Vektoralgebra: Vektoren in kartesischen Basissystemen

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Zur Startseite des BuchesLösungen Druckversion
Einleitung Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation von Vektoren Vektoren in kartesischen Basissystemen Geometrische Anwendungen von Vektoren

Einführung eines kartesischen Basissystems[Bearbeiten]

Drei aufeinander senkrechte Einheitsvektoren (Vektoren vom Betrag 1, die durch eine beliebig gewählte Strecke dargestellt werden), bilden die Basis B{e1, e2, e3} eines kartesischen oder orthonormalen »Basissystems«. Dieses entsteht aus der Basis durch geradlinige Verlängerung der Basisvektoren in beiden Richtungen. Die Basisvektoren bilden in der genannten Reihenfolge ein Rechtssystem.


SiPe Vektoralgebra 4.1.PNG
Abb. 4.1

Die Richtung der Basis zur Zeichenebene ist beliebig wählbar.

Wir betrachten nun einen beliebig im Raum gelegenen Vektor V, den wir zunächst parallel zu sich selbst verschieben, sodass sein Fußpunkt im Ursprung O der Basis zu liegen kommt. Auf die folgenden Überlegungen hat die Parallelverschiebung keinen Einfluss.


SiPe Vektoralgebra 4.2.PNG
Abb. 4.2

Die (senkrechten) Projektionen V1, V2, V3 des Vektors V auf die Achsen des Basissystems heißen seine vektoriellen Komponenten, deren Beträge heißen seine skalaren Komponenten im gegebenen Basissystem. Durch seine skalaren oder seine vektoriellen Komponenten ist der Vektor im Basissystem eindeutig beschrieben:



Eine zweite Möglichkeit, den Vektor zu beschreiben, ist die Angabe seines Betrages und der drei Winkel (»Richtungswinkel«) φ1, φ2, φ3, die er mit den Basisvektoren bildet:



SiPe Vektoralgebra 4.3.PNG
Abb. 4.3

Für die Richtungswinkel gilt die beim Skalarprodukt getroffene Verabredung: Die Winkel sind nicht gerichtet und es gilt



Zwischen den skalaren Komponenten und den »Richtungskosinus« besteht – wie man der Abbildung 4.3 entnehmen kann - folgender Zusammenhang:


(4.1)

Wegen


(4.2)

ist


(4.3)


 

Rechnen mit Vektoren in Komponentendarstellung[Bearbeiten]

Summe und Differenz zweier Vektoren[Bearbeiten]

Es sei



Dann ist



und wegen der Assoziativ- und Distributivgesetze


(4.4)

 

Übung 4.1:

Gegeben V = (V1, V2, V3) und W = (W1, W2,W3). Berechnen Sie die skalaren Komponenten des Vektors U = V + W, sowie seinen Größenwert und seine Richtungskosinus cos ψi (i = 1, 2, 3).

Skalarprodukt zweier Vektoren[Bearbeiten]

Aus der Definition des Skalarprodukts ergibt sich für die Skalarprodukte von je zwei Basisvektoren


(4.5)

und


(4.6)


Unter Verwendung des KRONECKER-Symbols δik, für das gilt


(4.7)


kann man dafür einfach schreiben


(4.8)


Für das Skalarprodukt von V und W gilt dann



und wegen des Distributivgesetzes


und daher


(4.9)

Insbesondere ist


(4.10)


Übung 4.2:

Berechnen Sie den von V und W (siehe Übung 4.1) eingeschlossenen Winkel.

Vektorprodukt zweier Vektoren[Bearbeiten]

Aus der Definition des Vektorprodukts ergibt sich für die Vektorprodukte von je zwei Basisvektoren:


(4.11)


Für das Vektorprodukt zweier Vektoren gilt wegen der Distributivität



woraus sich mit den Gleichungen (4.11) ergibt:


(4.12)


Die rechte Seite dieser Gleichung kann als Determinante geschrieben und in dieser Form leichter gemerkt werden:


(4.13)


Analog ergibt sich das Vektorprodukt


(4.14)


Das Spatprodukt[Bearbeiten]

Für das Spatprodukt lautet die Komponentendarstellung


(4.15)




Bei der letzten Umformung wurden die Zeilen der Determinante zyklisch vertauscht, wodurch der Größenwert der Determinante unverändert bleibt.

Vektorprodukt dreier Vektoren (»Entwicklungssatz«)[Bearbeiten]

Für das doppelte Vektorprodukt (U x V) x W kann man schreiben


(4.16)


Bezeichnet man die Klammernterme der Reihe nach mit K1, K2, K3, so kann man dafür schreiben


Die Berechnung der Determinante ergibt für den Faktor von e1:



Addiert man beim ersten Term das Produkt U1V1W1 und subtrahiert es beim zweiten Term, so erhält man



Analog erhält man den Faktor von e2:


und für den Faktor von e3:



Also ist



und schließlich


(4.17)


Analog findet man



Dies ist der so genannte Entwicklungssatz. Das doppelte Vektorprodukt ist demnach eine Linearkombination der Vektoren U und V, also ein Vektor, der in der Ebene der Vektoren U und V liegt.

 


Übung 4.3

Gegeben die Vektoren U = (1, 2, 3), V = (1, 3, -2) und W = (-2, -1, 0). Berechnen Sie:

1. U · V,

2. U x V,

3. U · (V x W),

4. U x (V x W),

5. (U x V) x W.

Weitere Produkte mit vektoriellen Faktoren[Bearbeiten]

Mit den bisher abgeleiteten Regeln lassen sich weitere beweisen:


(4.18)


Die in eckigen Klammern stehenden Produkte sind Spatprodukte (siehe dort).