Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

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Einleitung • Addition und Subtraktion von Vektoren • Multiplikation von Vektoren • Vektoren in kartesischen Basissystemen • Geometrische Anwendungen von Vektoren

Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl

1. Es sei V ein Vektor und n eine natürliche Zahl größer als null. Wie in der elementaren Algebra definieren wir dann das Produkt n V als die Summe von n gleichen Summanden V:

$n{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {V}}+\ldots +{\boldsymbol {V}}\quad \left({n\,\,{\mbox{Summanden}}\,\,{\boldsymbol {V}}}\right)$

Nach dem Gesetz der Vektoraddition ergibt dies einen Vektor von gleicher Richtung wie der Vektor V und von n-fachem Betrag.

2. Nun können wir die Beschränkung auf ganze Zahlen n aufgeben und die Definition verallgemeinern: Wenn k eine positive reelle Zahl ist, dann ist k V ein Vektor von gleicher Richtung wie V und von k-fachem Betrag. Für k = 0 ist

$k{\boldsymbol {V}}=0\cdot {\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {0}}.$

3. Wenn k eine positive reelle Zahl ist, dann ist (-k) V gleich dem Vektor –(k V).

Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe

Es sei V ein Vektor und S eine skalare Größe mit dem Zahlenwert {S} und der Einheit [S], also

$S=\left\{S\right\}\cdot \left[S\right].$

(Gelesen: Größenwert von S = Zahlenwert von S mal Einheit von S.)

Der Betrag des Vektors V sei analog V = {V}·[V]. Dann ist der Vektor W = S·V ein Vektor von der Richtung des Vektors V und dem Betrag W = {S}·{V}·[S]·[V]. Anders ausgedrückt:

Der Betrag des Vektors W ist gleich dem Größenwert von S multipliziert mit dem Betrag von V, die Richtung des Vektors W ist dieselbe wie des Vektors V, wenn der Zahlenwert von S größer null ist, anderenfalls entgegengesetzt.

Beispiel: Die Kraft F, die eine elektrische Ladung Q in einem Punkt eines elektrischen Feldes mit der Feldstärke E erfährt, ist

${\boldsymbol {F}}=Q\cdot {\boldsymbol {E}}.$

Für Q > 0 ist ${\boldsymbol {F}}\uparrow \uparrow {\boldsymbol {E}}$, anderen falls ist ${\boldsymbol {F}}\uparrow \downarrow {\boldsymbol {E}}$.

Es sei zum Beispiel E = 4,0·10⁵ V/m und Q = 3,2·10^-8 As, dann ist der Betrag des Vektors F

$F=3,2\cdot 10^{-8}{\mbox{As}}\cdot 4,0\cdot 10^{5}{\mbox{V/m = 3}}{\mbox{,2}}\cdot {\mbox{10}}^{\mbox{ - 8}}\cdot 4,0\cdot 10^{5}{\frac {\mbox{AsV}}{\mbox{m}}}$ $F=12,8\cdot 10^{-3}{\mbox{N}}\,{\mbox{.}}$

Jeder Vektor V kann dann dargestellt werden als das Produkt seines Betrages mit dem Einheitsvektor e_V = V₀, das ist ein Vektor mit derselben Richtung wie der Vektor V und dem Größenwert 1:

(3.1)

${\boldsymbol {V}}=V\cdot {\boldsymbol {e}}_{\boldsymbol {V}}.$

Umgekehrt ist der Einheitsvektor von der Richtung des Vektors V:

(3.2)

${\boldsymbol {e}}_{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {V}}_{0}={\frac {\boldsymbol {V}}{V}}={\frac {1}{V}}{\boldsymbol {V}}.$

Die (bisher noch nicht definierte) Division eines Vektors durch einen Skalar wird dabei interpretiert als Multiplikation mit dem Kehrwert des Skalars. Diese Definition wird hiermit nachgeholt: Es sei

(3.3)

${\frac {\boldsymbol {V}}{S}}={\frac {1}{S}}{\boldsymbol {V}}.$

Beispiel: Die Feldstärke E in einem Punkt eines elektrischen Feldes ist der Quotient aus der Kraft F , die eine elektrische Ladung Q dort erfährt, und der Ladung:

${\boldsymbol {E}}={\frac {\boldsymbol {F}}{Q}}={\frac {1}{Q}}{\boldsymbol {F}}$

 

Multiplikation eines Vektors mit einem Vektor

Es gibt drei verschiedene Produkte zweier Vektoren V und W: das Skalarprodukt, das Vektorprodukt und das dyadische Produkt.

