In der statistischen Mechanik bedient man sich oft Abzählalgorithmen
aus der Kombinatorik. Dadurch entstehen meist recht unhandliche Ausdrücke
mit Fakultäten. Um diese handhaben zu können, werden Näherungsformeln
benötigt. Eine erste solche Approximation erhält man, indem die Fakultät
z.B. einer (natürlichen) Zahl n zunächst (z.B. zur Basis der Euler'schen
Zahl e) logarithmiert ,
,
und dann für Zahlen die entstandene Summe durch
ein Integral ersetzt wird:
.
.
Wir haben dabei einmal partiell integriert (mit
und ).
Diese Näherung werden wir in den meisten Fällen zu Rate ziehen. Doch
gelegentlich wird eine noch etwas bessere Approximation der Fakultät
benötigt. Hierzu gehen wir von der Darstellung der Fakultät mittels
der Gammafunktion aus:
,
wobei wir wieder einmal partiell integriert (mit
und ) und
vorausgesetzt haben. Für
erhalten wir
.
Wegen dieser Regeln für die Gammafunktion, gilt folgender Zusammenhang
zwischen ihr und der Fakultät:
.
Mit Hilfe der Gammafunktion können wir jetzt die Näherung der Fakultät
verbessern. Hierzu beachten wir, dass sich der Integrand der Gammafunktion
interessanterweise auch wie folgt schreiben lässt:
.
Der Exponent im Integranden, ,
ähnelt dabei bereits der Fakultät in niedrigster Näherung: .
Daher werden wir jetzt den Exponenten
in x um n (per Taylor) entwickeln, wozu wir
und
benötigen:
.
Da offensichtlich und
gilt, haben wir somit den Exponenten des Integranden der Gammafunktion
um sein Maximum herum entwickelt. Somit haben wir aber natürlich auch
den Integranden (d.h. die Exponentialfunktion von )
selbst um sein Maximum entwickelt: Er, d.h. ,
besitzt also (im betrachteten Integrationsbereich) ein ausgeprägtes
Maximum um . Somit gilt näherungsweise:
,
worin wir zuletzt die Substitution
verwendet und zudem ausgenutzt haben, dass die untere Integrationsgrenze
für große n gegen negativ Unendlich geht. Den Wert des letzteren
Integrals, d.h. ,
können wir über folgenden Trick bestimmen:
,
worin wir jetzt Polarkoordinaten einführen werden: ,
, wodurch
gilt, mit und ,
so dass sich für die Jacobi-Determinate ergibt. Daher erhalten wir für :
.
Mittels der Substitution
vereinfacht sich dieses Integral zu:
.
D.h. es gilt: ,
woraus schließlich folgende Näherung für die Gammafunktion bzw. die
Fakultät resultiert:
,
die sich also von der schlechteren Näherung im Wesentlichen nur um
den Faktor unterscheidet, der aber oft gegenüber
dem schnell anwachsenden Term vernachlässigt
werden kann. Die beiden Näherungsformeln für die Fakultät sind als
»Stirling-Formeln« bekannt.
Nicht selten werden Integrale der Form
zu bestimmen sein, wobei wir hier die Substitution
und schließlich die Definition der Gamma-Funktion verwendet haben.
Den Wert dieses Integrals für haben wir bereits
oben ermitteln:
.
Den Wert der Integrale für können wir wieder mit
Hilfe der Rekursionsformel für die Gammafunktion angeben:
und haben somit den Begriff der Fakultät sogar noch ein wenig verallgemeinert.