Teilbarkeitsregeln
Präampel
[Bearbeiten]Als Kind hatten mich Teilbarkeitsregeln fasziniert. Ausgelöst durch ein Buch "Schlag Nach – Natur", einer populärwissenschaftlichen tabellelarischen Wissenssammlung aus allen Gebieten
Teilbarkeitsregeln durch 2 und 5 sind trivial, durch 3 und 9 schon etwas weniger trivial.
Zur damaligen Zeit, weit vor der Zeit des World Wide Web, durchsuchte ich Bücher nach neuen Regeln. Meist fand man immer wieder die gleichen Regeln und es blieben die alten Lücken bestehen.
Ein großer Jagderfolg war die Teilbarkeitsregel durch 11. Für 7 habe ich in dieser Zeit nie eine Regel gefunden.
Heutzutage ist das wesentlich einfacher, aber häufig bleibt die Frage offen, warum das so ist und wie man darauf kommt.
In diesem kleinen Buch soll es darum gehen:
- Was sind eigentlich Teilbarkeitsregeln?
- Wo kommen sie her?
- Wie kann ich sie selber entwerfen?
Letzteres ist inbesondere interessant, wenn man Zahlen in anderen Darstellungen als der Dezimaldarstellung vorliegen hat.
Es wird hier übrigens nicht auf Quellen (insbesondere nicht in Form von Links) verwiesen, sondern die Regeln mathematisch bewiesen. Quellen können selbst nicht genauer sein als deren Quellen (wenn diese überhaupt angegeben sind), Links können ihren Inhalt zeitlich ändern (z. B. verschwinden) oder der angezeigte Inhalt kann abhängig von Land, Webbrowser und installierten Plugins sein.
Was sind Teilbarkeitsregeln?
[Bearbeiten]Andere Zahlendarstellungen |
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So gibt es völlig andere Darstellungen von Zahlen:
und auch bei Stellenwertsystemen ist die Zahlenbasis 10 nicht selbstverständlich:
|
- Praktische Definition
Teilbarkeitsregeln sind einfache, möglichst im Kopf ausführbare Algorithmen, die bestimmen, ob eine zu testende, natürliche Zahl , vorliegend in der Zifferndarstellung durch eine andere, natürliche Zahl ungleich Null ohne Rest teilbar ist.
- Bemerkungen
Im Allgemeinen haben wir es mit Zahlen in normalisierter Dezimaldarstellung, einem Stellenwertsystem zur Basis mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 zu tun. Es hat sich schon jemand die Mühe gemacht, den abstrakten Begriff einer Zahl in die Dezimaldarstellung gebracht zu haben.
Es interessiert weder der Quotient noch der genaue Rest, es interessiert nur, ob der Rest gleich oder ungleich ist. Viele, aber nicht alle Regeln erhalten den Rest.
Die -stellige Zahl liegt üblicherweise in Dezimaldarstellung vor.
Europäisch | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Arabisch/Indisch | ٠ | ١ | ٢ | ٣ | ٤ | ٥ | ٦ | ٧ | ٨ | ٩ |
Persisch/Urdu | ٠ | ١ | ٢ | ٣ | ۴ | ۵ | ۶ | ٧ | ٨ | ٩ |
Devanagari | ० | १ | २ | ३ | ४ | ५ | ६ | ७ | ८ | ९ |
Tamil | ௦ | ௧ | ௨ | ௩ | ௪ | ௫ | ௬ | ௭ | ௮ | ௯ |
Dabei stellt die . Stelle mit dem Wert dar.
Eine dreistellige Zahl wird als geschrieben, wobei die Werte der Stellen durch spezielle Zeichen kodiert werden.
Man nennt diese Ziffern (oder allgemein Alphabet).
Es hat sich in unserem Kulturkreis die Schreibweise die Schreibweise von links/groß-nach-rechts/klein durchgesetzt.
Man kennt von jeder Ziffer deren wahre Bedeutung erst, wenn man an das Ende der ganzen Zahl gelangt ist, d. h. die 3 in 3, 38 und 386 stellt unterschiedliche Werte (nämlich 3, 30 und 300) dar.
- Idee
Teilbarkeitsregeln durch konstruiert man durch trickreiche, einfache Operationen, die die Zahl verkleinern, die Teilbarkeit durch aber nicht verändern.
Beispiel: Division durch 5
[Bearbeiten]Regel
Man nehme die letzte Ziffer der Zahl und untersuche diese, ob sie durch 5 teilbar ist, d. h. 0 oder 5 lautet. Ist dies der Fall, ist die Zahl durch 5 teilbar.
Satz
Das Entfernen aller Ziffern bis auf die Einerstelle verändert nicht die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10.
Die Zahl mit den Ziffern lautet:
Die letzte Ziffer lautet:
Durch Weglassen aller Ziffern bis auf die letzte verändere ich die Zahl um :
Da eine ganze Zahl ist, da alle Faktoren, damit die Produkte und damit die ganze Summe ganzzahlig ist, ist ein Vielfaches von 10 und der „Fehler“ durch das Entfernen aller Ziffern bis auf die Einerziffer verändert nicht die Teilbarkeit durch 10. Da 5 ein Teiler von 10, verändert sich nicht die Teilbarkeit durch 5. Gleiches gilt für die Teiler 2 und 10.