1. Das Skalarprodukt hat seinen Namen daher, dass es ein Skalar ist. Das Skalarprodukt von V und W wird normgerecht geschrieben

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}\,\,\,{\mbox{oder}}\,\,\,{\boldsymbol {V\,W}}\,.$

(Lies: V mal W oder V W.)

Wir verwenden konsequent die erste Schreibweise.

Definition des Skalarprodukts::

(3.4)

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}\,=V\cdot W\cdot \cos({\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}).$

Unter dem Winkel

$\varphi =\sphericalangle \left({{\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}}\right)=\sphericalangle \left({{\boldsymbol {W}},{\boldsymbol {V}}}\right),$

dem keine Richtung zugeordnet wird, wird der kleinere der beiden von V und W eingeschlossenen Winkel verstanden. Es ist also stets

$0\leqslant \varphi \leqslant \pi .$

In Verbindung mit trigonometrischen Funktionen kann das Winkelzeichen vor der Klammer weggelassen werden.

Das Skalarprodukt wurde eingeführt und definiert im Hinblick auf die Arbeit, die eine Kraft längs eines Weges verrichtet, wenn die Kraftrichtung nicht mit der Verschiebungsrichtung zusammenfällt. Dann ist nämlich

$W={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {s}}=F\cdot \Delta s\cdot \cos \left({{\boldsymbol {F}},\Delta {\boldsymbol {s}}}\right)\,.$

Das Skalarprodukt ist invariant gegenüber Basiswechsel. Dies folgt unmittelbar aus seiner Definition (rechte Seite von Gleichung 3.4): alle darin auftretenden Größen sind von der benutzten Basis unabhängig. Man kann aber auch argumentieren, dass dies schon aus der Schreibweise V·W folgt: Die beiden darin auftretenden Vektoren sind basisunabhängig, also müssen es auch alle damit vorgenommenen Operationen sein, wenn diese selbst keinen Bezug zur Basis haben.

Insbesondere gilt:

${\begin{matrix}{\mbox{Falls}}\;\;\sphericalangle \left({{\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}}\right)=0,\quad {\mbox{ist}}\quad {\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=V\cdot W,\\\\{\mbox{falls}}\;\;\,\sphericalangle \left({{\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}}\right)=\pi ,\quad {\mbox{ist}}\quad {\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=-\,V\cdot W,\\\\{\mbox{falls}}\;\;\,\sphericalangle \left({{\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}}\right)={\frac {\pi }{2}},\,\,\,\,{\mbox{ist}}\quad {\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=0,\\\\{\mbox{falls }}\,\,V,\,W\neq 0\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=0,\quad {\mbox{ist}}\quad {\boldsymbol {V}}\bot {\boldsymbol {W}}.\end{matrix}}$

Umgekehrt muss, falls V senkrecht zu W sein soll, V·W = 0 sein (»Orthogonalitätsbedingung«).

Das Skalarprodukt kann interpretiert werden als das Produkt aus dem Betrag eines beliebigen der beiden Vektoren und dem Betrag der Projektion des anderen Vektors auf jenen.

Abb. 3.1

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=V_{\boldsymbol {W}}\,W=V\,W_{\boldsymbol {V}}.$

Ist der Winkel φ zwischen den beiden Vektoren größer als π/2, ist der Betrag der Projektion mit einem negativen Vorzeichen zu versehen.

Da die Reihenfolge der Faktoren auf der rechten Seite von Gleichung (3.1) beliebig und cos (V,W) = cos (W,V) ist, ist auch die Reihenfolge der beiden Vektoren auf der linken Seite beliebig. Es gilt also für das Skalarprodukt das Kommutativgesetz:

(3.5)

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {W}}\cdot {\boldsymbol {V}}\,.$

Das Skalarprodukt heißt im Englischen auch »dot product« (Punktprodukt).

Übung 3.1: Was bedeutet das doppelte »Punktprodukt«

$\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}\,?$

Ist das doppelte Punktprodukt assoziativ? (Das heißt: Ist (U·V)·W = U·(V·W)?) Begründen Sie Ihre Antwort.

