Zufall: Einleitung

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Einleitung:

Der Zufall beherrscht viele wichtige Prozesse in der Physik, Chemie und Biologie. Deswegen ist ein möglichst gutes Verständnis des Begriffes Zufall anzustreben.

Eine elementare Frage zum Thema lautet: Gibt es einen echten Zufall, oder bezeichnen wir etwas nur deshalb als zufällig, weil wir nicht über genügend Informationen für eine genaue Vorhersage verfügen? Was ist echter Zufall und was ist unechter Zufall? Die Quantenphysiker meinen, es gibt echten Zufall, beispielsweise beim radioaktiven Zerfall von Atomen.

Viel Energie wurde und wird in der Diskussion zum Thema Zufall damit vertan, dass auf der einen Seite der Zufall komplett geleugnet wird, dieser auf der anderen Seite die Ursache für alles sein soll.

Aus dieser geistigen Blockade kommt man wieder heraus, wenn man anfängt, mit dem Zufall zu experimentieren und zu rechnen. Dies bringt einen irgendwann zu der Ansicht, dass die Mischung aus zufälligen und gesetzmäßigen Ereignissen der Realität am besten gerecht wird.

Der Zufall zeigt Gesetzmäßigkeiten, nämlich z.B. das Gesetz der großen Zahl. Dieses Gesetz über den Zufall kann man heranziehen, um zu testen, ob berechnete Wahrscheinlichkeiten den praktisch beobachteten Häufigkeiten eines konkreten Zufallsmodells mit beschriebener Verteilungsfunktion entsprechen oder nicht.

Es hat sehr lange gedauert, bis man gemerkt hat, dass dem Zufall neben seiner Anwendung im Glücksspiel auch sehr nützliche Seiten abzugewinnen sind. Die Brauchbarkeit des Zufalls als Gerechtigkeitsfaktor oder als Testverfahren für schwierige Entscheidungen wurde in der philosophischen-theoretischen Diskussion lange nicht erkannt, obwohl er sicher im Alltagsleben öfter schon dazu benutzt wurde. Beispielsweise muss aus einer Gruppe von Menschen einer ausgewählt werden, um eine sehr gefährliche Aufgabe durchzuführen. Keiner will es machen. Es wird per Los entschieden, wer es machen muss. (Vergleich zum Beispiel Charly Chaplin: Der große Diktator: In einen Kuchen wird eine Geldmünze gebacken. Jeder aus der Gruppe erhält ein Stück Kuchen. Wer hat die Münze in seinem Stück?)

Es ist erstaunlich, dass es in der realen Welt sehr einfache Verfahren gibt, die sehr gute Zufallszahlen und Zufallsreihen liefern, dass es in der Mathematik aber keinen elementaren und trivialen Zufallsprozess gibt. Man muss mühsam Pseudozufallszahlen konstruieren, um mit dem Zufall arbeiten zu können. Platon würde sich über den Zufall doch ein bisschen ärgern, denn beim Zufall scheint die Realität dem mathematischen Ideal überlegen zu sein.

Wenn man die drei Basisbegriffe der heutigen Naturwissenschaften Stoff (= Materie), Strahlung (= Energie) und Struktur (= Information) betrachtet, kann man fragen, wie der Begriff Struktur in weitere Subkategorien untergliedert werden kann.

Die erste und wichtigste Unterteilung der Struktur ist dann die Unterscheidung zwischen Zufallsstruktur und geordneter Struktur oder auch zwischen Zufallsinformation und nicht zufälliger Information.

Basisbegriffe der Natur- und Strukturwissenschaften

  Materie ------------  Energie
     \                   /
      \                 /
       \               /
        \             /
          Information
              /  \
             /    \
            /      \
           /        \
          /          \
 Zufalls-            geordnete
 Information         Information
      |                  |
      |                  |
      |                  |
Beispiel:             Beispiel:
01101100110111100010  10101010101010101010
      |                  |
      |                  |
      |                  |
Stochastik            Restliche Mathematik
Statistik

**Schneeflocken, ein Spiel von Zufall und Ordnung**

Reiner gleichförmiger Zufall ist eher langweilig.
Eine Ordnung ohne jeden Zufall ist auch eher langweilig.

>> Interessant ist die Mischung aus Zufall und Ordnung.

Wenn man 1 Gramm Wasser betrachtet, dann ist ein Wassertropfen mit Zufallsstruktur der Wassermoleküle eher langweilig. Ein geordneter Einkristall des Wassers ist auch langweilig (wenn es so etwas gibt). Interessant ist es zwischen drin: beispielsweise ein Schneekristall. Hier gibt es eine unendliche Vielfalt der Formen.