Welche Kategorien von Teilbarkeitsregeln gibt es?
[Bearbeiten]An:
- Nutzt aus, dass 10n durch teilbar ist. Es brauchen nur die letzten n Ziffern der Zahl betrachtet zu werden.
- A1 wird für die Teilbarkeit durch 2, 5 und 10 genutzt.
Bn:
- Nutzt aus, dass 10n–1 durch teilbar ist. Es braucht nur die n-er Quersumme betrachtet zu werden.
- B1 wird für die Teilbarkeit durch 3 und 9 genutzt.
Cn:
- Nutzt aus, dass 10n+1 durch teilbar ist. Es braucht nur die alternierende n-er Quersumme betrachtet zu werden.
- C1 wird für die Teilbarkeit durch 11 genutzt.
Dn:
- Nutzt aus, dass 10n–1 durch teilbar ist. Es wird rekursiv n ⋅ d0 zur der restlichen Zahl dk...d1 addiert.
- D2 wird für die Teilbarkeit durch 19 genutzt.
En:
- Nutzt aus, dass 10n+1 durch teilbar ist. Es wird rekursiv n ⋅ d0 von der restlichen Zahl dk...d1 subtrahiert.
- E2 wird für die Teilbarkeit durch 7 und 21 genutzt.
Fp:
- Algemein anwendbar, aber meist aufwendig. Benutzt die Folge 10j mod p als Wichtungsfaktoren für die einzelnen Ziffern.
- F8 wird für die Teilbarkeit durch 8 genutzt.
Kombinationen:
- A1 und B1 kann man für die Teilbarkeit durch 6 kombinieren, indem man auf Teilbarkeit durch 2 und durch 3 testet.
- A1° und B1 kann man für die Teilbarkeit durch 60 kombinieren, indem man durch 10 teilt(!) und den Quotienten auf Teilbarkeit durch 6 testet. Letzteres geschieht durch Testen auf Teilbarkeit durch 2 und 3.
Begriffe, erklärt in der Wikipedia
[Bearbeiten]- Was sind Primzahlen?
- Was ist eine Primfaktorzerlegung einer Natürlichen Zahl?
- Wann sind zwei Zahlen zueinander teilerfremd oder mehrere Zahlen paarweise teilerfremd?
Werkzeugkasten A: Die letzten n Ziffern prüfen
Teilbarkeit durch 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, ...
[Bearbeiten]n | 10n | Primfaktoren |
---|---|---|
1 | 10 | 2 · 5 |
2 | 100 | 22 · 52 |
3 | 1.000 | 23 · 53 |
4 | 10.000 | 24 · 54 |
5 | 100.000 | 25 · 55 |
6 | 1.000.000 | 26 · 56 |
7 | 10.000.000 | 27 · 57 |
8 | 100.000.000 | 28 · 58 |
9 | 1.000.000.000 | 29 · 59 |
10 | 10.000.000.000 | 210 · 510 |
11 | 100.000.000.000 | 211 · 511 |
12 | 1.000.000.000.000 | 212 · 512 |
13 | 10.000.000.000.000 | 213 · 513 |
14 | 100.000.000.000.000 | 214 · 514 |
15 | 1.000.000.000.000.000 | 215 · 515 |
16 | 10.000.000.000.000.000 | 216 · 516 |
17 | 100.000.000.000.000.000 | 217 · 517 |
18 | 1.000.000.000.000.000.000 | 218 · 518 |
19 | 10.000.000.000.000.000.000 | 219 · 519 |
20 | 100.000.000.000.000.000.000 | 220 · 520 |
Die einfachsten und auch für beliebig lange Zahlen einfach zu handhabende Teilbarkeitsregeln gibt es für Teiler , durch die einer der Ausdrücke ohne Rest teilen lässt.
Beispiele:
- 2: In Zeile 1 ist 101 durch 2 teilbar.
- 5: In Zeile 1 ist 101 durch 5 teilbar.
- 8: In Zeile 3 ist 103 durch 8 teilbar.
- 25: In Zeile 2 ist 102 durch 25 teilbar.
Zum Test der Teilbarkeit brauchen nur die letzten Stellen durch geteilt werden. Die anderen Ziffern haben keinen Einfluss.
... Beweis
Gegebenfalls kann es sinnvoll sein, weitere Regel für den Test dieser letzten Ziffern zu verwenden.
A1: Teilbarkeit durch 2
[Bearbeiten]A1: Teilbarkeit durch 5
[Bearbeiten]A1: Teilbarkeit durch 10
[Bearbeiten]A3: Teilbarkeit durch 8
[Bearbeiten]A3: Teilbarkeit durch 125
[Bearbeiten]Nutzbar für
[Bearbeiten]1 | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 | ||||
16 | 20 | ||||||||
25 | |||||||||
32 | 40 | ||||||||
50 | |||||||||
64 | |||||||||
80 | |||||||||
100 |
Werkzeugkasten B: Die n-er Quersumme
Teilbarkeit durch 3, 9, 11, 13, 17, 33, 37, 39, 41, 51, 53, 73, 79, 99, ...
