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Teilbarkeitsregeln

Aus Wikibooks

Präampel

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Als Kind hatten mich Teilbarkeitsregeln fasziniert. Ausgelöst durch ein Buch "Schlag Nach – Natur", einer populärwissenschaftlichen tabellelarischen Wissenssammlung aus allen Gebieten

Teilbarkeitsregeln durch 2 und 5 sind trivial, durch 3 und 9 schon etwas weniger trivial.

Zur damaligen Zeit, weit vor der Zeit des World Wide Web, durchsuchte ich Bücher nach neuen Regeln. Meist fand man immer wieder die gleichen Regeln und es blieben die alten Lücken bestehen.

Ein großer Jagderfolg war die Teilbarkeitsregel durch 11. Für 7 habe ich in dieser Zeit nie eine Regel gefunden.

Heutzutage ist das wesentlich einfacher, aber häufig bleibt die Frage offen, warum das so ist und wie man darauf kommt.

In diesem kleinen Buch soll es darum gehen:

  • Was sind eigentlich Teilbarkeitsregeln?
  • Wo kommen sie her?
  • Wie kann ich sie selber entwerfen?

Letzteres ist inbesondere interessant, wenn man Zahlen in anderen Darstellungen als der Dezimaldarstellung vorliegen hat.

Es wird hier übrigens nicht auf Quellen (insbesondere nicht in Form von Links) verwiesen, sondern die Regeln mathematisch bewiesen. Quellen können selbst nicht genauer sein als deren Quellen (wenn diese überhaupt angegeben sind), Links können ihren Inhalt zeitlich ändern (z. B. verschwinden) oder der angezeigte Inhalt kann abhängig von Land, Webbrowser und installierten Plugins sein.

Was sind Teilbarkeitsregeln?

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Andere Zahlendarstellungen
So gibt es völlig andere Darstellungen von Zahlen:
  • Ursprünglich wurden wahrscheinlich Strichlisten geführt:
2 = ||,  7 = |||||||,  11 = |||||||||||
  • Fünfergruppierungen und Querstriche verbesserten die Lesbarkeit:
2 = ||,  7 = |||| ||,  11 = |||||||| |,  19 = |||||||||||| ||||
  • Die Römer verfeinerten dies und führten sowohl Kurzsymbole für 5, 10, 50, 100, 500 und 1000 ein und kürzten 4 oder 9 Symbole durch eine Spezialregel. Dies war die Römische Zahlschrift:
2 = II,  7 = VII,  11 = XI,  19 = XIX,  91 = XCI,  2024 = MMXXIV

und auch bei Stellenwertsystemen ist die Zahlenbasis 10 nicht selbstverständlich:

  • In den Bantusprachen wurde ursprünglich zur Basis 5 gerechnet.
  • So führte Gottfried Wilhelm Leibniz ein Stellenwertsystemen zur Basis 2 ein.
  • So rechnen Computern in Stellenwertsystemen zur Basis und . Dezimaldarstellungen werden nur berechnet, wenn sie Zahlen Menschen zu Gesicht bekommen sollen.
Praktische Definition

Teilbarkeitsregeln sind einfache, möglichst im Kopf ausführbare Algorithmen, die bestimmen, ob eine zu testende, natürliche Zahl , vorliegend in der Zifferndarstellung durch eine andere, natürliche Zahl ungleich Null ohne Rest teilbar ist.

Bemerkungen

Im Allgemeinen haben wir es mit Zahlen in normalisierter Dezimaldarstellung, einem Stellenwertsystem zur Basis mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 zu tun. Es hat sich schon jemand die Mühe gemacht, den abstrakten Begriff einer Zahl in die Dezimaldarstellung gebracht zu haben.

Es interessiert weder der Quotient noch der genaue Rest, es interessiert nur, ob der Rest gleich oder ungleich ist. Viele, aber nicht alle Regeln erhalten den Rest.

Die -stellige Zahl liegt üblicherweise in Dezimaldarstellung vor.

