Stereostatik: Seile und Ketten

Voraussetzungen

• Das Seil (die Kette) kann keine Momente oder Querkräfte übertragen (biegeschlaffes Seil, biegeschlaffe Kette).
• Die Seillänge (Kettenlänge) wird als konstant angenommen (dehnstarres Seil, dehnstarre Kette).
• Als Schnittkräfte treten nur Zugkräfte auf.

Die Kettenlinie

Die Kettenlinie (oder Katenoide) ist die geometrische Form, welche eine an ihren beiden Enden abgehängte Kette oder ein entsprechendes Seil unter der Belastung durch ihr Eigengewicht ausbildet. Das Eigengewicht sei dabei gleichmäßig über die Gesamtlänge der Kette (des Seiles) verteilt.

$q={\frac {mg}{L}}$

Gleichgewicht am Kettenelement

$\sum F_{x}=0:\ -H+H+dH=0$	$\Rightarrow$	$H\;=\;{\mbox{konst.}}$	(Gl.1)
$\sum F_{y}=0:\ -V+V+dV-q\ ds=0$	$\Rightarrow$	${\frac {dV}{ds}}=q$	(Gl.2)
$\sum M_{P}=0:\ H\ dy-V\ dx-q\underbrace {\frac {ds\ dx}{2}} _{\ll \rightarrow 0}=0$	$\Rightarrow$	${\frac {dy}{dx}}={\frac {V}{H}}$	(Gl.3)

Die Differentialgleichung der Kettenlinie

$ds^{2}\;=\;dx^{2}+dy^{2}$

${\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$

aus (Gl.2) $ds={\frac {dV}{q}}$

${\frac {1}{q}}{\frac {dV}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$

aus (Gl.3) ${\frac {dV}{dx}}=H{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {q}{H}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$

mit $a={\frac {H}{q}}={\mbox{konst.}}$ (Seilparameter) folgt

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{a}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$ (Gl.4)

Die geometrische Form der Kettenlinie

(Gl.4):

$y''={\frac {1}{a}}{\sqrt {1+y'^{2}}}$

${\frac {dy'}{dx}}={\frac {1}{a}}{\sqrt {1+y'^{2}}}$

Lösung dieser DGL mittels Separation der Variablen:

${\frac {dy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}={\frac {dx}{a}}$

Substitution:

$y'\;=\;\sinh u$

$dy'\;=\;\cosh u\;du$

${\frac {\cosh u}{\sqrt {1+\sinh ^{2}u}}}du={\frac {dx}{a}}$

$\int du=\int {\frac {dx}{a}}$

$u={\frac {x}{a}}+C_{1}$

${\mbox{arsinh}}\;y'={\frac {x}{a}}+C_{1}$

$y'=\sinh \left({\frac {x}{a}}+C_{1}\right)$

Randbedingung:

Die Position des Koordinatensystems kann frei gewählt werden. Zwecks Vereinfachung wird hier das Koordinatensystem so positioniert, dass die horizontale Tangente an die Kettenlinie genau bei der Koordinate (0, a) anliegt.

Es gilt somit $y'\;=\;0$ für $x\;=\;0$

$0=\sinh \left(C_{1}\right)\ \Rightarrow \ C_{1}=0$

$y'=\sinh {\frac {x}{a}}$ (Gl.5)

$\int dy=\int \sinh {\frac {x}{a}}dx$

$y=a\cosh {\frac {x}{a}}+C_{2}$

Randbedingung: $y\;=\;a$ für $x\;=\;0$

$a=a\cdot 1+C_{2}\ \Rightarrow \ C_{2}=0$

$y=a\cosh {\frac {x}{a}}$ (Gl.6)

Die Bogenlänge:

$ds^{2}\;=\;dx^{2}+dy^{2}$

$\left({\frac {ds}{dx}}\right)^{2}\;=\;1+\sinh ^{2}{\frac {x}{a}}=\cosh ^{2}{\frac {x}{a}}$

$\int ds=\int \cosh {\frac {x}{a}}\;dx$

$s=a\sinh {\frac {x}{a}}+C_{3}$

Randbedingung: $s\;=\;0$ für $x\;=\;0\quad \Rightarrow \quad C_{3}=0$

$s=a\sinh {\frac {x}{a}}$ (Gl.7)

Weiters gilt:

$\cosh ^{2}{\frac {x}{a}}-\sinh ^{2}{\frac {x}{a}}=1=\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}$

$y^{2}\;=\;a^{2}+s^{2}$ (Gl.8)

Die Schnittkräfte

aus (Gl.2): $\int dV=\int q\;ds$

$V\;=\;qs+C_{4}$

Randbedingung: für $s\;=\;0$ ist $V=0\quad \Rightarrow \quad C_{4}=0$

$V\;=\;qs$ (Gl.9)

$\sin \varphi ={\frac {V}{S}}={\frac {s}{y}}$

$S\;=\;qy$ (Gl.10)

$H={\sqrt {S^{2}-V^{2}}}=q{\sqrt {y^{2}-s^{2}}}$

$H\;=\;qa={\mbox{konst.}}$ (Gl.11)

Die Traktrix

Die Traktrix (Schleppkurve, Hundekurve) ist die Evolvente der Kettenlinie und die Kettenlinie ist die Evolute der Traktrix.