[Bearbeiten]n | 10n − 1 | Primfaktoren |
---|---|---|
1 | 9 | 32 |
2 | 99 | 32 · 11 |
3 | 999 | 33 · 37 |
4 | 9999 | 32 · 11 · 101 |
5 | 99999 | 32 · 41 · 271 |
6 | 999999 | 33 · 7 · 11 · 13 · 37 |
7 | 107 − 1 | 32 · 239 · 4.649 |
8 | 108 − 1 | 32 · 11 · 73 · 101 · 137 |
9 | 109 − 1 | 34 · 37 · 333.667 |
10 | 1010 − 1 | 32 · 11 · 41 · 271 · 9.091 |
11 | 1011 − 1 | 32 · 21649 · 513.239 |
12 | 1012 − 1 | 33 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9.901 |
13 | 1013 − 1 | 32 · 53 · 79 · 265.371.653 |
14 | 1014 − 1 | 32 · 11 · 239 · 4649 · 909.091 |
15 | 1015 − 1 | 33 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2.906.161 |
16 | 1016 − 1 | 32 · 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5.882.353 |
17 | 1017 − 1 | 32 · 2071723 · 5.363.222.357 |
18 | 1018 − 1 | 34 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333.667 |
19 | 1019 − 1 | 32 · 1.111.111.111.111.111.111 |
20 | 1020 − 1 | 32 · 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27.961 |
21 | 1021 − 1 | 33 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10.838.689 |
22 | 1022 − 1 | 32 · 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513.239 |
23 | 1023 − 1 | 32 · 11.111.111.111.111.111.111.111 |
24 | 1024 − 1 | 33 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99.990.001 |
25 | 1025 − 1 | 32 · 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182.521.213.001 |
26 | 1026 − 1 | 32 · 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1.058.313.049 |
27 | 1027 − 1 | 35 · 37 · 757 · 333667 · 440.334.654.777.631 |
28 | 1028 − 1 | 32 · 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121.499.449 |
29 | 1029 − 1 | 32 · 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77.843.839.397 |
30 | 1030 − 1 | 33 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2.906.161 |
31 | 1031 − 1 | 32 · 2791 · 6943319 · 57.336.415.063.790.604.359 |
32 | 1032 − 1 | 32 · 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5.882.353 |
33 | 1033 − 1 | 33 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1.344.628.210.313.298.373 |
34 | 1034 − 1 | 32 · 11 · 103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21.993.833.369 |
35 | 1035 − 1 | 32 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102.598.800.232.111.471 |
36 | 1036 − 1 | 34 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999.999.000.001 |
37 | 1037 − 1 | 32 · 2028119 · 247629013 · 2.212.394.296.770.203.368.013 |
Es wird die n-er Quersumme bestimmt. Dazu wird die Ziffernfolge von hinten in Gruppen zu n Ziffern geteilt und diese werden addiert. Am bekanntesten ist die „normale“ 1-er Quersumme, in der alle Ziffern einzeln addiert werden.
Dazu werden Operationen durchgeführt, die die Zahl verkleinern und dabei die Teilbarkeit durch nicht beeinflussen. Die bekanntesten dürfte die Division durch 2 und durch 3 sein:
- Bei der Division durch 2 wirft mal alle Dezimalstellen bis auf weg, es entsteht die Zahl .
Dadurch verkleinert man die Zahl um , einem Vielfaches von 10, und zwar um
- was die Teilbarkeit der Zahl durch 2 aber nicht beeinflusst, da die Zahl durch 10 und damit durch 2 teilbar ist.
- Bei der Division durch 3 bildet man die sogenannte Quersumme. Dadurch verkleinert man die Zahl um ein Vielfaches von 9, und zwar um
- was die Teilbarkeit der Zahl durch 3 aber nicht beeinflusst, da die Zahl durch 9 und damit durch 3 teilbar ist.
Nutzbar ist diese für alle Teiler , die ein Teiler von sind.
B1: Teilbarkeit durch 3
[Bearbeiten]B1: Teilbarkeit durch 9
[Bearbeiten]B2: Teilbarkeit durch 11
[Bearbeiten]B3: Teilbarkeit durch 37
[Bearbeiten]Nutzbar für
[Bearbeiten]3 | 7 | 9 | |||||||
11 | 13 | 19 | |||||||
21 | 23 | 27 | |||||||
33 | 37 | 39 | |||||||
41 | 43 | ||||||||
53 | 57 | ||||||||
63 | 69 | ||||||||
73 | 79 | ||||||||
81 | |||||||||
99 |
Werkzeugkasten C: Die alternierende n-er Quersumme
Teilbarkeit durch 7, 11, 13, 17, 19, 29, 73, 77, 89, ...
