Diffgeo: Beispiele: Drehparaboloid

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[Bearbeiten] Die Fläche

Paraboloid.png

Ein Drehparaboloid entsteht durch Rotation einer in einer Ebene liegenden Parabel um eine Achse.

Zum Beispiel wenn die in der x-z liegende Parabel z=x2 (Definitionsbereich begrenzt) um die z-Achse rotiert. Durch die Rotation ist der Rand der Fläche ein Kreis.

[Bearbeiten] Parametrisierung

\vec{x}=v\cos u \vec{e}_1 + v\sin u \vec{e}_2 + A \cdot v^2 \vec{e}_3
v \in [0,2\pi] , u \in [-\pi,\pi] , A \in \mathbb{R}

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[Bearbeiten] (Gaußsche) Tangentenvektoren

Siehe Gaußsches Dreibein

\vec{g}_1 = \vec{x}_u = -v\sin u \cdot \vec e_1 + v\cos u \cdot \vec e_2
\vec{g}_2 = \vec{x}_v = \cos u \cdot \vec e_1 + \sin u \cdot \vec e_2 + 2 Av \cdot \vec e_3
\vec g_3 = \frac{\vec{x}_u(u) \times \vec{x}_v(v)} {|| \vec{x}_u(u) \times \vec{x}_v(v) ||} = \frac{2Av \cos u}{\sqrt{4A^2v^2+1}} \cdot \vec e_1 + \frac{2Av \sin u}{\sqrt{4A^2v^2+1}} \cdot \vec e_2 - \frac{1}{\sqrt{4A^2v^2+1}} \cdot \vec e_3

[Bearbeiten] erste Fundamentalform

[Bearbeiten] erste Fundamentalgrößen

Siehe hier:

g_{11} = \vec{x}_u \cdot \vec{x}_u = \vec{x}_u = v^2\sin^2 u + v^2\cos^2 u = v^2
g_{12}=G_{21}=\vec{x}_u \cdot \vec{x}_v = -v\sin u \cos u + v\cos u \sin u = 0
g_{22}=\vec{x}_v \cdot \vec{x}_v = \cos^2 u + \sin^2 u + 4A^2v^2

[Bearbeiten] erster Fundamentaltensor

\mathbf{G} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v^2 & 0 \\ 0 & 1+4A^2v^2 \end{pmatrix}

[Bearbeiten] Inverser erster Fundamentaltensor

\mathbf{G}^{-1} = \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\ g^{21} & g^{22} \end{pmatrix} = \frac{1}{v^2+4A^2v^4}\begin{pmatrix} 1+ 4A^2v^2 & 0 \\ 0 & v^2 \end{pmatrix}


g12 ist Null, die Parameterlinien stehen also senkrecht aufeinander.

[Bearbeiten] zweite Fundamentalform

[Bearbeiten] zweifache Ableitungen

\vec{x}_{uu} = -v \cos u \cdot \vec e_1 - v \sin u \cdot \vec e_2
\vec{x}_{uv} = -\sin u \cdot \vec e_1 + \cos u \cdot \vec e_2
\vec{x}_{vv} = \vec{x}_{vu} = 2A \cdot \vec e_3

[Bearbeiten] zweite Fundamentalgrößen

Hier nachschauen!

b_{11} = \vec{x}_{uu} \cdot \vec n = \frac{-2Av^2}{\sqrt{4A^2v^2+1}}
b_{12} = b_{21} = \vec{x}_{uv} \cdot \vec n = 0
b_{21} = \vec{x}_{vv} \cdot \vec n = \frac{-2A}{\sqrt{4A^2v^2+1}}


[Bearbeiten] zweiter Fundamentaltensor

\mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-2Av^2}{\sqrt{4A^2v^2+1}} & 0 \\ 0 & \frac{-2A}{\sqrt{4A^2v^2+1}} \end{pmatrix}

[Bearbeiten] Christoffelsymbole

Siehe hier. Mit u1 = u, u2 = v. α = 1, β = 1, γ = 1

\Gamma_{11}^{1} := \frac{1}{2} g^{11} (\frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}}) + \frac{1}{2} g^{12} (\frac{\partial g_{12}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{21}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{2}}) = \frac{1}{2} \frac{1}{v^4+4A^2v^6} \cdot (0+0+0) + \frac{1}{2} \cdot 0 = 0

α = 2, β = 1, γ = 1

\Gamma_{12}^{1} := \frac{1}{2} g^{11} (\frac{\partial g_{11}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{12}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{21}}{\partial u^{1}}) + \frac{1}{2} g^{12} (\frac{\partial g_{12}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{21}}{\partial u^{2}}) = \frac{1}{2v^2} \cdot 2v = \frac{1}{v}

α = 1, β = 2, γ = 1

\Gamma_{11}^{2} := \frac{1}{2} g^{21} (\frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}}) + \frac{1}{2} g^{22} (\frac{\partial g_{12}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{21}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{2}}) = 0 + \frac{1}{2(1+4A^2v^2)} \cdot (-2v) = -\frac{v}{1+4A^2v^2}

α = 1, β = 1, γ = 2

\Gamma_{21}^{1} = \Gamma_{12}^{1}

α = 2, β = 1, γ = 2,

\Gamma_{12}^{2} := \frac{1}{2} g^{11} (\frac{\partial g_{21}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{12}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{1}}) + \frac{1}{2} g^{12} (\frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}}) = 0

α = 1, β = 2, γ = 2

\Gamma_{21}^{2} =\Gamma_{12}^{2}

α = 2, β = 2, γ = 2

\Gamma_{22}^{2} := \frac{1}{2} g^{21} (\frac{\partial g_{21}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{12}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{1}}) + \frac{1}{2} g^{22} (\frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}}) = \frac{1}{2(1+4A^2v^2)} \cdot 8A^2v = \frac{4A^2}{1+4A^2v^2}

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