$\tan \eta ={\frac {dy_{tr}}{dx_{tr}}}={\frac {y_{tr}}{x-x_{tr}}}$

$y_{tr}^{2}+\left(x-x_{tr}\right)^{2}=a^{2}$

${\frac {dy_{tr}}{dx_{tr}}}={\frac {y_{tr}}{\sqrt {a^{2}-y_{tr}^{2}}}}$

$\int dx_{tr}=\int {\frac {\sqrt {a^{2}-y_{tr}^{2}}}{y_{tr}}}dy_{tr}$

$x_{tr}={\sqrt {a^{2}-y_{tr}^{2}}}-a\ln \left|{\frac {a+{\sqrt {a^{2}-y_{tr}^{2}}}}{y_{tr}}}\right|+C_{5}$

Randbedingung: für $x_{tr}\;=\;0$ ist $y_{tr}\;=\;a\quad \Rightarrow \quad C_{5}=0$

$x_{tr}={\sqrt {a^{2}-y_{tr}^{2}}}-a\ln \left|{\frac {a+{\sqrt {a^{2}-y_{tr}^{2}}}}{y_{tr}}}\right|$ (Gl.12)

Das Kettendreieck

Eigentlich sind schon fast alle Formeln für die Kettenlinie bekannt. Ein kleines Problem gibt es noch: Wie soll der Wert für den Seilparameter $a={\frac {H}{q}}$ ermittelt werden?

Die Lösung für a muss mittels zusätzlicher Daten gefunden werden. Nachfolgend wird eine Lösung für die Vorgabe von Seillänge L und den Abständen der Aufhängepunkte, nämlich b und h gezeigt (Ketten- bzw. Seildreieck).

Gegeben sind L, b, h. Gesucht ist der Seilparameter a.

$h=y_{2}-y_{1}=a\left(\cosh {\frac {x_{2}}{a}}-\cosh {\frac {x_{1}}{a}}\right)$

$\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}=\cosh ^{2}{\frac {x_{2}}{a}}+\cosh ^{2}{\frac {x_{1}}{a}}-2\cosh {\frac {x_{2}}{a}}\cosh {\frac {x_{1}}{a}}$

$L=s_{2}-s_{1}=a\left(\sinh {\frac {x_{2}}{a}}-\sinh {\frac {x_{1}}{a}}\right)$

$\left({\frac {L}{a}}\right)^{2}=\sinh ^{2}{\frac {x_{2}}{a}}+\sinh ^{2}{\frac {x_{1}}{a}}-2\sinh {\frac {x_{2}}{a}}\sinh {\frac {x_{1}}{a}}$

$\left({\frac {L}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}=-2+2\left(\cosh {\frac {x_{2}}{a}}\cosh {\frac {x_{1}}{a}}-\sinh {\frac {x_{2}}{a}}\sinh {\frac {x_{1}}{a}}\right)$

Mit Anwendung der Summationsformel $\cosh \left(\alpha \pm \beta \right)=\cosh \alpha \cosh \beta \pm \sinh \alpha \ \sinh \beta$ folgt

$\left({\frac {L}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}=-2+2\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}-{\frac {x_{1}}{a}}\right)=2\left(\cosh {\frac {b}{a}}-1\right)$

Weitere Vereinfachung durch $\cosh 2\alpha \;=\;\cosh ^{2}\alpha +\sinh ^{2}\alpha$ und $2\alpha \;=\;{\frac {b}{a}}$

$\left({\frac {L}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}=2\left(\cosh ^{2}{\frac {b}{2a}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2a}}-1\right)$

$\left({\frac {L}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}=2\left(1+\sinh ^{2}{\frac {b}{2a}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2a}}-1\right)$

$\left({\frac {L}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {h}{a}}\right)^{2}=4\sinh ^{2}{\frac {b}{2a}}$

${\sqrt {L^{2}-h^{2}}}=2a\sinh {\frac {b}{2a}}$ (Gl.13)

oder auch in dieser Form

${\frac {\sqrt {L^{2}-h^{2}}}{b}}=k={\frac {\sinh {\frac {b}{2a}}}{\frac {b}{2a}}}$ (Gl.14)

Lösung dieser transzendenten Gleichung:

$\xi ={\frac {b}{2a}}$

$f(\xi )\;=\;k\xi -\sinh \xi \;=\;0$

Die Bestimmung von $\xi \;$ und somit von a kann

• grafisch
• per Nullstellenberechnung (Newtonsches Näherungsverfahren, o.ä.)
• oder per Näherung durch Reihenentwicklung $\sinh \xi =\xi +{\frac {1}{3!}}\xi ^{3}+{\frac {1}{5!}}\xi ^{5}+\ldots$

erfolgen.