[Bearbeiten]n | 10n + 1 | Primfaktoren |
---|---|---|
1 | 11 | 11 |
2 | 101 | 101 |
3 | 1001 | 7 · 11 · 13 |
4 | 10001 | 73 · 137 |
5 | 100001 | 11 · 9.091 |
6 | 1000001 | 101 · 9.901 |
7 | 107 + 1 | 11 · 909.091 |
8 | 108 + 1 | 17 · 5.882.353 |
9 | 109 + 1 | 7 · 11 · 13 · 19 · 52.579 |
10 | 1010 + 1 | 101 · 3541 · 27.961 |
11 | 1011 + 1 | 112 · 23 · 4093 · 8.779 |
12 | 1012 + 1 | 73 · 137 · 99.990.001 |
13 | 1013 + 1 | 11 · 859 · 1.058.313.049 |
14 | 1014 + 1 | 29 · 101 · 281 · 121.499.449 |
15 | 1015 + 1 | 7 · 11 · 13 · 211 · 241 · 2161 · 9.091 |
16 | 1016 + 1 | 353 · 449 · 641 · 1409 · 69.857 |
17 | 1017 + 1 | 11 · 103 · 4013 · 21.993.833.369 |
18 | 1018 + 1 | 101 · 9901 · 999.999.000.001 |
19 | 1019 + 1 | 11 · 909.090.909.090.909.091 |
20 | 1020 + 1 | 73 · 137 · 1676321 · 5.964.848.081 |
21 | 1021 + 1 | 72 · 11 · 13 · 127 · 2689 · 459691 · 909.091 |
22 | 1022 + 1 | 89 · 101 · 1052788969 · 1.056.689.261 |
23 | 1023 + 1 | 11 · 47 · 139 · 2531 · 549.797.184.491.917 |
24 | 1024 + 1 | 17 · 5882353 · 9.999.999.900.000.001 |
25 | 1025 + 1 | 11 · 251 · 5051 · 9091 · 78.875.943.472.201 |
26 | 1026 + 1 | 101 · 521 · 1.900.381.976.777.332.243.781 |
27 | 1027 + 1 | 7 · 11 · 13 · 19 · 52579 · 70541929 · 14.175.966.169 |
28 | 1028 + 1 | 73 · 137 · 7841 · 127.522.001.020.150.503.761 |
29 | 1029 + 1 | 11 · 59 · 154.083.204.930.662.557.781.201.849 |
30 | 1030 + 1 | 61 · 101 · 3541 · 9901 · 27961 · 4188901 · 39.526.741 |
31 | 1031 + 1 | 11 · 909090909090909090909090909091 |
32 | 1032 + 1 | 19841 · 976193 · 6187457 · 834.427.406.578.561 |
33 | 1033 + 1 | 7 · 112 · 13 · 23 · 4093 · 8779 · 599144041 · 183.411.838.171 |
34 | 1034 + 1 | 101 · 28559389 · 1491383821 · 2.324.557.465.671.829 |
35 | 1035 + 1 | 11 · 9091 · 909091 · 4147571 · 265.212.793.249.617.641 |
36 | 1036 + 1 | 73 · 137 · 3169 · 98641 · 99990001 · 3.199.044.596.370.769 |
37 | 1037 + 1 | 11 · 7253 · 422650073734453 · 296557347313446299 |
Es wird die alternierende n-er Quersumme bestimmt. Dazu wird die Ziffernfolge von hinten in Gruppen zu n Ziffern geteilt und diese werden alternierend addiert und subtrahiert. Wem das zu unübersichtlich ist, kann die Gruppen zu n Ziffern in zwei alternierende Blöcke einteilen, diese addieren und dann die beiden Blöcke voneinander zu subtrahieren. Am bekanntesten ist die „normale“ alternierende 1-er Quersumme, in der alle Ziffern einzeln abwechselnd addiert und subtrahiert werden werden.
Nutzbar ist diese für alle Teiler , die ein Teiler von sind.
C1: Teilbarkeit durch 11
[Bearbeiten]C2: Teilbarkeit durch 101
[Bearbeiten]C3: Teilbarkeit durch 13
[Bearbeiten]Werkzeugkasten D: Rekursives Addieren
Teilbarkeit durch 3, 7, 9, 11, 13, 19, 23, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, ...
[Bearbeiten]n | 10n−1 | Primfaktoren |
---|---|---|
1 | 9 | 32 |
2 | 19 | 19 |
3 | 29 | 29 |
4 | 39 | 3 · 13 |
5 | 49 | 72 |
6 | 59 | 59 |
7 | 69 | 3 · 23 |
8 | 79 | 79 |
9 | 89 | 89 |
10 | 99 | 32 · 11 |
11 | 109 | 109 |
12 | 119 | 7 · 17 |
13 | 129 | 3 · 43 |
14 | 139 | 139 |
15 | 149 | 149 |
16 | 159 | 3 · 53 |
17 | 169 | 132 |
18 | 179 | 179 |
19 | 189 | 33 · 7 |
20 | 199 | 199 |
21 | 209 | 11 · 19 |
...
D1: Teilbarkeit durch 9
[Bearbeiten]D2: Teilbarkeit durch 19
[Bearbeiten]Werkzeugkasten E: Rekursives Subtrahieren
Teilbarkeit durch 3, 7, 9, 11, 13, 17, 21, 27, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, ...
