Wikibooks:Abstellraum/ Frequenzweichen für Lautsprecher

Frequenzweichen für Lautsprecher

Ziel

Ein Frequenzband von typischerweise 15 Hz bis 15 kHz soll mittels eines Weichenfilters so auf mehrere Töner aufgeteilt werden, dass

• jeder Töner nur das Frequenzband zugewiesen bekommt, das er auch betrags- und phasenrichtig abstrahlen kann (Töner können im Allgemeinen nicht über mehr als eine Frequenzdekade eingesetzt werden)
• die Summe der einzelnen Übertragungsfunktionen des Weichenfilters im gesamten Frequenzband stets den Betrag 1 ergibt (streng Faktor 1, d.h. Betrag 1 und Phase 0: in der vorstehenden Zielsetzung wird also ein Phasenfrequenzgang ungleich Null zugelassen)

Architektur

Das Eingangsfrequenzband kann

• mittels mehrerer (meist 3) paralleler Filter, unmittelbar in die gewünschten Einzelfrequenzbänder zerlegt werden, oder
• jeweils in ein Hochpass-Frequenzband und ein Tiefpass-Frequenzband zerlegt werden, welche dann gegebenenfalls jeweils in weitere Hochpass- und Tiefpass-Frequenzbänder zerlegt werden

Grad der Filter

Die Flankensteilheit des Betragsfrequenzgangs realer Filter hängt im Sperrbereich (in dem die Übertragungsfunktion gegen 0 geht) von der Differenz des Grads des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion ab. Pro Grad Differenz erhält man einen Abfall bzw. Anstieg des Betragsfrequenzgangs um 20 dB/Dekade oder äquivalent 6 dB/Oktave. In der Praxis wird mit Differenzen des Grades von 2 bis 4 gearbeitet um die einzelnen Frequenzbänder zu selektieren. Andernfalls würden den Tönern durch die ungenügende Flankensteilheit des Weichenfilters erhebliche Leistungen in Frequenzbereichen zugeführt werden, in denen sie nicht mehr betrags- und phasenrichtig abstrahlen können, was wiederum zu linearen und nichtlinearen Verzerrungen führen würde.

Übertragungsfunktion H(p)

Die Übertragungsfunktion $H[p]$ beschreibt die kompexe frequenzabhängige Übertragung eines Eingangssignals zu Ausgang des Filters.

$H[p]={\frac {\sum _{i=0}^{n}a_{i}p^{i}}{\sum _{i=0}^{n}b_{i}p^{i}}}$

mit

$a_{i}$ Koeffizienten des Zählerpolynoms

$b_{i}$ Koeffizienten des Nennerpolynoms

$p=j*2*pi*f$ Komplexe (Kreis)Frequenz der Frequenz f

n Grad des Filters

Anforderungen an die Übertragungsfunktion

• Damit die Übertragungsfunktion realisierbar wird müssen die Nullstellen des Nennerpolynoms

$0={\sum _{i=0}^{n}b_{i}p^{i}}$

welche zugleich die Polstellen der Übertragungsfunktion $H[p]$ sind in der linken komplexen Halbebene liegen (deren Realteile müssen also kleiner Null sein)

• Das Zählerpolynom darf nur bei so vielen Potenzen von p von Null verschiedene Koeffizienten $a_{i}$ aufweisen, wie Ausgänge des Filters für unterschiedliche Frequenzbänder vorgesehen sind. Im einfachsten Fall, der Auftrennung in ein Hochpass- und ein Tiefpass-Frequenzband dürfen im Zähler also nur die Koeffizienten $a_{0}$ und $a_{n}$ von Null verschieden sein.

• Der Betrag des Zählerpolynoms muss für alle Frequenzen gleich dem Betrag des Nennerpolynoms sein, damit der Betrag der Summe der Einzelübertragungsfunktionen den Wert 1 hat, also

$|{\sum _{i=0}^{n}a_{i}p^{i}}|=|{\sum _{i=0}^{n}b_{i}p^{i}}|$

Aus diesen drei Anforderungen lassen sich nun recht einfach die Koeffizienten der Übertragungsfunktion berechnen.

