Stereostatik: Seile und Ketten

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Voraussetzungen[Bearbeiten]

  • Das Seil (die Kette) kann keine Momente oder Querkräfte übertragen (biegeschlaffes Seil, biegeschlaffe Kette).
  • Die Seillänge (Kettenlänge) wird als konstant angenommen (dehnstarres Seil, dehnstarre Kette).
  • Als Schnittkräfte treten nur Zugkräfte auf.

Die Kettenlinie[Bearbeiten]

Die Kettenlinie (oder Katenoide) ist die geometrische Form, welche eine an ihren beiden Enden abgehängte Kette oder ein entsprechendes Seil unter der Belastung durch ihr Eigengewicht ausbildet. Das Eigengewicht sei dabei gleichmäßig über die Gesamtlänge der Kette (des Seiles) verteilt.

Seilstatik1.png

Gleichgewicht am Kettenelement[Bearbeiten]

Seilstatik2.png

(Gl.1)
(Gl.2)
(Gl.3)

Die Differentialgleichung der Kettenlinie[Bearbeiten]

Seilstatik3.png

aus (Gl.2)

aus (Gl.3)

mit (Seilparameter) folgt

(Gl.4)

Die geometrische Form der Kettenlinie[Bearbeiten]

(Gl.4):


Lösung dieser DGL mittels Separation der Variablen:


Substitution:


Randbedingung:

Die Position des Koordinatensystems kann frei gewählt werden. Zwecks Vereinfachung wird hier das Koordinatensystem so positioniert, dass die horizontale Tangente an die Kettenlinie genau bei der Koordinate (0, a) anliegt.

Seilstatik4.png

Es gilt somit für

(Gl.5)



Randbedingung: für

(Gl.6)

Seilstatik5.png


Die Bogenlänge:



Randbedingung: für


(Gl.7)


Weiters gilt:

(Gl.8)

Seilstatik6.png

Die Schnittkräfte[Bearbeiten]

Seilstatik8.png

aus (Gl.2):

Randbedingung: für ist

(Gl.9)


(Gl.10)


(Gl.11)

Die Traktrix[Bearbeiten]

Die Traktrix (Schleppkurve, Hundekurve) ist die Evolvente der Kettenlinie und die Kettenlinie ist die Evolute der Traktrix.

Seilstatik9.png


Randbedingung: für ist


(Gl.12)

Das Kettendreieck[Bearbeiten]

Eigentlich sind schon fast alle Formeln für die Kettenlinie bekannt. Ein kleines Problem gibt es noch: Wie soll der Wert für den Seilparameter ermittelt werden?

Die Lösung für a muss mittels zusätzlicher Daten gefunden werden. Nachfolgend wird eine Lösung für die Vorgabe von Seillänge L und den Abständen der Aufhängepunkte, nämlich b und h gezeigt (Ketten- bzw. Seildreieck).

Gegeben sind L, b, h. Gesucht ist der Seilparameter a.

Seilstatik12.png


Mit Anwendung der Summationsformel folgt

Weitere Vereinfachung durch und

(Gl.13)

oder auch in dieser Form

(Gl.14)


Lösung dieser transzendenten Gleichung:


Die Bestimmung von und somit von a kann

  • grafisch
  • per Nullstellenberechnung (Newtonsches Näherungsverfahren, o.ä.)
  • oder per Näherung durch Reihenentwicklung

erfolgen.


Somit sind alle relevanten Daten für die Kettenlinie aus den bisher hergeleiteten Formeln berechenbar. Sorge bereitet noch, dass die genaue Lage des gegebenen Kettendreiecks auf dieser Kettenlinie nicht bestimmt ist. Relativ einfach lassen sich die Bogenlängen s1 und s2 aus den Geometriebeziehungen (siehe Abb. am Anfang dieses Kettendreieck-Abschnittes) ermitteln.

Nach einigen Umformungsschritten resultiert daraus die quadratische Gleichung


(Gl.15)


(Gl.16)


Mit (Gl.13) und der mathematischen Beziehung wird daraus

(Gl.17)


(Gl.18)

Der Durchhang[Bearbeiten]

Seilstatik15.png

(Gl.19)

Die Seillinie[Bearbeiten]

Auf ein Tragseil wirkt eine vertikale Streckenlast q(x) ein.

Seilstatik19.png


Statisches Gleichgewicht:



Differentialgleichung der Seillinie:

(Gl.20)

Literatur[Bearbeiten]

Seilstatik generell[Bearbeiten]

  • Gross, Hauger, Schnell, Wriggers: Technische Mechanik 4, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden, 3.Aufl., Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1999, ISBN 3-540-65205-1
  • Grote, Feldhusen (Hrsg.): Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau, 21. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, 2005, ISBN 3-540-22142-5

Kettenlinie und Traktrix[Bearbeiten]

  • Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, 6. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2005, ISBN 3-8171-2006-0
  • Husty, Karger, Sachs, Steinhilper: Kinematik und Robotik, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1997, ISBN 3-540-63181-X

Weblinks[Bearbeiten]