[Bearbeiten]n | 10n+1 | Primfaktoren |
---|---|---|
1 | 11 | 11 |
2 | 21 | 3 · 7 |
3 | 31 | 31 |
4 | 41 | 41 |
5 | 51 | 3 · 17 |
6 | 61 | 61 |
7 | 71 | 71 |
8 | 81 | 34 |
9 | 91 | 7 · 13 |
10 | 101 | 101 |
11 | 111 | 3 · 37 |
12 | 121 | 112 |
13 | 131 | 131 |
14 | 141 | 3 · 47 |
15 | 151 | 151 |
16 | 161 | 7 · 23 |
17 | 171 | 32 · 19 |
18 | 181 | 181 |
19 | 191 | 191 |
20 | 201 | 3 · 67 |
Sofern die zu untersuchende Teilbarkeit keine Faktoren der Zahlenbasis (bei wären das die 2 und die 5) enthält, ist folgendes Verfahren anwendbar. Zu testen ist die Teilbarkeit durch einer der in der rechten Tabelle enthaltenen Zahlen (oder von Teilfaktoren von ):
- Man subtrahiert von der Zahl und teilt sie anschließend durch 10. D.h. man berechnet .
- Das Subtrahieren von verändert nicht die Teilbarkeit durch . Das Teilen durch 10 verändert nur die Teilbarkeit durch Teiler, die die Faktoren 2 und 5 enthalten.
- Was so kompliziert klingt, ist lässt sich einfach durch folgendes Vorgehen realisieren:
- Man subtrahiert . Dadurch wird die letzte Stelle 0.
- Man entfernt diese 0 und teilt die Zahl dadurch durch 10.
- Nun subtrahiert man von der dadurch entstandenen Zahl.
- Man hat berechnet, das ist
- Das Vorgehen wiederholt man, bis die Zahl kurz genug ist, um die Teilbarkeit direkt zu erkennen.
E2: Teilbarkeit durch 7
[Bearbeiten]Für die Teilbarkeit durch kann man dieses Werkzeug mit benutzen. Man modifiziert die Zahl durch Vielfache von 21 (was die Teilbarkeit durch 7 nicht beeinflusst) und teilt sie durch 10 (was sie auch nicht beeinflusst). Der Rest selbst wird durch diese Berechnung selbst beeinflusst, dass Verfahren ist nicht geeignet, den Rest selbst zu bestimmen.
Beispiel:
Die Zahl ist teilbar durch 7 (aber nicht durch 21).
E1: Teilbarkeit durch 11
[Bearbeiten]Hier benutzt man , d. h. man subtrahiert jeweils die letzte Ziffer von der restlichen Zahl.
Beispiel:
Die Zahl ist teilbar durch 11.
E5: Teilbarkeit durch 17
[Bearbeiten]Für die Teilbarkeit durch kann man dieses Werkzeug mit benutzen. Man modifiziert die Zahl durch Vielfache von 51 (was die Teilbarkeit durch 17 nicht beeinflusst) und teilt sie durch 10 (was sie auch nicht beeinflusst). Der Rest selbst wird durch diese Berechnung selbst beeinflusst, dass Verfahren ist nicht geeignet, den Rest selbst zu bestimmen.
Beispiel:
Die Zahl ist teilbar durch 17.
Werkzeugkasten F: Wichtungsfaktoren-Folge Fn
Teilbarkeit durch jede natürliche Zahl p
[Bearbeiten]Teiler |
Multiplikator für die Ziffer bei Teiler | ||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d0 | d1 | d2 | d3 | d4 | d5 | d6 | d7 | d8 | d9 | d10 | d11 | d12 | d13 | d14 | d15 | d16 | d17 | d18 | d19 | d20 | d21 | d22 | d23 | d24 | d25 | d26 | d27 | d28 | |
2 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
4 | 1 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||
5 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
6 | 1 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 | -2 |
7 | 1 | 3 | 2 | -1 | -3 | -2 | 1 | 3 | 2 | -1 | -3 | -2 | 1 | 3 | 2 | -1 | -3 | -2 | 1 | 3 | 2 | -1 | -3 | -2 | 1 | 3 | 2 | -1 | -3 |
8 | 1 | 2 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||
9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
10 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
11 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 |
