schon dastehen. Also erhalten wir

$f={\frac {\frac {S_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}{\frac {S_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}}={\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}\cdot {\frac {\sigma _{2}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}$

Wir wollen diesen Quotienten nun mit der Nullhypothese in Verbindung bringen. Die Hypothese

$H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}$ lässt sich auch schreiben als $H_{0}:{\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}=1$ und es ist dann der Quotient der Prüfgröße unter H₀

$f={\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}$.

Wenn die Nullhypothese wahr ist, sollte f nicht zu groß sein, aber auch nicht zu klein, weil sonst die Stichprobenvarianzen zu unterschiedlich wären. H₀ wird also nicht abgelehnt, wenn die Stichprobe f in den „mittleren“ Bereich

$[f({\frac {\alpha }{2}};n_{1}-1;n_{2}-1);f(1-{\frac {\alpha }{2}};n_{1}-1;n_{2}-1)]$

fällt, wobei f(p;k₁;k₂) das p-Quantil der F-Verteilung mit k₁ und k₂ Freiheitsgraden ist.

Bereichhypothesen werden entsprechend aufgefasst:

$H_{0}:\sigma _{1}^{2}\leq \sigma _{2}^{2}$ lässt sich auch schreiben als $H_{0}:{\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\leq 1$.

Dieser Test wird abgelehnt, wenn

$f>f(1-{\frac {\alpha }{2}};n_{1}-1;n_{2}-1)$,

wobei sich f wie oben berechnet.

Entsprechend wird $H_{0}:{\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\geq 1$ abgelehnt, wenn

$f<f({\frac {\alpha }{2}};n_{1}-1;n_{2}-1)$.

Beispiel

Bert und Berta haben im Fach Analysis ein Tutorium gehalten. Die Zeit, die die n₁ bzw. n₂ Studierenden für eine typische Klausuraufgabe benötigten, wurde festgehalten:

Tutorium von Bert:  8  3  4  4  10  9  2  9  5
Tutorium von Berta: 6  5  6  7   9  3

Beide Gruppen erzielten eine durchschnittliche Bearbeitungsdauer von 6 min. Ist aber auch die Varianz beider Gruppenleistungen gleich?

Wir wollen also nun bei einem Signifikanzniveau 0,05 die Nullhypothese testen, dass die Varianzen gleich sind.

Der Nichtablehnungsbereich für diesen Test ist

${\begin{array}{ccl}&&[f({\frac {\alpha }{2}};n_{1}-1;n_{2}-1);f(1-{\frac {\alpha }{2}};n_{1}-1;n_{2}-1)]\\&=&[f(0,025;8;5);f(0,975;8;5)]\\&=&[0,21;6,76]\end{array}}$,

wobei sich $f(0,025;8;5)$ als

$f(0,025;8;5)={\frac {1}{f(0,975;5;8)}}={\frac {1}{4,82}}=0,21$

errechnen lässt. Wir erhalten zunächst die Stichprobenvarianzen

${\begin{array}{ccl}s_{1}^{2}&=&{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\\&=&{\overset {\text{ }}{\frac {1}{8}}}((8-6)^{2}+(3-6)^{2}+(4-6)^{2}+..+(5-6)^{2})={\frac {72}{8}}=9\end{array}}$

und analog dazu

$s_{2}^{2}=4$ .

Die Prüfgröße errechnet sich nun als

${\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}={\frac {9}{4}}\cdot 1=2,25$.

Sie fällt in den Nichtablehnungsbereich und man kann die Hypothese nicht ablehnen.

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