Analysis: Folgen und Reihen: Folgen: Geometrische Folgen

Analysis Folgen

Geometrische Folgen weisen einen konstanten Teiler ihrer Folgenglieder auf, d.h. der Quotient zweier Glieder einer geometrischen Folge ist immer gleich groß: ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q$. Jedes einzelne Glied lässt sich eindeutig aus dem Anfangsglied $a_{1}$ (bzw. einem bestimmten Glied, wenn das Anfangsglied nicht gegeben ist) und dem Quotienten $q$ bestimmen.

Bildungsregel

Die Bildungsregel einer geometrischen Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ lautet:

$a_{n+1}=a_{n}\cdot q.$

Dies führt zu der Formel für das Glied $a_{n}$:

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

So berechnet man:

$a_{2}=a_{1}\cdot q^{1}$

$a_{3}=a_{1}\cdot q^{2}$

usw.

Beispiel

Wie lautet das achte Glied einer geometrischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{1}={\tfrac {4}{5}}$ und dem Quotienten $q=2$?

$a_{1}={\tfrac {4}{5}}$

$\,q=2$

Es folgt:

$a_{8}={\tfrac {4}{5}}\cdot 2^{7}={\tfrac {4}{5}}\cdot 128=102{,}4$