12 | 1 | -2 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
13 | 1 | -3 | -4 | -1 | 3 | 4 | 1 | -3 | -4 | -1 | 3 | 4 | 1 | -3 | -4 | -1 | 3 | 4 | 1 | -3 | -4 | -1 | 3 | 4 | 1 | -3 | -4 | -1 | 3 |
14 | 1 | -4 | 2 | 6 | 4 | -2 | -6 | -4 | 2 | 6 | 4 | -2 | -6 | -4 | 2 | 6 | 4 | -2 | -6 | -4 | 2 | 6 | 4 | -2 | -6 | -4 | 2 | 6 | 4 |
15 | 1 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 | -5 |
16 | 1 | -6 | 4 | 8 | |||||||||||||||||||||||||
17 | 1 | -7 | -2 | -3 | 4 | 6 | -8 | 5 | -1 | 7 | 2 | 3 | -4 | -6 | 8 | -5 | 1 | -7 | -2 | -3 | 4 | 6 | -8 | 5 | -1 | 7 | 2 | 3 | -4 |
18 | 1 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 |
19 | 1 | -9 | 5 | -7 | 6 | 3 | -8 | -4 | -2 | -1 | 9 | -5 | 7 | -6 | -3 | 8 | 4 | 2 | 1 | -9 | 5 | -7 | 6 | 3 | -8 | -4 | -2 | -1 | 9 |
20 | 1 | 10 | |||||||||||||||||||||||||||
21 | 1 | 10 | -5 | -8 | 4 | -2 | 1 | 10 | -5 | -8 | 4 | -2 | 1 | 10 | -5 | -8 | 4 | -2 | 1 | 10 | -5 | -8 | 4 | -2 | 1 | 10 | -5 | -8 | 4 |
22 | 1 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 | 10 | -10 |
23 | 1 | 10 | 8 | 11 | -5 | -4 | 6 | -9 | 2 | -3 | -7 | -1 | -10 | -8 | -11 | 5 | 4 | -6 | 9 | -2 | 3 | 7 | 1 | 10 | 8 | 11 | -5 | -4 | 6 |
24 | 1 | 10 | 4 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 |
25 | 1 | 10 | |||||||||||||||||||||||||||
26 | 1 | 10 | -4 | 12 | -10 | 4 | -12 | 10 | -4 | 12 | -10 | 4 | -12 | 10 | -4 | 12 | -10 | 4 | -12 | 10 | -4 | 12 | -10 | 4 | -12 | 10 | -4 | 12 | -10 |
27 | 1 | 10 | -8 | 1 | 10 | -8 | 1 | 10 | -8 | 1 | 10 | -8 | 1 | 10 | -8 | 1 | 10 | -8 | 1 | 10 | -8 | 1 | 10 | -8 | 1 | 10 | -8 | 1 | 10 |
28 | 1 | 10 | -12 | -8 | 4 | 12 | 8 | -4 | -12 | -8 | 4 | 12 | 8 | -4 | -12 | -8 | 4 | 12 | 8 | -4 | -12 | -8 | 4 | 12 | 8 | -4 | -12 | -8 | 4 |
29 | 1 | 10 | 13 | 14 | -5 | 8 | -7 | -12 | -4 | -11 | 6 | 2 | -9 | -3 | -1 | -10 | -13 | -14 | 5 | -8 | 7 | 12 | 4 | 11 | -6 | -2 | 9 | 3 | 1 |
30 | 1 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
31 | 1 | 10 | 7 | 8 | -13 | -6 | 2 | -11 | 14 | -15 | 5 | -12 | 4 | 9 | -3 | 1 | 10 | 7 | 8 | -13 | -6 | 2 | -11 | 14 | -15 | 5 | -12 | 4 | 9 |
32 | 1 | 10 | 4 | 8 | 16 | ||||||||||||||||||||||||
33 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 |
34 | 1 | 10 | -2 | 14 | 4 | 6 | -8 | -12 | 16 | -10 | 2 | -14 | -4 | -6 | 8 | 12 | -16 | 10 | -2 | 14 | 4 | 6 | -8 | -12 | 16 | -10 | 2 | -14 | -4 |
35 | 1 | 10 | -5 | -15 | -10 | 5 | 15 | 10 | -5 | -15 | -10 | 5 | 15 | 10 | -5 | -15 | -10 | 5 | 15 | 10 | -5 | -15 | -10 | 5 | 15 | 10 | -5 | -15 | -10 |
36 | 1 | 10 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 | -8 |
Das Verfahren ermöglich Teilbarkeitsregeln durch jede Zahl, führt aber häufig auch zu den aufwendigsten Teilbarkeitsregeln.
Die Zifferndarstellung der Zahl wird dazu Ziffer für Ziffer mit einem Folge von Wichtungsfaktoren multipliziert und dann die Summe daraus berechnet berechnet.
Für eine Wichtungsfaktoren-Folge entspricht dies der 1er-Quersumme, für entspricht dies der alternierenden 1er-Quersumme. Dort muss dann nicht multipliziert werden.
Diese Wichtungsfaktoren-Folgen brechen entweder ab oder enden in einer Periode mit maximal der Länge .
- :
- :
- :
Bei längeren Zahlen kann es sinnvoll sein, zuerst die Ziffer-Positionen mit gleichem Wichtungsfaktor zu sammeln, diese einmal mit dem Wichtungsfaktor zu multiplizieren und das zu addieren.