Siehe auch Beispiele für geordnete und zufällige Muster

Was ist Zufall?

Man spricht von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder nicht beabsichtigt auftritt. Umgangssprachlich bezeichnet man ein Ereignis auch als zufällig, wenn es nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar ist. Sind Zufälligkeit und Unberechenbarkeit oder Unvorhersagbarkeit das selbe? Gibt es so etwas wie Zufall objektiv? Der Bayessche Wahrscheinlichkeitsbegriff verneint diese Frage und definiert Zufall beziehungsweise Wahrscheinlichkeiten als nichts Objektives, sondern lediglich als subjektive Höhe des Wetteinsatzes: Gegeben eine Menge von Information/Messungen/Datenpunkten und nach einer Einschätzung gefragt, wie hoch würde man auf die Korrektheit seiner Einschätzung wetten?

Als zufällig gelten Ereignisse wie eine Augenzahl beim Würfeln oder das Ergebnis eines Münzwurfs, jedenfalls wenn eine Manipulation ausgeschlossen wurde.

Die Wiederholung bringt des Zufall an den Tag, denn ein Ereignis ist genau dann zufällig, wenn es unter genau den gleichen Bedingungen manchmal so und manchmal anders ausgeht.

Zufall ist das unberechenbare Geschehen, das sich unserer Vernunft und Absicht entzieht. – Gebrüder Grimm (Deutsches Wörterbuch)

Einige wichtige Basisaussagen über den Zufall

Ein elementarer Zufallsprozess ist der Münzwurf, denn er liefert eine zufällige Entscheidung zwischen zwei Alternativen. Man beachte, dass es für den Münzwurf irrelevant ist, ob das Ergebnis prinzipiell unberechenbar ist oder bei genauer Kenntnis der Rahmenbedingungen vorausgesagt werden kann. Solange alle Beteiligten gleich wenig über das Ergebnis wissen, wird der Münzwurf als fair empfunden.
Eine beispielsweise durch Münzwurf erzeugte Zufallsfolge von 0 und 1 lässt sich ohne Verlust kaum komprimieren.
Durch den Zufall ergibt sich keine Verletzung des Kausalitätsprinzips.
Je mehr Ordnung und Regelmäßigkeit man in einem System erkennt, desto weniger Zufall verbleibt darin.
Zufall heißt nicht, dass alles möglich ist. Ein zufälliger Münzwurf kann nur Kopf oder Zahl ergeben. Falls die Münze auf der Kante liegen bleibt, wirft man sie eben nochmals...
Manche meinen, wenn Zukunft völlig festgelegt und vorherbestimmt ist (deterministische Weltanschauung), dann gibt es keinen Zufall. Andere meinen, die Nachkommastellen der Zahl Pi 3,14159... seien völlig zufällig. Offensichtlich wird hier das Wort "Zufall" in zwei einander widersprechenden Bedeutungen verwendet.
Die Mischung aus zufälligen und nichtzufälligen Ereignissen wird der Realität am besten gerecht. Die Frage ist lediglich, in welchem Verhältnis zu mischen ist.
Bevor man ein Ereignis als zufällig ansieht, sollte man sich eingehende Gedanken darüber machen, ob es wirklich rein zufällig ist. Manchmal ist der Zufall eine zu bequeme Erklärungsvariante.
Das menschliche Gehirn neigt andererseits dazu, auch in rein zufällige Geschehnisse Gesetzmäßigkeiten hinein zu interpretieren, da das kausale Denken insgesamt sich sehr erfolgreich erwiesen hat. Interessant ist in diesem Zusammenhang das Experiment von Wright an der Universität Stanford mit dem "vielarmigen Banditen", siehe z.B. Paul Watzlawick, Wie wirklich ist die Wirklichkeit?

Kontroverse Ansichten über den Zufall

Echter Zufall

Es kann kein Verfahren geben, wie man "echten" Zufall (was immer das sein soll) von jenen Ereignissen unterscheiden kann, die nur scheinbar zufällig sind, tatsächlich aber einem unbekannten deterministischen Gesetz gehorchen: Eine mit einem One-Time-Pad verschlüsselte Nachricht hat ohne Kenntnis des Schlüssels ganz die gleichen Eigenschaften wie eine "echte" Zufallsfolge. Für die Besitzer des Schlüssels aber ist sie keine Zufallsfolge, sondern eine ganz normale Nachricht. Zufall lässt sich also nur ausschließen (indem man ein deterministisches Gesetz findet), nicht aber nachweisen.