Beispiel für den Grad 1

Die Übertragungsfunktion für den in der Praxis nicht brauchbaren Fall eines Weichenfilters vom Grad 1 lautet allgemein

$H[p]={\frac {a_{0}+a_{1}p^{1}}{b_{0}+b_{1}p^{1}}}$

und nach Erfüllen der Betragsbedingung für Zähler und Nenner und falls die strenge Bedingung $H[p]=1$ gefordert wird

$H[p]={\frac {1+p^{1}}{1+p^{1}}}$

oder falls die Bedingung $|H[p]|=1$ nur für den Betrag gefordert wird

$H[p]={\frac {-1+p^{1}}{1+p^{1}}}$

Die Übertragungsfunktion ist im ersten Fall die triviale Lösung und im zweiten Fall ein Allpass vom Grad 1 mit konstantem Betragsfrequenzgang $|H[p]|=1$.

Durch Aufspalten des Zählerpolynoms im zweiten Fall erhält man die gesuchte Tiefpass-Übertragungsfunktion

$H[p]={\frac {-1}{1+p^{1}}}$

und die entsprechende Hochpass-Übertragungsfunktion

$H[p]={\frac {p^{1}}{1+p^{1}}}$

Beispiel für den Grad 2

Die Übertragungsfunktion eines Weichenfilters vom Grad 2 lautet allgemein

$H[p]={\frac {a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}}{b_{0}+b_{1}p^{1}+b_{2}p^{2}}}$

Will man die Bedingung für Zähler und Nenner $H[p]=1$ erfüllen zeigt sich, dass die weitere Bedingung für den Zählerkoeffizienten $a_{1}=0$ nicht erfüllbar ist, das Zählerpolynom kann also nicht in genau zwei Summanden aufgespaltet werden.

Falls die Bedingung $|H[p]|=1$ nur für den Betrag gefordert wird, erhält man nach Koeffizientenvergleich aus der Betragsbedingung für das Zähler- und Nennerpolynom

$H[p]={\frac {-b_{0}^{2}+p^{2}}{b_{0}^{2}+2b_{0}p^{1}+p^{2}}}$

oder nachdem $b_{0}=1$ gesetzt wird, die auch von Linkwitz angegebene Lösung

$H[p]={\frac {-1+p^{2}}{1+2p^{1}+p^{2}}}$

Nach Faktorisieren erhält man

$H[p]={\frac {(-1+p)(1+p)}{(1+p)(1+p)}}$

Die Übertragungsfunktion enthält ein Allpass vom Grad 1 und weist den gewünschten konstantem Betragsfrequenzgang $|H[p]|=1$ auf. Die Übertragungsfunktion hat für die Frequenz 0 den Wert -1 und bei hinreichend hohen Frequenzen den Wert +1. Der Phasenfrequenzgang verläuft also im betrachteten Frequenzband von +180 Grad nach 0 Grad

Durch aufspalten des Zählerpolynoms erhält man die gesuchte Tiefpass-Übertragungsfunktion

$H[p]={\frac {-1}{1+2p^{1}+p^{2}}}$

und die entsprechende Hochpass-Übertragungsfunktion

$H[p]={\frac {p^{2}}{1+2p^{1}+p^{2}}}$

die beide technisch einfach realisiert werden können.

Beispiel für den Grad 4

• Anmerkung: Analoges Vorgehen für den Grad 3 zeigt, dass die drei eingangs genannten Bedingungen nicht mit reellen Koeffizienten erfüllbar sind.

Die Übertragungsfunktion eines Weichenfilters vom Grad 4 lautet allgemein

$H[p]={\frac {a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+a_{3}p^{3}+a_{4}p^{4}}{b_{0}+b_{1}p^{1}+b_{2}p^{2}+b_{3}p^{3}+b_{4}p^{4}}}$

Erfüllt man die drei eingangs genannten Bedingung mit $|H[p]|=1$, erhält man mit $b_{0}=1$

$H[p]={\frac {1+p^{4}}{1+2{\sqrt {2}}p^{1}+4p^{2}+2{\sqrt {2}}p^{3}+p^{4}}}$

Nach Faktorisieren erhält man

$H[p]={\frac {(1+{\sqrt {2}}p^{1}+p^{2})(1-{\sqrt {2}}p^{1}+p^{2})}{(1+{\sqrt {2}}p^{1}+p^{2})(1+{\sqrt {2}}p^{1}+p^{2})}}$

