Vektoralgebra: Addition und Subtraktion von Vektoren

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Addition von Vektoren

Eine weitere fundamentale Eigenschaft der Vektoren ist die besondere Art ihrer Addition. Dies soll am Beispiel einer zusammengesetzten Verschiebung erklärt werden.

Abb. 2.1

Auf einem Fluss treibe ein Floß abwärts. Auf dem Floß steht im Punkt A ein Mensch. Während das Floß über die Strecke ${\overrightarrow {AB}}$ verschoben wird, bewege sich der Mensch (in der Abbildung vertreten durch seinen Fußpunkt) auf dem Floss vom Punkt A zunächst zu einem Punkt C. Dort ersteigt er eine Stehleiter und befindet sich schließlich im Punkt D. Seine daraus resultierende Verschiebung wird dargestellt durch den Vektor ${\overrightarrow {AD}}$. Man findet ihn, indem man die Vektoren ${\overrightarrow {AB}},\,\,{\overrightarrow {BC}}\,\,{\mbox{und}}\,\,{\overrightarrow {\mbox{CD}}}$ der einzelnen Verschiebungen »aneinanderheftet« und dann den Fußpunkt des ersten Vektors mit der Spitze des letzten verbindet. Dieses Verfahren heißt Vektoraddition oder vektorielle Addition. Diese Operation wird beschrieben durch die »Vektorgleichung«

${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {CD}}\,.$

In diesem Beispiel mit drei Verschiebungsvektoren ist das Verfahren der vektoriellen Addition unmittelbar einsichtig. Bei allen anderen physikalischen Größenarten dagegen muss erst nachgewiesen werden, dass die dazu gehörigen Größen sich vektoriell summieren lassen, bevor ihnen die Vektoreigenschaft zuerkannt werden kann. Dies ist eine Aufgabe der Experimentalphysik.

Neben der Invarianz gegen Basiswechsel ist die vektorielle Summierbarkeit eine wesensbegründende (konstituierende) Eigenschaft der Vektoren.

Es gibt allerdings eine kleine Zahl von Ausnahmen. So ist es zum Beispiel nützlich und sinnvoll, bei gewissen Vorgängen (etwa bei Strömungen) ein Flächenstück durch seinen Flächenvektor (der auf dem Flächenstück senkrecht steht) darzustellen, oder die Winkelgeschwindigkeit einer Rotationsbewegung durch einen in der Drehachse liegenden Vektor. Aber die vektorielle Addition dieser Vektoren wäre im ersten Fall im Allgemeinen sinnlos, im zweiten falsch.

Wenn nur zwei Vektoren zu addieren sind – z. B. wenn an einem Punkt gleichzeitig zwei Kräfte angreifen – kann die Addition der Vektoren auch durch das »Vektorparallelogramm« vorgenommen werden. Die beiden im selben Punkt fußenden Kraftvektoren werden zu einem Parallelogramm ergänzt. Die vom Fußpunkt ausgehende Diagonale des Parallelogramms ist dann der Summenvektor. Die Abbildung zeigt nicht nur, dass diese Methode zum selben Ergebnis führt wie das Aneinanderheften, sondern auch, dass die Reihenfolge der Vektoren beim Aneinanderheften beliebig ist (Kommutativgesetz):

(2.1)

${\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {V}}\,.$

Abb. 2.2

Übung 2.1 Beweisen Sie, dass gilt

(2.2)

$\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)+{\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {U}}+\left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)=\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {W}}}\right)+{\boldsymbol {V}}\,$

(Assoziativgesetz), auch wenn die Vektoren nicht in einer Ebene liegen (»komplanar« sind).

In Gleichung (2.2) wird – wie in der Algebra - die Reihenfolge der Summationen durch Klammern geregelt

Wegen des Assoziativgesetzes kann man für die Summe einfach schreiben

${\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}.$

Von Gleichung (2.2) ausgehend kann dann leicht bewiesen werden, dass das Assoziativgesetz auch bei beliebig vielen Summanden gilt.

Übung 2.2: Führen Sie diesen Beweis durch.

Subtraktion von Vektoren

Wir verabreden Folgendes:

1. Es sei der Vektor W = -V ein Vektor von gleichem Betrag und gleicher Richtung im Raum aber von umgekehrter Orientierung wie der Vektor V.

2. Die Differenz U – V zweier Vektoren sei gleich der Summe der Vektoren U und (–V):

(2.3)

${\boldsymbol {U}}-{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {U}}+\left({-{\boldsymbol {V}}}\right).$

Damit ist die Subtraktion auf eine Addition zurückgeführt. Wir fügen noch folgende Ergänzung an:

3. Die Bildung der Differenz V – V = V + (-V) führt zum Ausgangspunkt zurück, ergibt also einen Vektor vom Betrag null und unbestimmter Richtung. Dieser Vektor heißt Nullvektor 0. Es ist also

(2.4)

${\boldsymbol {V}}-{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {0}}\,.$

Ist die Summe von n Vektoren gleich dem Nullvektor, also

${\boldsymbol {V}}_{1}+{\boldsymbol {V}}_{2}+\cdots +{\boldsymbol {V}}_{n}={\boldsymbol {0}},$

dann bilden die n Vektoren einen geschlossenen Polygonzug. Weil dann jeder der Vektoren mittels einer linearen Gleichung durch die anderen ausgedrückt (und somit aus diesen berechnet) werden kann, heißen die Vektoren (von einander) linear abhängig.