In diesem Beispiel wird der Begriff »Punktprodukt« für zwei unterschiedliche Produkte benutzt: für das Skalarprodukt zweier Vektoren und für das Produkt eines Vektors mit einer skalaren Größe. Wird »Punktprodukt« als Synonym für Skalarprodukt definiert, ist daher die Bezeichnung »doppeltes Punktprodukt« falsch, wird allgemeiner jedes mit einem Punkt dargestellte Produkt als Punktprodukt bezeichnet, ist diese Bezeichnung ungenauer als »Skalarprodukt«.

Übung 3.2: Beweisen Sie graphisch das Distributivgesetz

(3.6)

$\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}},$

wobei die drei Vektoren im Allgemeinen nicht in einer Ebene liegen.

Übung 3.3: Zeigen Sie - ausgehend von Gleichung (3.6) -, dass die Distributivität auch für folgende Terme gilt:

$\left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)\cdot {\boldsymbol {T}}\quad {\mbox{und}}\quad \left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)\cdot \left({{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {T}}}\right).$

Übung 3.4: Gegeben zwei beliebige Vektoren V und W. Berechnen Sie die zu W parallele und die dazu senkrechte Komponente von V.

 

2. Das Vektorprodukt U x V heißt so, weil es ein Vektor ist.

Definition: Das Vektorprodukt U x V (lies: U Kreuz V) ist ein Vektor W, der auf U und V senkrecht steht und so gerichtet ist, dass U, V, W ein Rechtssystem bilden. Der Betrag des Vektors W ist

(3.7)

$W=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right|=U\cdot V\cdot \sin \varphi \,=U\cdot V\cdot \sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {V}}}\right).$

 

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Definition Rechtssystem: Die Vektoren U, V, W bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, wenn die Drehung, die U auf dem kürzesten Weg in die Richtung von V bringt, mit der Richtung von W eine Rechtsschraube bildet. (Drei-Finger-Regel der rechten Hand: Daumen, Zeigefinger und der dazu senkrecht ausgestreckte Mittelfinger bilden ein Rechtssystem.) Wenn U, V, W ein Rechtssystem ist, dann sind auch V, W, U und W, U, V Rechtssysteme und V, U, W usw. sind Linkssysteme.

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Bitte beachten Sie: Die hier benutzten senkrechten Striche um das Vektorprodukt sollen »Betrag von U x V« bedeuten.

Der Betrag von W ist demnach gleich dem Größenwert der Fläche des von U und V »aufgespannten« Parallelogramms.

Da die Vektoren U und V keine Streckenvektoren oder Verschiebungsvektoren sein müssen, hat der Größenwert der Fläche nicht notwendig die Dimension FLÄCHE = LÄNGE x LÄNGE. Zum Beispiel kann V eine Kraft und U ihr Hebelarm sein. Dann ist U x V der Vektor des von der Kraft ausgeübten Drehmoments.

Vertauscht man im Vektorprodukt die Reihenfolge der Faktoren, so bleibt der Betrag des Vektors W = V x U unverändert, aber seine Richtung wird umgedreht, weil nun V, U, W ein Rechtssystem ist.

Also ist

(3.8)

${\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {U}}=-\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)=\left({-{\boldsymbol {U}}}\right)\times {\boldsymbol {V}}.$

Das Vektorprodukt ist also nicht kommutativ.

Dagegen ist das Vektorprodukt distributiv:

(3.9)

${\boldsymbol {U}}\times \left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}.$

(Der folgende, etwas aufwändige Beweis ist nötig, um später das Vektorprodukt aus den Vektorkomponenten berechnen zu können.)

Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir die Zeichenebene in die von den Vektoren U und V aufgespannte Ebene legen und diese dann so drehen, dass U senkrecht nach oben zeigt.

Abb. 3.2

Das von V und W aufgespannte Parallelogramm wird in die durch O gehende und auf U senkrecht stehende Ebene projiziert. Für die Größenwerte der Projektionen gilt dann

$v=V\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {V}}}\right),\quad w=W\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {W}}}\right),\quad t=T\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {T}}}\right).$

Multipliziert man die Projektionen alle mit dem Größenwert U, so erhält man das größere Parallelogramm OPQR, für dessen Seiten gilt:

${\begin{matrix}{\overline {OP}}=U\,v=U\,V\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {V}}}\right)=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right|,\\\\{\overline {OR}}=U\,w=UW\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {W}}}\right)=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}}\right|,\\\\{\overline {OQ}}=U\,t=UT\sin \left({{\boldsymbol {U}},{\boldsymbol {T}}}\right)=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {T}}}\right|.\end{matrix}}$

Die Größenwerte der Seiten des Parallelogramms sind also gleich den Größenwerten der Vektorprodukte U x V, U x W und U x T. Nun wird das Parallelogramm in seiner Ebene um 90° links herum gedreht. Die folgende Abbildung zeigt die verkleinerte Draufsicht.