Übliche Ziffern bzw. Alphabet
Europäisch 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Arabisch/Indisch ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
Persisch/Urdu ٠ ١ ٢ ٣ ۴ ۵ ۶ ٧ ٨ ٩
Devanagari
Tamil

Dabei stellt die . Stelle mit dem Wert dar.
Eine dreistellige Zahl wird als geschrieben, wobei die Werte der Stellen durch spezielle Zeichen kodiert werden. Man nennt diese Ziffern (oder allgemein Alphabet). Es hat sich in unserem Kulturkreis die Schreibweise die Schreibweise von links/groß-nach-rechts/klein durchgesetzt. Man kennt von jeder Ziffer deren wahre Bedeutung erst, wenn man an das Ende der ganzen Zahl gelangt ist, d. h. die 3 in 3, 38 und 386 stellt unterschiedliche Werte (nämlich 3, 30 und 300) dar.

Idee

Teilbarkeitsregeln durch konstruiert man durch trickreiche, einfache Operationen, die die Zahl verkleinern, die Teilbarkeit durch aber nicht verändern.

Beispiel: Division durch 5

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Regel

Man nehme die letzte Ziffer der Zahl und untersuche diese, ob sie durch 5 teilbar ist, d. h. 0 oder 5 lautet. Ist dies der Fall, ist die Zahl durch 5 teilbar.

Satz

Das Entfernen aller Ziffern bis auf die Einerstelle verändert nicht die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.

Die Zahl mit den Ziffern lautet:

Die letzte Ziffer lautet:

Durch Weglassen aller Ziffern bis auf die letzte verändere ich die Zahl um :

Da eine ganze Zahl ist, da alle Faktoren, damit die Produkte und damit die ganze Summe ganzzahlig ist, ist ein Vielfaches von 10 und der „Fehler“ durch das Entfernen aller Ziffern bis auf die Einerziffer verändert nicht die Teilbarkeit durch 10. Da 5 ein Teiler von 10, verändert sich nicht die Teilbarkeit durch 5. Gleiches gilt für die Teiler 2 und 10.

Welche Kategorien von Teilbarkeitsregeln gibt es?

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An:

Nutzt aus, dass 10n durch teilbar ist. Es brauchen nur die letzten n Ziffern der Zahl betrachtet zu werden.
A1 wird für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10 genutzt.

Bn:

Nutzt aus, dass 10n–1 durch teilbar ist. Es braucht nur die n-er Quersumme betrachtet zu werden.
B1 wird für die Teilbarkeit durch 3 und 9 genutzt.

Cn:

Nutzt aus, dass 10n+1 durch teilbar ist. Es braucht nur die alternierende n-er Quersumme betrachtet zu werden.
C1 wird für die Teilbarkeit durch 11 genutzt.

Dn:

Nutzt aus, dass 10n–1 durch teilbar ist. Es wird rekursiv n  d0 zur der restlichen Zahl dk...d1 addiert.
D2 wird für die Teilbarkeit durch 19 genutzt.

En:

Nutzt aus, dass 10n+1 durch teilbar ist. Es wird rekursiv n  d0 von der restlichen Zahl dk...d1 subtrahiert.
E2 wird für die Teilbarkeit durch 7 und 21 genutzt.

Fp:

Algemein anwendbar, aber meist aufwendig. Benutzt die Folge 10j mod p als Wichtungsfaktoren für die einzelnen Ziffern.
F8 wird für die Teilbarkeit durch 8 genutzt.

Kombinationen:

A1 und B1 kann man für die Teilbarkeit durch 6 kombinieren, indem man auf Teilbarkeit durch 2 und durch 3 testet.
A1° und B1 kann man für die Teilbarkeit durch 60 kombinieren, indem man durch 10 teilt(!) und den Quotienten auf Teilbarkeit durch 6 testet. Letzteres geschieht durch Testen auf Teilbarkeit durch 2 und 3.

Begriffe, erklärt in der Wikipedia

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Werkzeugkasten A: Die letzten n Ziffern prüfen
Teilbarkeit durch 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, ...