Bestimmung der Wichtungsfaktoren-Folge
[Bearbeiten]Teiler |
Multiplikator für die Ziffer bei Teiler | ||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
d0 | d1 | d2 | d3 | d4 | d5 | d6 | d7 | d8 | d9 | d10 | d11 | d12 | d13 | d14 | d15 | d16 | d17 | d18 | d19 | d20 | d21 | d22 | d23 | d24 | d25 | d26 | d27 | d28 | |
2 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
4 | 1 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||
5 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
6 | 1 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
7 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 | 5 | 1 | 3 | 2 | 6 | 4 |
8 | 1 | 2 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||
9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
10 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
11 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 |
12 | 1 | 10 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
13 | 1 | 10 | 9 | 12 | 3 | 4 | 1 | 10 | 9 | 12 | 3 | 4 | 1 | 10 | 9 | 12 | 3 | 4 | 1 | 10 | 9 | 12 | 3 | 4 | 1 | 10 | 9 | 12 | 3 |
14 | 1 | 10 | 2 | 6 | 4 | 12 | 8 | 10 | 2 | 6 | 4 | 12 | 8 | 10 | 2 | 6 | 4 | 12 | 8 | 10 | 2 | 6 | 4 | 12 | 8 | 10 | 2 | 6 | 4 |
15 | 1 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
16 | 1 | 10 | 4 | 8 | |||||||||||||||||||||||||
17 | 1 | 10 | 15 | 14 | 4 | 6 | 9 | 5 | 16 | 7 | 2 | 3 | 13 | 11 | 8 | 12 | 1 | 10 | 15 | 14 | 4 | 6 | 9 | 5 | 16 | 7 | 2 | 3 | 13 |
18 | 1 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
19 | 1 | 10 | 5 | 12 | 6 | 3 | 11 | 15 | 17 | 18 | 9 | 14 | 7 | 13 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 10 | 5 | 12 | 6 | 3 | 11 | 15 | 17 | 18 | 9 |
20 | 1 | 10 | |||||||||||||||||||||||||||
21 | 1 | 10 | 16 | 13 | 4 | 19 | 1 | 10 | 16 | 13 | 4 | 19 | 1 | 10 | 16 | 13 | 4 | 19 | 1 | 10 | 16 | 13 | 4 | 19 | 1 | 10 | 16 | 13 | 4 |
22 | 1 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 | 10 | 12 |
23 | 1 | 10 | 8 | 11 | 18 | 19 | 6 | 14 | 2 | 20 | 16 | 22 | 13 | 15 | 12 | 5 | 4 | 17 | 9 | 21 | 3 | 7 | 1 | 10 | 8 | 11 | 18 | 19 | 6 |
24 | 1 | 10 | 4 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 |
25 | 1 | 10 | |||||||||||||||||||||||||||
26 | 1 | 10 | 22 | 12 | 16 | 4 | 14 | 10 | 22 | 12 | 16 | 4 | 14 | 10 | 22 | 12 | 16 | 4 | 14 | 10 | 22 | 12 | 16 | 4 | 14 | 10 | 22 | 12 | 16 |
27 | 1 | 10 | 19 | 1 | 10 | 19 | 1 | 10 | 19 | 1 | 10 | 19 | 1 | 10 | 19 | 1 | 10 | 19 | 1 | 10 | 19 | 1 | 10 | 19 | 1 | 10 | 19 | 1 | 10 |
28 | 1 | 10 | 16 | 20 | 4 | 12 | 8 | 24 | 16 | 20 | 4 | 12 | 8 | 24 | 16 | 20 | 4 | 12 | 8 | 24 | 16 | 20 | 4 | 12 | 8 | 24 | 16 | 20 | 4 |
29 | 1 | 10 | 13 | 14 | 24 | 8 | 22 | 17 | 25 | 18 | 6 | 2 | 20 | 26 | 28 | 19 | 16 | 15 | 5 | 21 | 7 | 12 | 4 | 11 | 23 | 27 | 9 | 3 | 1 |
30 | 1 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
31 | 1 | 10 | 7 | 8 | 18 | 25 | 2 | 20 | 14 | 16 | 5 | 19 | 4 | 9 | 28 | 1 | 10 | 7 | 8 | 18 | 25 | 2 | 20 | 14 | 16 | 5 | 19 | 4 | 9 |
32 | 1 | 10 | 4 | 8 | 16 | ||||||||||||||||||||||||
33 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 | 10 | 1 |
34 | 1 | 10 | 32 | 14 | 4 | 6 | 26 | 22 | 16 | 24 | 2 | 20 | 30 | 28 | 8 | 12 | 18 | 10 | 32 | 14 | 4 | 6 | 26 | 22 | 16 | 24 | 2 | 20 | 30 |
35 | 1 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 | 5 | 15 | 10 | 30 | 20 | 25 |
36 | 1 | 10 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 | 28 |
Man berechnet die Folge:
Dies ergibt entweder eine abbrechende Folge, wie z.B. für die Zahl 8:
- , Abbruch
d. h. die Folge
oder eine unendliche, periodische Folge, wie z.B. für die Zahl 7
- , Wiederholung
d. h. die Folge
Teilbarkeit durch 4
[Bearbeiten]Für die Teilbarkeit durch 4 braucht nur berechnet zu werden. Der Fehler beträgt
was durch 4 teilbar ist und damit die Teilbarkeit nicht ändert.
Beispiel:
Da 4 durch 4 teilbar ist, ist auch 92 durch 4 teilbar.