Abb. 3.3

Die einander zugeordneten Seiten stehen nun aufeinander senkrecht. Damit steht OP' aber auch auf U senkrecht, OQ' auf T und OR' auf W. Somit gilt für die drei rot gezeichneten Vektoren:

${\overrightarrow {OP'}}={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}},\quad {\overrightarrow {OR'}}={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}},\quad {\overrightarrow {OQ'}}={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {T}}.$

Nun ist aber

${\overrightarrow {OP'}}+{\overrightarrow {OR'}}={\overrightarrow {OQ'}}\quad \Rightarrow \quad {\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {T}},$

und da T = V + W ist, erhält man schließlich

(3.10)

${\boldsymbol {U}}\times \left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}.$

Übung 3.4: Zeigen Sie , dass das Distributivgesetz auch für folgende Terme gilt:

${\boldsymbol {U}}\times \left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {T}}}\right)\quad {\mbox{und}}\quad \left({{\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}}}\right)\times \left({{\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {T}}}\right).$

Auf das dyadische Produkt kann hier noch nicht näher eingegangen werden, weil dazu die Matrizendarstellung der Vektoren nötig ist. Es hat auch in der Vektoralgebra und –analysis keine Bedeutung.

 

 

Mehrfache Produkte von Vektoren

Eine einfache Behandlung mehrfacher Produkte von Vektoren ist im Allgemeinen erst mit Hilfe der Komponentendarstellung in einem Basissystem möglich. Daher wird an dieser Stelle nur ein einziger Typ eines mehrfachen Produkts behandelt, das so genannte Spatprodukt (U x V)·W. Der erste Faktor dieses Skalarprodukts ist der Flächenvektor des von U und V aufgespannten Parallelogramms. Die skalare Multiplikation mit W ergibt den Größenwert des Volumens V_S des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (Spates), wenn U, V, W ein Rechtssystem ist, anderenfalls den negativen Größenwert von V. (Der Begriff »Spat« ist der Mineralogie entlehnt, denken Sie zum Beispiel an Feld- oder Flussspat.)

Abb. 3.4

Da das Volumen des Spates unabhängig davon ist, welche seiner Flächen man als Grundfläche betrachtet, ist

(3.11)

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}=\left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)\cdot {\boldsymbol {U}}=\left({{\boldsymbol {W}}\times {\boldsymbol {U}}}\right)\cdot {\boldsymbol {V}}\\=-\left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {U}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}=-\left({{\boldsymbol {W}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {U}}=-\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)\cdot {\boldsymbol {V}}.\end{matrix}}$

Das Volumen V_S des Spates ist

(3.12)

$V_{S}=\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right|\,\,W\,\,\left|{\cos \psi }\right|=U\,V\,W\sin \varphi \,\,\left|{\cos \psi }\right|.$

Für das Spatprodukt ist auch folgende Schreibweise gebräuchlich

(3.13)

$\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}=\left[{\boldsymbol {UVW}}\right]$

Division durch einen Vektor

In jeder mathematischen Formelsammlung wird man vergeblich nach Regeln für die Division durch einen Vektor suchen. Was ist der Grund dafür?

In der Algebra der reellen Zahl ist die Umkehrung der Multiplikation eine Operation mit eindeutigem Ergebnis: Aus den Größenwerten des Produkts und einer der beiden Faktoren kann der andere Faktor eindeutig ermittelt werden.

$a\cdot b=c\quad \Leftrightarrow \quad a={\frac {c}{b}}$

Ein analoger Schluss ist weder beim Skalaprodukt noch beim Vektorprodukt möglich, weil der Größenwert des Produkts nicht allein von den Größenwerten der beiden vektoriellen Faktoren, sondern auch von dem Winkel zwischen ihnen bestimmt wird. Die sich daraus ergebende Unsicherheit beim Rückschluss spiegelt sich auch in der Physik wider: Zum Beispiel kann weder bei der Arbeit noch beim Drehmoment bei Kenntnis des Ergebnisses und des einen der beiden Vektoren eindeutig auf den anderen geschlossen werden. Daher muss in der Vektoralgebra auf die Division durch einen Vektor verzichtet werden.