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Primfaktorenzerlegung von
n 10n Primfaktoren
1 10 2 · 5
2 100 22 · 52
3 1.000 23 · 53
4 10.000 24 · 54
5 100.000 25 · 55
6 1.000.000 26 · 56
7 10.000.000 27 · 57
8 100.000.000 28 · 58
9 1.000.000.000 29 · 59
10 10.000.000.000 210 · 510
11 100.000.000.000 211 · 511
12 1.000.000.000.000 212 · 512
13 10.000.000.000.000 213 · 513
14 100.000.000.000.000 214 · 514
15 1.000.000.000.000.000 215 · 515
16 10.000.000.000.000.000 216 · 516
17 100.000.000.000.000.000 217 · 517
18 1.000.000.000.000.000.000 218 · 518
19 10.000.000.000.000.000.000 219 · 519
20 100.000.000.000.000.000.000 220 · 520

Die einfachsten und auch für beliebig lange Zahlen einfach zu handhabende Teilbarkeitsregeln gibt es für Teiler , durch die einer der Ausdrücke ohne Rest teilen lässt.

Beispiele:

  •  2: In Zeile 1 ist 101 durch 2 teilbar.
  •  5: In Zeile 1 ist 101 durch 5 teilbar.
  •  8: In Zeile 3 ist 103 durch 8 teilbar.
  • 25: In Zeile 2 ist 102 durch 25 teilbar.

Zum Test der Teilbarkeit brauchen nur die letzten Stellen durch geteilt werden. Die anderen Ziffern haben keinen Einfluss.

... Beweis

Gegebenfalls kann es sinnvoll sein, weitere Regel für den Test dieser letzten Ziffern zu verwenden.

A1: Teilbarkeit durch 2

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A1: Teilbarkeit durch 5

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A1: Teilbarkeit durch 10

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A3: Teilbarkeit durch 8

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A3: Teilbarkeit durch 125

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Nutzbar für

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 1 2 4 5  8 10
16 20
25
32 40
50
64
80
100

Werkzeugkasten B: Die n-er Quersumme
Teilbarkeit durch 3, 9, 11, 13, 17, 33, 37, 39, 41, 51, 53, 73, 79, 99, ...

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Primfaktorenzerlegung von
n 10n − 1 Primfaktoren
1 9 32
2 99 32 · 11
3 999 33 · 37
4 9999 32 · 11 · 101
5 99999 32 · 41 · 271
6 999999 33 · 7 · 11 · 13 · 37
7 107 − 1 32 · 239 · 4.649
8 108 − 1 32 · 11 · 73 · 101 · 137
9 109 − 1 34 · 37 · 333.667
10 1010 − 1 32 · 11 · 41 · 271 · 9.091
11 1011 − 1 32 · 21649 · 513.239
12 1012 − 1 33 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9.901
13 1013 − 1 32 · 53 · 79 · 265.371.653
14 1014 − 1 32 · 11 · 239 · 4649 · 909.091
15 1015 − 1 33 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2.906.161
16 1016 − 1 32 · 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5.882.353
17 1017 − 1 32 · 2071723 · 5.363.222.357
18 1018 − 1 34 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333.667
19 1019 − 1 32 · 1.111.111.111.111.111.111
20 1020 − 1 32 · 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27.961
21 1021 − 1 33 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10.838.689
22 1022 − 1 32 · 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513.239
23 1023 − 1 32 · 11.111.111.111.111.111.111.111
24 1024 − 1 33 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99.990.001
25 1025 − 1 32 · 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182.521.213.001
26 1026 − 1 32 · 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1.058.313.049
27 1027 − 1 35 · 37 · 757 · 333667 · 440.334.654.777.631
28 1028 − 1 32 · 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121.499.449
29 1029 − 1 32 · 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77.843.839.397
30 1030 − 1 33 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2.906.161
31 1031 − 1 32 · 2791 · 6943319 · 57.336.415.063.790.604.359
32 1032 − 1 32 · 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5.882.353
33 1033 − 1 33 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1.344.628.210.313.298.373
34 1034 − 1 32 · 11 · 103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21.993.833.369
35 1035 − 1 32 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102.598.800.232.111.471
36 1036 − 1 34 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999.999.000.001
37 1037 − 1 32 · 2028119 · 247629013 · 2.212.394.296.770.203.368.013

Es wird die n-er Quersumme bestimmt. Dazu wird die Ziffernfolge von hinten in Gruppen zu n Ziffern geteilt und diese werden addiert. Am bekanntesten ist die „normale“ 1-er Quersumme, in der alle Ziffern einzeln addiert werden.