Teilbarkeit durch 8
[Bearbeiten]Für die Teilbarkeit durch 8 braucht nur berechnet zu werden. Der Fehler beträgt
was durch 8 teilbar ist und damit die Teilbarkeit nicht ändert.
Beispiel:
Da 8 durch 8 teilbar ist, ist auch 912 durch 8 teilbar.
Kombinationsregeln
[Bearbeiten]Kombinationsregel ohne Division
[Bearbeiten]Ein Zahl ist durch teilbar, wenn
- durch teilbar ist,
- durch teilbar ist und
- und teilerfremd sind.
Ein Zahl ist teilbar, wenn
Kombinationsregel mit Division
[Bearbeiten]Ein Zahl ist durch teilbar, wenn
- durch teilbar ist.
Diese Regel ist insbesondere für interessant. Es braucht auf keine Teilerfremdheit geachtet werden.
Vereinfachungsregel
[Bearbeiten]Nutze die einfachste Regel (für dich)
[Bearbeiten]Zum einen sollte man sich die einfachste Regel konstruieren, so ist die Teilbarkeit durch 11 sowohl mit der alternierenden 1er-Quersumme wie mit der alternierenden 3er-, 5er-, 7er-, ... Quersumme möglich wie auch mit der 2er-, 4er-, 6er-, ... Quersumme. Die Berechnung der 1er-Quersumme ist natürlich die einfachste, auch der finale Test ist am einfachsten.
Rechne immer Modulo
[Bearbeiten]Alle Berechnungen brauchen nur modulo p berechnet zu werden. Das betrifft sowohl die Summanden wie das Ergebnis.
Teilbarkeit durch 3
[Bearbeiten]Beim Test auf Teilbarkeit durch 3 braucht man nicht die exakte Quersumme zu berechnen. Es reicht aus, jede Ziffer Modulo 3 zu addieren.
Ziffer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Summand | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 |
Statt bei Bestimmung der Quersumme von 97689 braucht man nicht zu rechnen, sondern es reicht aus, zu berechnen. Auch beim Überschreiten der Summe von 9 kann man statt mit der Zahl mit deren Quersumme weiterarbeiten. Man kann auch mit der folgenden Tabelle arbeiten:
Ziffer | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Summand | 0 | +1 | –1 | 0 | +1 | –1 | 0 | +1 | –1 | 0 |
Für das obere Beispiel wäre das .
Für lange Zahlen geht es noch einfacher:
Nehmen wir die Zahl 3141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.
Da in der oberen Tabelle mit +1 und –1 nur wenige (hier zwei) Werte auftauchen, ist es ausreichend, eine Strichliste zu führen:
- Anzahl der Ziffern 1, 4, 7:
|||||||||||||| - Anzahl der Ziffern 2, 5, 8:
||||||||||||||
Die Differenz deren Anzahl ist 0, die Zahl ist durch 3 teilbar. Ausführlicher gesagt, müssen wir berechnen.
Beliebige Basen
[Bearbeiten]Beispiel: Basis 6
[Bearbeiten]Die Basis 6 hat die Primfaktoren 2 und 3.
- Werkzeugkasten A
- Mit der letzten Stelle kann man die Teilbarkeit durch 2, 3 und 6 testen (da 61 = 6 durch diese Zahlen teilbar ist).
- Mit der letzten beiden Stellen kann man zusätzlich die Teilbarkeit durch 4, 9, 12, 18 und 36 testen (da 62 = 36 durch diese Zahlen teilbar ist und nicht schon durch A1 abgedeckt ist).
- Mit der letzten drei Stellen kann man zusätzlich die Teilbarkeit durch 8, 24, 27, 54, 72, 108 und 216 testen (da 63 = 36 durch diese Zahlen teilbar ist und nicht schon durch A1 und A2 abgedeckt ist).
- Werkzeugkasten B
- Mit der 1er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5 testen.
- Mit der 2er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5, 7 und 35 testen.
- Mit der 3er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5, 43 und 215 testen.
- Mit der 4er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 5, 7, 35, 37, 185, 259 und 1295 testen.
- Werkzeugkasten C
- Mit der alternierenden 1er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 7 testen.
- Mit der alternierenden 2er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 37 testen.
- Mit der alternierenden 3er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 7, 31 und 217 testen.
- Mit der alternierenden 4er-Quersumme kann man die Teilbarkeit durch 1297 testen.
- Werkzeugkasten D
- Mit n = 1 kann man die Teilbarkeit durch 7 testen.
- Mit n = 2 kann man die Teilbarkeit durch 13 testen.
- Mit n = 3 kann man die Teilbarkeit durch 19 testen.
- Mit n = 4 kann man die Teilbarkeit durch 5 und 25 testen.
- Werkzeugkasten E
- Mit n = 1 kann man die Teilbarkeit durch 5 testen.
- Mit n = 2 kann man die Teilbarkeit durch 11 testen.
- Mit n = 3 kann man die Teilbarkeit durch 17 testen.
- Mit n = 4 kann man die Teilbarkeit durch 23 testen.
- Werkzeugkasten F