Shannonentropie

- Beispielsweise ist die in der Informationstheorie verwendete Shannon-Entropie eine rein statistische Zählung von Zeichenhäufigkeiten und sagt nichts über einen deterministischen oder zufälligen Zusammenhang der Zeichen aus.

Menge an Zufall gibt es nicht

'Menge an Zufall' gibt es so nicht. Das ist ein hin und wieder aufkommendes Missverständnis bei Benutzung der Begriffskombinationen. Zumindest gibt es dies nicht in der Mathematik. Man könnte diesen Begriff definieren. Dann käme per se durch Definition die Ausdrucksmöglichkeit heraus.

Betrachtet man die Folgen im Nachhinein, weil sie schon existieren, kann man Häufigkeiten bestimmen oder eine Häufigkeitsverteilung. Möchte man etwas über zufallsabhängige Folgen aussagen, die man durch Zufall erzeugen kann, so ist die Wahrscheinlichkeit oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (auch Verteilungsfunktion) heranzuziehen.

Eine informationstheoretische Entropie gibt es nicht

Eine 'informationstheoretische Entropie' gibt es nicht. Wohlwollend ausgelegt, ist es vermutlich die von Shannon hergeleitete Entropie.

Das ist die gemittelte Summe der Informationsgehalte der einzelnen Zeichen in der Folge. Shannon definiert diese über Wahrscheinlichkeiten. Wir können in gegebenen Folgen nur Häufigkeiten messen. Da seine Entropie nur über die Wahrscheinlichkeiten bestimmt wird, ist die Anordnung der Zeichen innerhalb der Folge irrelevant.

Die Entropie um der Entropie Willen zu bestimmen ist unfruchtbar. Man kann diese zwar bestimmen, muß hierbei aber bestimmte Überlegungen anstellen:

Welche Aussage soll über die Folgen getroffen werden?
Welches Maß ist hierzu geeignet? (Anm.: Es gibt verschiedene Entropiemaße, reicht hier nicht eine Verteilungsfunktion oder die Angabe der Wahrscheinlichkeit / Häufigkeit aus?)
Wenn es ein solches Maß gibt, dann geht's weiter...

Hat der Zufall ein Gedächtnis?

- Das Zufallsexperiment des einmaligen Wurfs eines Würfels hat kein Gedächtnis. Das Zufallsexperiment der einmaligen eingeworfenen Roulettekugel auch nicht. Fällt die Kugel z.B. auf 5, so ändert das im idealen Roulettespiel nichts an den Chancen, dass das nächste Mal wieder die 5 kommt
  - Im realen Roulettespiel ist wegen mechanischer Unregelmäßigkeiten die Möglichkeit gegeben, dass eine Ungleichverteilung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Zahlen vorliegt. Roulette hat also ein Gedächtnis in dem Sinn, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine der häufig gefallenen Zahlen wieder kommt, höher oder zumindest gleich hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine der bisher selten gefallenen Zahlen kommt. Im realen Roulette müssen die Kesselscheiben daher häufig getauscht werden, damit niemand diese Ungleichverteilung ausnutzen kann.
- Kartenspiele haben üblicherweise ein Gedächtnis: die gezogene Karte kommt meist entsprechend der Regeln nicht zurück ins Spiel. Wird eine hohe Karte gezogen, so sinken die Chancen, dass das nächste Mal wieder eine hohe Karte gezogen wird. Daraus können Gewinnstrategien für das betreffende Spiel entsprechend der Regeln abgeleitet werden.

Der Zufall hat kein Gedächtnis. Was versteht man unter dieser Aussage?

Beobachtet man Roulettespieler, dann kann man an ihrem Verhalten erkennen, wie sie oft den Zufall falsch einschätzen. Gab es beispielsweise hintereinander 4 mal eine rote Zahl, dann setzen einige Spieler vermehrt auf Schwarz, weil sie meinen, die Wahrscheinlichkeit für Schwarz sei nach 4mal Rot größer geworden. Das ist ein Fehlschluß. Der Roulettetisch und die Kugel berücksichtigen in keiner Weise vorherige Würfe. Etwas plakativ ausgedrückt kann man sagen: Das Roulettespiel hat kein Gedächtnis. Hat das Roulettespiel keine Null bleibt die Wahrscheinlichkeit für Rot oder Schwarz jedesmal bei 0,5.

Ähnliches gilt für das Lottospiel. Durch ein sogenanntes Systemlotto versucht man aus historischen Lottodaten Trends für zukünftige Gewinnzahlen zu erkennen. Das ist wahrscheinlich vergebliche Mühe, wenn die Lottoapparatur gut geeicht ist und wirklich zufällige Zahlen liefert.