Diffgeo: Beispiele: Rotationsellipsoid

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[Bearbeiten] Die Fläche

Geodätische Koordinaten auf dem Rotationsellipsoid

Das Rotationsellipsoid mit Kreisform der Breitenkreise (in der Äquatorebene Radius der großen Halbachse A) und Ellipsenform bezüglich der Längenkreise. Kleine Halbachse an den Polen ist B.

Die w:Exzentrizität (Mathematik) gibt die Abplattung aufgrund der unterschiedlichen Länge von A und B an.

[Bearbeiten] Parametrisierung

\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} N \cdot \cos{U}\cdot \cos{V} \\ N \cdot \sin{U} \cdot \cos{V} \\ N \cdot \sin{V}(1-E^2) \end{pmatrix}
V \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\, U \in [-\pi;\pi)
N=\frac{A}{\sqrt{1-E^2 \sin^2 V}}

A und B bzw. E je nach Ellipsoid.

[Bearbeiten] (Gaußsche) Tangentenvektoren

Siehe Gaußsches Dreibein


\vec{g}_1 = \vec{x}_U=
\vec{g}_2 = \vec{x}_V=
\vec g_3 = \frac{\vec{x}_U(u) \times \vec{x}_V(v)} {|| \vec{x}_U(u) \times \vec{x}_V(v) ||} =

[Bearbeiten] erste Fundamentalform

[Bearbeiten] erste Fundamentalgrößen

Siehe hier:

g_{11} = \vec{x}_U \cdot \vec{x}_U = N^2 \cos^2 V
g_{12}=G_{21}=\vec{x}_U \cdot \vec{x}_V = 0
g_{22}=\vec{x}_V \cdot \vec{x}_V = M^2

[Bearbeiten] erster Fundamentaltensor

\mathbf{G} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} N^2 \cos^2 V & 0 \\ 0 & M^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} N^2 \cos^2 V & 0 \\ 0 & N^2 \frac{(1-E^2)^2}{(1-E^2 \sin^2 V)^2} \end{pmatrix}

[Bearbeiten] Inverser erster Fundamentaltensor

\mathbf{G}^{-1} = \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\ g^{21} & g^{22} \end{pmatrix} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}


[Bearbeiten] zweite Fundamentalform

[Bearbeiten] zweifache Ableitungen

\vec{x}_{uu} =
\vec{x}_{uv} =
\vec{x}_{vv} =

[Bearbeiten] zweite Fundamentalgrößen

Hier nachschauen!

b_{11} = \vec{x}_{uu} \cdot \vec n =
b_{12} = b_{21} = \vec{x}_{uv} \cdot \vec n
b_{21} = \vec{x}_{vv} \cdot \vec n =


[Bearbeiten] zweiter Fundamentaltensor

\mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

[Bearbeiten] Christoffelsymbole

Siehe hier. Mit u1 = u, u2 = v. α = 1, β = 1, γ = 1

\Gamma_{11}^{1} := \frac{1}{2} g^{11} (\frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}}) + \frac{1}{2} g^{12} (\frac{\partial g_{12}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{21}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{2}}) =

α = 2, β = 1, γ = 1

\Gamma_{12}^{1} := \frac{1}{2} g^{11} (\frac{\partial g_{11}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{12}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{21}}{\partial u^{1}}) + \frac{1}{2} g^{12} (\frac{\partial g_{12}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{21}}{\partial u^{2}}) =

α = 1, β = 2, γ = 1

\Gamma_{11}^{2} := \frac{1}{2} g^{21} (\frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{1}}) + \frac{1}{2} g^{22} (\frac{\partial g_{12}}{\partial u^{1}} + \frac{\partial g_{21}}{\partial u^{1}} - \frac{\partial g_{11}}{\partial u^{2}}) =

α = 1, β = 1, γ = 2

\Gamma_{21}^{1} = \Gamma_{12}^{1}

α = 2, β = 1, γ = 2,

\Gamma_{12}^{2} := \frac{1}{2} g^{11} (\frac{\partial g_{21}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{12}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{1}}) + \frac{1}{2} g^{12} (\frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}}) =

α = 1, β = 2, γ = 2

\Gamma_{21}^{2} =\Gamma_{12}^{2}

α = 2, β = 2, γ = 2

\Gamma_{22}^{2} := \frac{1}{2} g^{21} (\frac{\partial g_{21}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{12}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{1}}) + \frac{1}{2} g^{22} (\frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}} + \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}} - \frac{\partial g_{22}}{\partial u^{2}}) =

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