Dazu werden Operationen durchgeführt, die die Zahl verkleinern und dabei die Teilbarkeit durch nicht beeinflussen. Die bekanntesten dürfte die Division durch 2 und durch 3 sein:

  • Bei der Division durch 2 wirft mal alle Dezimalstellen bis auf weg, es entsteht die Zahl .

Dadurch verkleinert man die Zahl um , einem Vielfaches von 10, und zwar um

was die Teilbarkeit der Zahl durch 2 aber nicht beeinflusst, da die Zahl durch 10 und damit durch 2 teilbar ist.
  • Bei der Division durch 3 bildet man die sogenannte Quersumme. Dadurch verkleinert man die Zahl um ein Vielfaches von 9, und zwar um
was die Teilbarkeit der Zahl durch 3 aber nicht beeinflusst, da die Zahl durch 9 und damit durch 3 teilbar ist.


Nutzbar ist diese für alle Teiler , die ein Teiler von sind.

B1: Teilbarkeit durch 3

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B1: Teilbarkeit durch 9

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B2: Teilbarkeit durch 11

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B3: Teilbarkeit durch 37

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Nutzbar für

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3 7 9
11 13 19
21 23 27
33 37 39
41 43
53 57
63 69
73 79
81
99

Werkzeugkasten C: Die alternierende n-er Quersumme
Teilbarkeit durch 7, 11, 13, 17, 19, 29, 73, 77, 89, ...

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Primfaktorenzerlegung von
n 10n + 1 Primfaktoren
1 11 11
2 101 101
3 1001 7 · 11 · 13
4 10001 73 · 137
5 100001 11 · 9.091
6 1000001 101 · 9.901
7 107 + 1 11 · 909.091
8 108 + 1 17 · 5.882.353
9 109 + 1 7 · 11 · 13 · 19 · 52.579
10 1010 + 1 101 · 3541 · 27.961
11 1011 + 1 112 · 23 · 4093 · 8.779
12 1012 + 1 73 · 137 · 99.990.001
13 1013 + 1 11 · 859 · 1.058.313.049
14 1014 + 1 29 · 101 · 281 · 121.499.449
15 1015 + 1 7 · 11 · 13 · 211 · 241 · 2161 · 9.091
16 1016 + 1 353 · 449 · 641 · 1409 · 69.857
17 1017 + 1 11 · 103 · 4013 · 21.993.833.369
18 1018 + 1 101 · 9901 · 999.999.000.001
19 1019 + 1 11 · 909.090.909.090.909.091
20 1020 + 1 73 · 137 · 1676321 · 5.964.848.081
21 1021 + 1 72 · 11 · 13 · 127 · 2689 · 459691 · 909.091
22 1022 + 1 89 · 101 · 1052788969 · 1.056.689.261
23 1023 + 1 11 · 47 · 139 · 2531 · 549.797.184.491.917
24 1024 + 1 17 · 5882353 · 9.999.999.900.000.001
25 1025 + 1 11 · 251 · 5051 · 9091 · 78.875.943.472.201
26 1026 + 1 101 · 521 · 1.900.381.976.777.332.243.781
27 1027 + 1 7 · 11 · 13 · 19 · 52579 · 70541929 · 14.175.966.169
28 1028 + 1 73 · 137 · 7841 · 127.522.001.020.150.503.761
29 1029 + 1 11 · 59 · 154.083.204.930.662.557.781.201.849
30 1030 + 1 61 · 101 · 3541 · 9901 · 27961 · 4188901 · 39.526.741
31 1031 + 1 11 · 909090909090909090909090909091
32 1032 + 1 19841 · 976193 · 6187457 · 834.427.406.578.561
33 1033 + 1 7 · 112 · 13 · 23 · 4093 · 8779 · 599144041 · 183.411.838.171
34 1034 + 1 101 · 28559389 · 1491383821 · 2.324.557.465.671.829
35 1035 + 1 11 · 9091 · 909091 · 4147571 · 265.212.793.249.617.641
36 1036 + 1 73 · 137 · 3169 · 98641 · 99990001 · 3.199.044.596.370.769
37 1037 + 1 11 · 7253 · 422650073734453 · 296557347313446299

Es wird die alternierende n-er Quersumme bestimmt. Dazu wird die Ziffernfolge von hinten in Gruppen zu n Ziffern geteilt und diese werden alternierend addiert und subtrahiert. Wem das zu unübersichtlich ist, kann die Gruppen zu n Ziffern in zwei alternierende Blöcke einteilen, diese addieren und dann die beiden Blöcke voneinander zu subtrahieren. Am bekanntesten ist die „normale“ alternierende 1-er Quersumme, in der alle Ziffern einzeln abwechselnd addiert und subtrahiert werden werden.

