Analysis: Folgen und Reihen: Reihen: Arithmetische Reihen

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Nuvola apps bookcase 1.svg Analysis Nuvola mimetypes dvi.png Reihen

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Arithmetische Reihen

Eine Reihe, die aus n beliebigen aufeinanderfolgenden Gliedern einer artihmetische Folge erzeugt wird, nennt man arithmetische Reihe oder endliche arithmetische Reihe. Unendliche arithmetische Reihen werden hier nicht behandelt, da sie keinen Grenzwert besitzen.

[Bearbeiten] Definition

Die Formel zur arithmetischen Reihe erhält man durch Entwicklung der Summen mit Hilfe der gaußschen Summenformel. Sei (an) eine beliebige artihmetische Folge. Dann ist:

(1) \sum_{i=1}^n{a_1 + (i-1) \cdot d} = a_1 + (a_1+d) + (a_1+2d) + \cdots + (a_1+(n-1)d)
(2) \sum_{i=1}^n{a_1 + (i-1) \cdot d} = (a_1+(n-1)d) + \cdots + (a_1+2d) + (a_1+d) + a_1
(1)+(2) \sum_{i=1}^n{a_1 + (i-1) \cdot d} = 2a_1 + (n-1)d + 2a_1 + (n-1)d + \cdots + 2a_1 + (n-1)d

Zuerst haben wir also die arithmetische Reihe von 1...n gebildet (1). Danach haben wir die Reihe in umgekehrter Reihenfolge erstellt (2) und anschließend addiert (1)+(2). Man sieht, dass es nun n gleiche Summanden gibt:

n(2a1 + (n − 1)d)

Möchten wir nun den Wert einer Reihe wissen, müssen wir nur noch diesen Term durch 2 teilen, da wir vorher die Reihe mit sich selbst addiert haben (1)+(2). Dadurch erhalten wir die beiden äquivalenten Formeln zur Berechnung arithmetischer Reihen:

\sum_{i=1}^na_n = \frac{n}{2}\cdot(2a_1 + (n-1)d) oder
\sum_{i=1}^na_n = \frac{n}{2}\cdot(a_1 + a_n)

[Bearbeiten] Besondere arithmetische Reihen

Summe der ersten n natürlichen Zahlen
\sum_{i=1}^n i = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen
\sum_{i=1}^n(2i-1) = 1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2n-1) = n^2
Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen
\sum_{i=1}^n 2i = 2 + 4 + 6 + 8 + \cdots + 2n = n^2 + n

[Bearbeiten] Beispiele

1. Berechnen Sie die 100. Partalsummen der einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 1 und dem konstanten Summanden 1. ( 1+1=2)
a_1 = 1, d = 1, n = 100, a_n = (a_1 + (100-1)\cdot1) = 100
\sum_{i=1}^{100}a_n = 50 \cdot (1 + 100) = 5050
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