Die Übertragungsfunktion enthält ein Allpass vom Grad 2 und weist den gewünschten konstantem Betragsfrequenzgang $|H[p]|=1$ auf. Die Übertragungsfunktion hat für die Frequenz 0 den Wert +1 und auch bei hinreichend hohen Frequenzen den Wert +1. Der Phasenfrequenzgang verläuft also im betrachteten Frequenzband von +0 Grad nach -360 Grad

Durch aufspalten des Zählerpolynoms erhält man die gesuchte Tiefpass-Übertragungsfunktion

$H[p]={\frac {1}{1+2{\sqrt {2}}p^{1}+4p^{2}+2{\sqrt {2}}p^{3}+p^{4}}}$

und die entsprechende Hochpass-Übertragungsfunktion

$H[p]={\frac {p^{4}}{1+2{\sqrt {2}}p^{1}+4p^{2}+2{\sqrt {2}}p^{3}+p^{4}}}$

die beide technisch einfach durch Kettenschaltung zweier identischer Filter vom Grad 2 realisiert werden können. Für den Tiefpass vom Grad 2 lautet die Übertragungsfunktion

$H[p]={\frac {1}{1+{\sqrt {2}}p^{1}+p^{2}}}$

Für den Hochpass vom Grad 2 lautet die Übertragungsfunktion

$H[p]={\frac {p^{2}}{1+{\sqrt {2}}p^{1}+p^{2}}}$

Anmerkungen

• Das dargestellte Syntheseverfahren für Weichenfilterfunktionen ist auf beliebige Grade anwendbar und kann technisch einfach mittels Fiterstufen vom Grad 2 realisiert werden.
• Die Optimierung des Betragsfrequenzgangs erfolgt hinsichtlich der Summe der Einzel-Übertragungsfunktionen und nicht separat für letztere. Wie aus den Beispielen ersichtlich ergeben sich die Koeffizienten für die Zähler- und Nennerpolynome aus den drei eingangs genannten Bedingungen – sie sind nicht nach anderen Optimierungsverfahren für Einzelübertragungsfunktionen wie zum Beispiel Potenz oder Bessel wählbar.
• Die technische Realisierung wird sinnvollerweise durch aktive Filter vom Grad 2 vorgenommen. Dies eröffnet die Option jeden Töner zusätzlich durch ein Filter mit dem inversen Frequenzgang seiner Übertragungsfunktion linear zu entzerren und/oder ihn in eine Gegenkopplungsanordnung einzubeziehen, wie dies zum Beispiel bei aktiven Lautsprechern der Firma Backes&Müller der Fall ist.
• Eine alternative technische Realisierung erhält man, wenn man von der oben dargestellten faktorisierten Übertragungsfunktion die Tiefpass-Übertragungsfunktion subtrahiert um die Hochpass-Übertragungsfunktion zu erhalten. Dies führt zur Realisierung des Tiefpasszweiges wie oben gesagt und des Hochpasszweiges aus der Differenz des allpassgefilterten Eingangssignals (Allpass vom Grad 2 in der faktorisierten Form) mit dem Tiefpasssignal. Diese Realisierungsvariante ist auch unter Lipshitz/Vanderkooy bekannt und kommt offensichtlich zum Beispiel in den aktiven Lautsprechern von Friedrich Müller (Silbersand) zur Anwendung. Umgekehrt, aber technisch weniger sinnvoll, könnte auch der Tiefpasszweig aus der entsprechenden Subtraktion gewonnen werden.
• Die dargestellte Systematik der Herleitung von Übertragungsfunktionen für Weichenfilter beschränkt sich hier auf Hochpass-/Tiefpassweichen. Dies geht von einer Filterarchitektur aus, welche das Eingangsfrequenzband in ein Hochpass-Frequenzband und ein Tiefpass-Frequenzband zerlegt, welche dann im Falle von drei oder mehreren gewünschten Frequenzbändern jeweils in weitere Hochpass- und Tiefpass-Frequenzbänder zerlegt werden.