Nutzbar ist diese für alle Teiler , die ein Teiler von sind.


C1: Teilbarkeit durch 11

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C2: Teilbarkeit durch 101

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C3: Teilbarkeit durch 13

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Werkzeugkasten D: Rekursives Addieren
Teilbarkeit durch 3, 7, 9, 11, 13, 19, 23, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, ...

[Bearbeiten]
Primfaktorenzerlegung von
n 10n−1 Primfaktoren
1 9 32
2 19 19
3 29 29
4 39 3 · 13
5 49 72
6 59 59
7 69 3 · 23
8 79 79
9 89 89
10 99 32 · 11
11 109 109
12 119 7 · 17
13 129 3 · 43
14 139 139
15 149 149
16 159 3 · 53
17 169 132
18 179 179
19 189 33 · 7
20 199 199
21 209 11 · 19

...

D1: Teilbarkeit durch 9

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D2: Teilbarkeit durch 19

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Werkzeugkasten E: Rekursives Subtrahieren
Teilbarkeit durch 3, 7, 9, 11, 13, 17, 21, 27, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, ...

[Bearbeiten]
Primfaktorenzerlegung von
n 10n+1 Primfaktoren
1 11 11
2 21 3 · 7
3 31 31
4 41 41
5 51 3 · 17
6 61 61
7 71 71
8 81 34
9 91 7 · 13
10 101 101
11 111 3 · 37
12 121 112
13 131 131
14 141 3 · 47
15 151 151
16 161 7 · 23
17 171 32 · 19
18 181 181
19 191 191
20 201 3 · 67

Sofern die zu untersuchende Teilbarkeit keine Faktoren der Zahlenbasis (bei wären das die 2 und die 5) enthält, ist folgendes Verfahren anwendbar. Zu testen ist die Teilbarkeit durch einer der in der rechten Tabelle enthaltenen Zahlen (oder von Teilfaktoren von ):

  • Man subtrahiert von der Zahl und teilt sie anschließend durch 10. D.h. man berechnet .
  • Das Subtrahieren von verändert nicht die Teilbarkeit durch . Das Teilen durch 10 verändert nur die Teilbarkeit durch Teiler, die die Faktoren 2 und 5 enthalten.
  • Was so kompliziert klingt, ist lässt sich einfach durch folgendes Vorgehen realisieren:
    • Man subtrahiert . Dadurch wird die letzte Stelle 0.
    • Man entfernt diese 0 und teilt die Zahl dadurch durch 10.
    • Nun subtrahiert man von der dadurch entstandenen Zahl.
    • Man hat berechnet, das ist
  • Das Vorgehen wiederholt man, bis die Zahl kurz genug ist, um die Teilbarkeit direkt zu erkennen.

E2: Teilbarkeit durch 7

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Für die Teilbarkeit durch kann man dieses Werkzeug mit benutzen. Man modifiziert die Zahl durch Vielfache von 21 (was die Teilbarkeit durch 7 nicht beeinflusst) und teilt sie durch 10 (was sie auch nicht beeinflusst). Der Rest selbst wird durch diese Berechnung selbst beeinflusst, dass Verfahren ist nicht geeignet, den Rest selbst zu bestimmen.

Beispiel:

Die Zahl ist teilbar durch 7 (aber nicht durch 21).

E1: Teilbarkeit durch 11

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Hier benutzt man , d. h. man subtrahiert jeweils die letzte Ziffer von der restlichen Zahl.

Beispiel:

Die Zahl ist teilbar durch 11.

