Beweisarchiv: Lineare Algebra
- Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton · Korrektheit des Algorithmus von Faddejew-Leverrier · Kreisesatz von Gerschgorin
- Vektorräume: Jeder Vektorraum hat eine Basis
Satz von Cayley-Hamilton
Es seien
ein Körper,
ein endlichdimensionaler
-Vektorraum und
ein
-linearer Endomorphismus von
.
ist Nullstelle seines charakteristischen Polynoms, d.h. setzt man
formal in das charakteristische Polynom ein, erhält man den Nullendomorphismus.
Es sei
die von
erzeugte kommutative Unteralgebra von
. Die zu beweisende Aussage kann wie folgt umformuliert werden: Die Determinante
des Endomorphismus
von
ist gleich null.
Der Beweis beruht auf der Konstruktion der komplementären Matrix: Zu jeder Matrix
gibt es eine Matrix
, deren Einträge Polynome in den Einträgen von
sind, so dass
gilt. Im betrachteten Fall folgt insbesondere
![{\displaystyle D\cdot A\otimes V\subseteq \operatorname {im} (f\otimes 1-1\otimes f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfef579cc7cf67773dc93030ad07ab302356cb65)
Das Bild ist aber im Kern der Abbildung
![{\displaystyle A\otimes V\to V,\quad g\otimes v\mapsto g(v),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4395a930187dccd90d38b8f15e7d1a43520756)
enthalten. Es gilt also
für alle
, aber das ist nichts anderes als die Aussage
in
.
Etwas weniger elegant, aber elementarer geht es so:
Zu
betrachte den Vektorraum
.
Da
endlichdimensional ist, erzeugen bereits
Vektoren
den Unterraum
.
Wählt man
minimal, bildet
eine Basis von
. Ansonsten hätte ein
eine Darstellung
im Widerspruch dazu, daß
minimal ist.
Nach Konstruktion gilt
und wir haben aufgrund der Basiseigenschaft
.
Damit hat
bezüglich
die
Darstellung
.
Mit einiger Rechnerei (Entwickeln nach der letzten Spalte, Stichwort
Frobenius-Matrix) berechnet man das
Charakteristische Polynom
von
:
.
Setzen wir nun
in dieses Polynom ein, und wenden die entstehende lineare
Abbildung auf
an, erhalten wir:
.
Ergänzen wir die Basis von
zu einer Basis
von
, so hat
bezüglich
die Matrixdarstellung
. In der Blockmatrix taucht unser
auf. Wir sehen, daß
ein Teiler von
ist. Die
sind entsprechend dimensionierte Einheitsmatrizen.
Damit folgt
.
Da wir anfangs
beliebig gewählt haben, ist die Abbildung
die Nullabbildung und der Satz ist bewiesen.