Somit sind alle relevanten Daten für die Kettenlinie aus den bisher hergeleiteten Formeln berechenbar. Sorge bereitet noch, dass die genaue Lage des gegebenen Kettendreiecks auf dieser Kettenlinie nicht bestimmt ist. Relativ einfach lassen sich die Bogenlängen s₁ und s₂ aus den Geometriebeziehungen (siehe Abb. am Anfang dieses Kettendreieck-Abschnittes) ermitteln.

$h=y_{2}-y_{1}={\sqrt {s_{2}^{2}+a^{2}}}-{\sqrt {s_{1}^{2}+a^{2}}}$

$h={\sqrt {(L+s_{1})^{2}+a^{2}}}-{\sqrt {s_{1}^{2}+a^{2}}}$

Nach einigen Umformungsschritten resultiert daraus die quadratische Gleichung

$s_{1}^{2}+s_{1}L+\left({\frac {L^{2}-h^{2}}{4}}-{\frac {a^{2}h^{2}}{L^{2}-h^{2}}}\right)=0$

$s_{1_{1,2}}=-{\frac {L}{2}}\pm {\frac {h}{2}}{\sqrt {1+{\frac {4a^{2}}{L^{2}-h^{2}}}}}$

$s_{1}=-{\frac {L}{2}}+{\frac {h}{2}}{\sqrt {1+{\frac {4a^{2}}{L^{2}-h^{2}}}}}$ (Gl.15)

$s_{2}=L+s_{1}={\frac {L}{2}}+{\frac {h}{2}}{\sqrt {1+{\frac {4a^{2}}{L^{2}-h^{2}}}}}$ (Gl.16)

Mit (Gl.13) und der mathematischen Beziehung $\coth \alpha ={\sqrt {1+{\frac {1}{\sinh ^{2}\alpha }}}}$ wird daraus

$s_{1}=-{\frac {L}{2}}+{\frac {h}{2}}\coth {\frac {b}{2a}}$ (Gl.17)

$s_{2}={\frac {L}{2}}+{\frac {h}{2}}\coth {\frac {b}{2a}}$ (Gl.18)

Der Durchhang

$\tan \gamma ={\frac {h}{b}}$

${\tilde {y}}+f=y_{1}+({\tilde {x}}-x_{1})\tan \gamma$

$y'({\tilde {x}})=\tan \gamma ={\frac {h}{b}}=\sinh {\frac {\tilde {x}}{a}}={\frac {\tilde {s}}{a}}$

${\tilde {x}}=a\;{\mbox{arsinh}}{\frac {\tilde {s}}{a}}=a\;{\mbox{arsinh}}{\frac {h}{b}}$

${\tilde {y}}=a\cosh {\frac {\tilde {x}}{a}}=a\cosh \left({\mbox{arsinh}}{\frac {h}{b}}\right)=a\cosh \left({\mbox{arcosh}}{\sqrt {{\frac {h^{2}}{b^{2}}}+1}}\right)=a{\sqrt {{\frac {h^{2}}{b^{2}}}+1}}$

$f=y_{1}+{\frac {h}{b}}\left(a\;{\mbox{arsinh}}{\frac {h}{b}}-x_{1}\right)-a{\sqrt {{\frac {h^{2}}{b^{2}}}+1}}$ (Gl.19)

Die Seillinie

Auf ein Tragseil wirkt eine vertikale Streckenlast q(x) ein.

Statisches Gleichgewicht:

$\sum F_{x}=0:\ H={\mbox{konst.}}$

$\sum F_{y}=0:\ {\frac {dV}{dx}}=q(x)$

$\sum M_{p}=0:\ Hdy-Vdx-q(x)k\underbrace {dx^{2}} _{\ll \rightarrow 0}=0\quad \Rightarrow {\frac {V}{H}}={\frac {dy}{dx}}$

${\frac {dV}{dx\cdot H}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

Differentialgleichung der Seillinie:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {q(x)}{H}}$ (Gl.20)

Literatur

Seilstatik generell

• Gross, Hauger, Schnell, Wriggers: Technische Mechanik 4, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden, 3.Aufl., Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1999, ISBN 3-540-65205-1
• Grote, Feldhusen (Hrsg.): Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau, 21. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, 2005, ISBN 3-540-22142-5

Kettenlinie und Traktrix

• Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, 6. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2005, ISBN 3-8171-2006-0
• Husty, Karger, Sachs, Steinhilper: Kinematik und Robotik, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1997, ISBN 3-540-63181-X

Weblinks

• Wikipedia: Katenoide