E5: Teilbarkeit durch 17

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Für die Teilbarkeit durch kann man dieses Werkzeug mit benutzen. Man modifiziert die Zahl durch Vielfache von 51 (was die Teilbarkeit durch 17 nicht beeinflusst) und teilt sie durch 10 (was sie auch nicht beeinflusst). Der Rest selbst wird durch diese Berechnung selbst beeinflusst, dass Verfahren ist nicht geeignet, den Rest selbst zu bestimmen.

Beispiel:

Die Zahl ist teilbar durch 17.

Werkzeugkasten F: Wichtungsfaktoren-Folge Fn
Teilbarkeit durch jede natürliche Zahl p

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Module für und für , vorzeichenbehaftet
Teiler
Multiplikator für die Ziffer bei Teiler
d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12 d13 d14 d15 d16 d17 d18 d19 d20 d21 d22 d23 d24 d25 d26 d27 d28
2 1
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 1 2
5 1
6 1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2
7 1 3 2 -1 -3 -2 1 3 2 -1 -3 -2 1 3 2 -1 -3 -2 1 3 2 -1 -3 -2 1 3 2 -1 -3
8 1 2 4
9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 1
11 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
12 1 -2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
13 1 -3 -4 -1 3 4 1 -3 -4 -1 3 4 1 -3 -4 -1 3 4 1 -3 -4 -1 3 4 1 -3 -4 -1 3
14 1 -4 2 6 4 -2 -6 -4 2 6 4 -2 -6 -4 2 6 4 -2 -6 -4 2 6 4 -2 -6 -4 2 6 4
15 1 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5
16 1 -6 4 8
17 1 -7 -2 -3 4 6 -8 5 -1 7 2 3 -4 -6 8 -5 1 -7 -2 -3 4 6 -8 5 -1 7 2 3 -4
18 1 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8
19 1 -9 5 -7 6 3 -8 -4 -2 -1 9 -5 7 -6 -3 8 4 2 1 -9 5 -7 6 3 -8 -4 -2 -1 9
20 1 10
21 1 10 -5 -8 4 -2 1 10 -5 -8 4 -2 1 10 -5 -8 4 -2 1 10 -5 -8 4 -2 1 10 -5 -8 4
22 1 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10 10 -10
23 1 10 8 11 -5 -4 6 -9 2 -3 -7 -1 -10 -8 -11 5 4 -6 9 -2 3 7 1 10 8 11 -5 -4 6
24 1 10 4 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8
25 1 10
26 1 10 -4 12 -10 4 -12 10 -4 12 -10 4 -12 10 -4 12 -10 4 -12 10 -4 12 -10 4 -12 10 -4 12 -10
27 1 10 -8 1 10 -8 1 10 -8 1 10 -8 1 10 -8 1 10 -8 1 10 -8 1 10 -8 1 10 -8 1 10
28 1 10 -12 -8 4 12 8 -4 -12 -8 4 12 8 -4 -12 -8 4 12 8 -4 -12 -8 4 12 8 -4 -12 -8 4
29 1 10 13 14 -5 8 -7 -12 -4 -11 6 2 -9 -3 -1 -10 -13 -14 5 -8 7 12 4 11 -6 -2 9 3 1
30 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
31 1 10 7 8 -13 -6 2 -11 14 -15 5 -12 4 9 -3 1 10 7 8 -13 -6 2 -11 14 -15 5 -12 4 9
32 1 10 4 8 16
33 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
34 1 10 -2 14 4 6 -8 -12 16 -10 2 -14 -4 -6 8 12 -16 10 -2 14 4 6 -8 -12 16 -10 2 -14 -4
35 1 10 -5 -15 -10 5 15 10 -5 -15 -10 5 15 10 -5 -15 -10 5 15 10 -5 -15 -10 5 15 10 -5 -15 -10
36 1 10 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8 -8

Das Verfahren ermöglich Teilbarkeitsregeln durch jede Zahl, führt aber häufig auch zu den aufwendigsten Teilbarkeitsregeln.
Die Zifferndarstellung der Zahl wird dazu Ziffer für Ziffer mit einem Folge von Wichtungsfaktoren multipliziert und dann die Summe daraus berechnet berechnet.
Für eine Wichtungsfaktoren-Folge entspricht dies der 1er-Quersumme, für entspricht dies der alternierenden 1er-Quersumme. Dort muss dann nicht multipliziert werden. Diese Wichtungsfaktoren-Folgen brechen entweder ab oder enden in einer Periode mit maximal der Länge .

