Statistische Mechanik/ Exponentialfunktion

Es soll nun gezeigt werden, dass folgende Limesbildung zu einer Exponentialfunktion führt:

$\left(1-{\frac {\mu }{N}}\right)^{N}{\underset {N\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}e^{-\mu }$.

Hierzu schreiben wir zunächst die Folge durch Einführen der Variable $x=-{\frac {\mu }{N}}{\underset {N\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0$etwas um:

$\left(1-{\frac {\mu }{N}}\right)^{N}=\exp \left(N\ln \left(1-{\frac {\mu }{N}}\right)\right)=\exp \left(-\mu \left[-{\frac {N}{\mu }}\ln \left(1-{\frac {\mu }{N}}\right)\right]\right)$ $=\exp \left(-\mu {\frac {\ln \left(1+x\right)}{x}}\right)$.

Der Exponent enthält eine Funktion in Form eines Quotienten, der bei der Grenzwertbildung $x\rightarrow 0$ vom Typ »\frac{0}{0}« ist. Daher dürfen wir darauf die »Regel von Hospital« anwenden, d.h. wir leiten sowohl den Zähler als auch den Nenner der Funktion nach der Variablen x ab und bilden davon den Limes:

${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\ln \left(1+x\right)}{x}}={\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {{\frac {d}{dx}}\ln \left(1+x\right)}{{\frac {d}{dx}}x}}={\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {1}{1+x}}=1$.

Hieraus folgt wiederum die Behauptung:

${\underset {N\rightarrow 0}{\lim }}\left(1-{\frac {\mu }{N}}\right)^{N}=\exp \left(-\mu {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\ln \left(1+x\right)}{x}}\right)=e^{-\mu }$.