Fortran: Anhang B: Dreiecksberechnung

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Aufgabe

Es sollen einige charakteristische Dreieckswerte berechnet werden. Der Programmanwender gibt die Koordinatenwerte (x, y) für die Dreieckseckpunkte P₁, P₂ und P₃ vor.

Das Programm berechnet u.a. folgende Werte und übermittelt diese an die Standardausgabe:

• Längen der Dreiecksschenkel und Dreiecksumfang
• Innenwinkel
• Fläche
• Umkreis (Mittelpunkt und Radius)
• Inkreis (Mittelpunkt und Radius)
• Schwerpunkt

Grundlagen

Die Dreiecksberechnung erfolgt in diesem Anwendungsbeispiel hauptsächlich mittels Vektorrechnung.

Näheres zu Dreiecken und zur Vektorrechnung ist folgenden Enzyklopädieartikeln und Büchern zu entnehmen:

• Wikipedia: Dreieck
• Wikipedia: Vektor
• Formelsammlung Mathematik: Geometrie
• Formelsammlung Mathematik: Trigonometrie
• Mathematik: Schulmathematik
• Mathematik: Lineare Algebra
• Ing Mathematik: Vektoren

Koordinatenwerte ---> Richtungsvektoren

$\mathbf {a} =\mathbf {p} _{3}-\mathbf {p} _{1}$
$\mathbf {b} =\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1}$
$\mathbf {c} =\mathbf {b} -\mathbf {a}$

Seitenlängen und Umfang

$a_{norm}=|\mathbf {a} |$
$b_{norm}=|\mathbf {b} |$
$c_{norm}=|\mathbf {c} |$
$U\ =\ a_{norm}+b_{norm}+c_{norm}$

Bedingung: $a_{norm}\neq 0$, $b_{norm}\neq 0$, $c_{norm}\neq 0$

Winkel

$\angle ab=\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{a_{norm}b_{norm}}}$
$\angle bc=\arccos {\frac {\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} }{b_{norm}c_{norm}}}$
$\angle ac=\pi -\angle ab-\angle bc$

Bedingung: $\angle ab\neq 0$, $\angle ac\neq 0$, $\angle bc\neq 0$

Fläche

Es gilt

$A_{Parallelogramm}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=a_{norm}b_{norm}\sin \angle ab$

und somit

$A={\frac {A_{parallelogramm}}{2}}={\frac {a_{norm}b_{norm}\sin \angle ab}{2}}$

Umkreis

Normalen:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} =0$
$\mathbf {b} \cdot \mathbf {m} =0$
$|\mathbf {n} |=1$
$|\mathbf {m} |=1$

$\Rightarrow$

$n_{1}=-a_{2}{\sqrt {\frac {1}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}$
$n_{2}=a_{1}{\sqrt {\frac {1}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}}$
$m_{1}=-b_{2}{\sqrt {\frac {1}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}}$
$m_{2}=b_{1}{\sqrt {\frac {1}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}}$

Geradenschnittpunkt:

$g1:\ \mathbf {x} _{1}={\frac {\mathbf {a} }{2}}+t_{1}\mathbf {n}$
$g2:\ \mathbf {x} _{2}={\frac {\mathbf {b} }{2}}+t_{2}\mathbf {m}$
Der Umkreismittelpunkt ergibt sich als Schnittpunkt dieser beiden Geraden: $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{2}$

$\Rightarrow$

$t_{2}={\frac {n_{1}\left(a_{2}-b_{2}\right)+n_{2}\left(b_{1}-a_{1}\right)}{2\left(m_{2}n_{1}-m_{1}n_{2}\right)}}$

Bedingung: $m_{2}n_{1}-m_{1}n_{2}\neq 0$

Umkreismittelpunkt und -radius:

$\mathbf {x} _{o}=\mathbf {p} _{1}+{\frac {\mathbf {b} }{2}}+t_{2}\mathbf {m}$

$r_{o}=\left|{\frac {\mathbf {b} }{2}}+t_{2}\mathbf {m} \right|$

Inkreis

$\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathbf {a} }{a_{norm}}}+{\frac {\mathbf {b} }{b_{norm}}}\right)$

$\mathbf {w} ={\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathbf {b} }{b_{norm}}}+{\frac {\mathbf {c} }{c_{norm}}}\right)$

$g1:\ \mathbf {x} _{1}=t_{1}\mathbf {v}$

$g2:\ \mathbf {x} _{2}=\mathbf {b} +t_{2}\mathbf {v}$

Der Inkreismittelpunkt ergibt sich als Schnittpunkt dieser beiden Geraden: $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{2}$

$\Rightarrow$

$t_{2}={\frac {b_{1}v_{2}-b_{2}v_{1}}{w_{2}v_{1}-w_{1}v_{2}}}$

Bedingung: $w_{2}v_{1}-w_{1}v_{2}\neq 0$

Inkreismittelpunkt:

$\mathbf {x} _{i}=\mathbf {p} _{2}+t_{2}\mathbf {w}$

Inkreisradius:

$r_{i}={\frac {2A}{a_{norm}+b_{norm}+c_{norm}}}$

Schwerpunkt

$\mathbf {v} =\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {c} }{2}}$
$\mathbf {w} ={\frac {\mathbf {b} }{2}}-\mathbf {a}$

$g1:\ \mathbf {x} _{1}=t_{1}\mathbf {v}$
$g2:\ \mathbf {x} _{2}=\mathbf {a} +t_{2}\mathbf {w}$

Der Dreiecksschwerpunkt ergibt sich als Schnittpunkt dieser beiden Geraden: $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{2}$

$t_{2}={\frac {a_{1}v_{2}-a_{2}v_{1}}{w_{2}v_{1}-w_{1}v_{2}}}$

Bedingung: $w_{2}v_{1}-w_{1}v_{2}\neq 0$

$\Rightarrow$

$\mathbf {x} =\mathbf {a} +t_{2}\mathbf {w}$

$\mathbf {x} _{cog}=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {x}$

Code

• Makefile
• triangle.f90
• modul1.f90

Screenshots