: 
: 
: 

Bei längeren Zahlen kann es sinnvoll sein, zuerst die Ziffer-Positionen mit gleichem Wichtungsfaktor zu sammeln, diese einmal mit dem Wichtungsfaktor zu multiplizieren und das zu addieren.

Bestimmung der Wichtungsfaktoren-Folge

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Module für und für , vorzeichenlos
Teiler
Multiplikator für die Ziffer bei Teiler
d0 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12 d13 d14 d15 d16 d17 d18 d19 d20 d21 d22 d23 d24 d25 d26 d27 d28
2 1
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 1 2
5 1
6 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
7 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4
8 1 2 4
9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 1
11 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
12 1 10 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
13 1 10 9 12 3 4 1 10 9 12 3 4 1 10 9 12 3 4 1 10 9 12 3 4 1 10 9 12 3
14 1 10 2 6 4 12 8 10 2 6 4 12 8 10 2 6 4 12 8 10 2 6 4 12 8 10 2 6 4
15 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
16 1 10 4 8
17 1 10 15 14 4 6 9 5 16 7 2 3 13 11 8 12 1 10 15 14 4 6 9 5 16 7 2 3 13
18 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
19 1 10 5 12 6 3 11 15 17 18 9 14 7 13 16 8 4 2 1 10 5 12 6 3 11 15 17 18 9
20 1 10
21 1 10 16 13 4 19 1 10 16 13 4 19 1 10 16 13 4 19 1 10 16 13 4 19 1 10 16 13 4
22 1 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12
23 1 10 8 11 18 19 6 14 2 20 16 22 13 15 12 5 4 17 9 21 3 7 1 10 8 11 18 19 6
24 1 10 4 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16
25 1 10
26 1 10 22 12 16 4 14 10 22 12 16 4 14 10 22 12 16 4 14 10 22 12 16 4 14 10 22 12 16
27 1 10 19 1 10 19 1 10 19 1 10 19 1 10 19 1 10 19 1 10 19 1 10 19 1 10 19 1 10
28 1 10 16 20 4 12 8 24 16 20 4 12 8 24 16 20 4 12 8 24 16 20 4 12 8 24 16 20 4
29 1 10 13 14 24 8 22 17 25 18 6 2 20 26 28 19 16 15 5 21 7 12 4 11 23 27 9 3 1
30 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
31 1 10 7 8 18 25 2 20 14 16 5 19 4 9 28 1 10 7 8 18 25 2 20 14 16 5 19 4 9
32 1 10 4 8 16
33 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
34 1 10 32 14 4 6 26 22 16 24 2 20 30 28 8 12 18 10 32 14 4 6 26 22 16 24 2 20 30
35 1 10 30 20 25 5 15 10 30 20 25 5 15 10 30 20 25 5 15 10 30 20 25 5 15 10 30 20 25
36 1 10 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28

Man berechnet die Folge:

Dies ergibt entweder eine abbrechende Folge, wie z.B. für die Zahl 8:

,  Abbruch

d. h. die Folge

oder eine unendliche, periodische Folge, wie z.B. für die Zahl 7

,  Wiederholung

d. h. die Folge

Teilbarkeit durch 4

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Für die Teilbarkeit durch 4 braucht nur berechnet zu werden. Der Fehler beträgt

was durch 4 teilbar ist und damit die Teilbarkeit nicht ändert.

Beispiel:

Da 4 durch 4 teilbar ist, ist auch 92 durch 4 teilbar.

Teilbarkeit durch 8

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Für die Teilbarkeit durch 8 braucht nur berechnet zu werden. Der Fehler beträgt

was durch 8 teilbar ist und damit die Teilbarkeit nicht ändert.

Beispiel:

Da 8 durch 8 teilbar ist, ist auch 912 durch 8 teilbar.

Kombinationsregeln

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Kombinationsregel ohne Division

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Ein Zahl ist durch teilbar, wenn

  • durch teilbar ist,
  • durch teilbar ist und
  • und teilerfremd sind.

Ein Zahl ist teilbar, wenn

Kombinationsregel mit Division

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Ein Zahl ist durch teilbar, wenn

  • durch teilbar ist.

Diese Regel ist insbesondere für interessant. Es braucht auf keine Teilerfremdheit geachtet werden.

Vereinfachungsregel

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Nutze die einfachste Regel (für dich)

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Zum einen sollte man sich die einfachste Regel konstruieren, so ist die Teilbarkeit durch 11 sowohl mit der alternierenden 1er-Quersumme wie mit der alternierenden 3er-, 5er-, 7er-, ... Quersumme möglich wie auch mit der 2er-, 4er-, 6er-, ... Quersumme. Die Berechnung der 1er-Quersumme ist natürlich die einfachste, auch der finale Test ist am einfachsten.

Rechne immer Modulo

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Alle Berechnungen brauchen nur modulo p berechnet zu werden. Das betrifft sowohl die Summanden wie das Ergebnis.

Teilbarkeit durch 3

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Beim Test auf Teilbarkeit durch 3 braucht man nicht die exakte Quersumme zu berechnen. Es reicht aus, jede Ziffer Modulo 3 zu addieren.

Ziffer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Summand 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0

Statt bei Bestimmung der Quersumme von 97689 braucht man nicht zu rechnen, sondern es reicht aus, zu berechnen. Auch beim Überschreiten der Summe von 9 kann man statt mit der Zahl mit deren Quersumme weiterarbeiten. Man kann auch mit der folgenden Tabelle arbeiten:

Ziffer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Summand 0 +1 –1 0 +1 –1 0 +1 –1 0

Für das obere Beispiel wäre das .

Für lange Zahlen geht es noch einfacher: Nehmen wir die Zahl 3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.
Da in der oberen Tabelle mit +1 und –1 nur wenige (hier zwei) Werte auftauchen, ist es ausreichend, eine Strichliste zu führen:

Anzahl der Ziffern 1, 4, 7: |||| |||| |||| ||
Anzahl der Ziffern 2, 5, 8: |||| |||| |||| ||

Die Differenz deren Anzahl ist 0, die Zahl ist durch 3 teilbar. Ausführlicher gesagt, müssen wir berechnen.

Beliebige Basen

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Beispiel: Basis 6

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Die Basis 6 hat die Primfaktoren 2 und 3.

Werkzeugkasten A
Mit der letzten Stelle kann man die Teilbarkeit durch 2, 3 und 6 testen (da 61 = 6 durch diese Zahlen teilbar ist).
Mit der letzten beiden Stellen kann man zusätzlich die Teilbarkeit durch 4, 9, 12, 18 und 36 testen (da 62 = 36 durch diese Zahlen teilbar ist und nicht schon durch A1 abgedeckt ist).
Mit der letzten drei Stellen kann man zusätzlich die Teilbarkeit durch 8, 24, 27, 54, 72, 108 und 216 testen (da 63 = 36 durch diese Zahlen teilbar ist und nicht schon durch A1 und A2 abgedeckt ist).
Werkzeugkasten B
Mit der 1er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5 testen.
Mit der 2er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5, 7 und 35 testen.
Mit der 3er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5, 43 und 215 testen.
Mit der 4er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5, 7, 35, 37, 185, 259 und 1295 testen.
Werkzeugkasten C
Mit der alternierenden 1er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 7 testen.
Mit der alternierenden 2er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 37 testen.
Mit der alternierenden 3er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 7, 31 und 217 testen.
Mit der alternierenden 4er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 1297 testen.
Werkzeugkasten D
Mit n = 1 kann man die Teilbarkeit durch 7 testen.
Mit n = 2 kann man die Teilbarkeit durch 13 testen.
Mit n = 3 kann man die Teilbarkeit durch 19 testen.
Mit n = 4 kann man die Teilbarkeit durch 5 und 25 testen.
Werkzeugkasten E
Mit n = 1 kann man die Teilbarkeit durch 5 testen.
Mit n = 2 kann man die Teilbarkeit durch 11 testen.
Mit n = 3 kann man die Teilbarkeit durch 17 testen.
Mit n = 4 kann man die Teilbarkeit durch 23 testen.
Werkzeugkasten F

Beispiel: Basis 2

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